Письма в ЖЭТФ, том 116, вып. 9, с. 616 - 620

Диаграммы Ванье для полупроводникового искусственного графена

О.А.Ткаченко⁺¹⁾, В.А.Ткаченко^+∗, Д.Г.Бакшеев^∗, О.П.Сушков^×

⁺Институт физики полупроводников им. А. В. Ржанова Сибирского отделения РАН, 630090 Новосибирск, Россия

^∗Новосибирский государственный университет, 630090 Новосибирск, Россия

^×University of New South Wales, 2052 Sydney, Australia

Поступила в редакцию 19 сентября 2022 г.

После переработки 19 сентября 2022 г.

Принята к публикации 21 сентября 2022 г.

Промоделирован квантовый транспорт в полупроводниковых гексагональных решетках антиточек

с периодом 80 нм и коротковолновым беспорядком. Вычислены карты плотности состояний DoS как

функции от напряженности магнитного поля B и концентрации электронов n (диаграммы Ванье) для

нескольких амплитуд модуляции потенциала, сравнимых или существенно больше энергии Ферми. Глу-

бокие провалы плотности состояний на картах имеют вид лучей положительного, нулевого и отрица-

тельного наклона. Помимо веера лучей, разделяющих первый и второй, второй и третий уровни Ландау,

на картах есть лучи им параллельные, сдвинутые по вертикали и горизонтали на целое число характер-

ных значений концентрации n0 и магнитного поля B0. Показано, что знак и величина наклона лучей

DoS соответствуют центрам плато квантованных холловских сопротивлений Rxy . Яркими проявлениями

решетки на картах Rxy(n, B) являются реплики первого и второго плато Rxy и осцилляции Rxy между

отрицательными и положительными значениями при фиксированном магнитном поле или концентра-

ции, что говорит о смене дырочного и электронного типа носителей.

DOI: 10.31857/S1234567822210091, EDN: lhuotl

В настоящее время активно создаются и изуча-

зарегистрированы на квадратной решетке с перио-

ются искусственные материалы и системы, подоб-

дом около 100 нм, когда энергия Ферми E_F во много

ные естественному графену, с дираковским конусом

раз превосходила амплитуду модуляции V [12]. Для

в законе дисперсии, но в другом диапазоне парамет-

высоких уровней Ландау наблюдалось немонотон-

ров [1-4]. Гексагональные решетки антиточек с пе-

ное поведение холловского сопротивления, при этом

риодом 80-120 нм, сформированные с помощью на-

беспорядок хорошо экранировался.

нолитографии в высокоподвижном двумерном элек-

Для появления хорошо определенного дираков-

тронном газе (ДЭГ) гетероструктур GaAs/AlGaAs,

ского конуса в ПИГ высота барьеров потенциала в

называют полупроводниковым искусственным гра-

антиточках должна существенно превышать уровень

феном (ПИГ) [4, 5]. В ПИГ интересны две точки Ди-

Ферми. Влияние беспорядка в этом случае становит-

рака: первая возникает при пересечении двух ниж-

ся сильным и может разрушать дираковскую точ-

них минизон, и вторая - при пересечении четвертой

ку [9]. Как показывают измерения, от амплитуды

и пятой минизон [6-9]. Было показано, что в отсут-

периодической модуляции зависят наблюдаемые эф-

ствие беспорядка квантование Ландау-Дирака воз-

фекты [13]. Так, при слабой модуляции видны только

никает вблизи точки Дирака в очень слабых магнит-

эффекты магнитного пробоя [14, 15], и с ростом ам-

ных полях B < 10 мТл [5]. Однако до сих пор не

плитуды модуляции они пропадают. Расчеты кван-

было сообщений о наблюдении точек Дирака в кван-

тового транспорта в ПИГ без учета беспорядка по-

товом транспорте ПИГ. Главной помехой в этом яв-

казали, что в окрестности точек Дирака при низ-

ляется беспорядок [9, 10], и пока присутствие точек

ких магнитных полях снизу и сверху по концентра-

Дирака в ПИГ подтверждено только изучением фо-

ции от нулевого уровня Ландау формируются плато

толюминисценции при межзонных переходах в кван-

дырочной и электронной проводимости [5]. Недав-

товой яме GaAs при B = 0 [4]. Тем не менее, про-

но без учета беспорядка промоделированы магнито-

явления магнито-электрического минизонного спек-

электрические минизоны и краевые состояния в ПИГ

тра решетки или бабочки Хофштадтера [11] были

при больших магнитных полях [16]. Интегральную

картину влияния решетки можно получить, если по-

¹⁾e-mail: otkach@list.ru

строить карты DoS(n, B) в зависимости от магнит-

616

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

Диаграммы Ванье для полупроводникового искусственного графена

617

ного поля и концентрации носителей, т. е. диаграм-

ей в первой точке Дирака n₀ = n_1D. Для периода

мы Ванье [17]. Примером могут служить эксперимен-

L = 80нм B₀ ≈ 0.75Тл и n₀ ≈ 3.6 · 1010 см^-2.

тально изученные графеновые сверхрешетки, имею-

Потенциал на полосе за пределами выделенной

щие период около 15 и 35 нм и демонстрирующие

квадратной области принимался однородным и рав-

клонирование основной дираковской точки и бабоч-

ным минимальному значению потенциала решетки в

ку Хофштадтера [1-3].

отсутствие беспорядка. Затем решалась задача одно-

В настоящей работе мы представляем вычислен-

частичного двумерного квантового рассеяния элек-

ные диаграммы Ванье для разных амплитуд моду-

тронных волн, падающих слева и справа на обозна-

ляции полупроводниковой решетки антиточек с уче-

ченный квадрат. В результате решения этой зада-

том коротковолнового беспорядка. Расчеты холлов-

чи методом рекурсивных функций Грина [18] вычис-

ского сопротивления R_xy показывают тесную связь

лялись зависимости локальной плотности состояний

DoS(n, B) с R_xy(n, B). Вычисленные карты плотно-

DoS от энергии E и перпендикулярного магнитного

сти состояний помогут прогнозировать результаты

поля B. Интегрированием DoS(E) на большом ин-

измерений и дать оценку реальных уровней модуля-

тервале по энергии вплоть до E_F можно находить

ции и беспорядка.

зависимость n(E_F ) при заданном B [19]. Было по-

Мы используем в расчетах аналитическое задание

казано, что задание малой мнимой части энергии в

потенциала U(r) гексагональной решетки на квадра-

определении функции Грина позволяет эффектив-

те размером 2-3 мкм: U(r) = V_d(r) + V₀

∑cos(g_i · r),

но сгладить интерференционные осцилляции DoS(E)

где L - период решетки, V₀ определяет амплиту-

без потери точности расчета концентрации. Допол-

ду модуляции потенциала, а функция V_d(r) задает

нительно, с малым шагом менялся параметр B от

беспорядок. Векторы обратной решетки определяют-

нуля до режима квантового эффекта Холла. Таким

ся как

образом были построены карты DoS(E, B), DoS(n, B)

и определены зависимости E_F (n, B). В этих расчетах

√

g₁ = g₀(1, 1/

3),

(1)

период решетки был фиксирован L = 80 нм, для ам-

√

плитуд модуляции w₀ = 0.1, 0.25, 0.5, 1 использован

g₂ = g₀(0, 2/

3),

(2)

√

локальный беспорядок V_r = 2 мэВ, а для w₀ = 1.5 -

g₃ = g₁ - g₂ = g₀(1, -1/

3),

(3)

V_r = 5 мэВ.

g₀ = 2π/L.

На рисунках 1 и 2 изображены карты, на кото-

рых желтым цветом показаны максимальные значе-

Подобно работе [15], функция V_d(r) = δ · V_r задает

ния плотности состояний, а темным цветом мини-

случайную добавку к потенциалу решетки в каждом

мальные значения. На этих картах можно наблюдать

сайте дискретной сетки (h_x = h_y = 8 нм), где ве-

переход от веера уровней Ландау (w₀ = 0.1) до уста-

личина V_r определяет амплитуду беспорядка, a δ -

новления почти периодической картины (w₀ = 1) в

случайное число в диапазоне от -0.5 до 0.5. В рабо-

области низких значений концентрации (n < 2n₀)

те [9] было показано, что зонный спектр решетки за-

и магнитного поля (B

< 2B₀). В расчетах пол-

висит только от безразмерной амплитуды модуляции

ная модуляция менялась от 1.4 мэВ (w₀ = 0.1) до

потенциала w₀ = 0.5V₀/E₀, где характерная энер-

21.1 мэВ (w₀ = 1.5), циклотронная частота ℏω_c от 0

. Для эффективной массы в GaAs

до 3.46 мэВ при 2 Тл.

^∗L²

m^∗ = 0.067m_e и периода решетки L = 80 нм харак-

На первых двух картах модуляция сравнительно

терная энергия равна E₀ = 1.56 мэВ. При низкой мо-

слабая и мы видим уровни Ландау (Шубниковские

дуляции, w₀ < 1, третья и более высокие минизоны

осцилляции) - горбы DoS; провалы DoS между ни-

решетки налагаются на вторую минизону. С ростом

ми расходятся лучами из нуля по концентрации и

модуляции минизоны поднимаются и расправляют-

магнитному полю. Провалы DoS отвечают либо кра-

ся, при w₀ = 1.5 уже сформированы третья плоская

евым состояниям (наклонные линии), когда электро-

зона и вторая точка Дирака [9].

ны внутри решетки отсутствуют и двигаются толь-

При рассмотрении решеток вводят характерные

ко вдоль края решетки, либо запрещенным зонам в

значения концентрации n₀ и магнитного поля B₀, где

решетке, когда электроны вовсе не входят в обра-

n₀ определяется как отношение двух частиц на пло-

зец (горизонтальные линии). Наклон k = n

B тем-

√

щадь ячейки n₀ = 2/(

3L²/2), а B₀ соответствует

ных линий в безразмерных переменных n = n/n₀,

значению, при котором магнитный поток, пронизы-

B = B/B₀ прямо связан с квантованным кондак-

√

вающий ячейку решетки φ = B

3L²/2, равен кванту

тансом G = kG₀ или холловским сопротивлением

φ₀ = h/e. Отметим, что n₀ совпадает с концентраци-

R_xy = 1/kR₀, где G₀ = 2e²/h, а R₀ = 1/G₀: тем-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

618

О.А.Ткаченко, В.А.Ткаченко, Д.Г.Бакшеев, О.П.Сушков

Рис. 1. (Цветной онлайн) Карты DoS(n, B) для решетки с модуляцией w0 = 0.1, 0.25

Рис. 2. (Цветной онлайн) Карты DoS(n, B) для решетки с модуляцией w0 = 0.5, 1

рактерным значениям концентрации n₀ и магнитно-

го поля решетки B₀.

Отметим особенности графиков. Для w₀ = 0.1 из

точки Дирака (n₀, 0) выходят луч с наклоном вверх

(k = 1) и луч вниз (k = -1), луч вниз выражен гораз-

до хуже. Точки (2n₀, B₀), (3n₀, B₀) являются центра-

ми лучей разных наклонов, из точки (0, B₀) выходит

луч с наклоном +1. Появляются линии параллель-

ные основным лучам, разделяющим уровни Ландау.

Например, луч с наклоном k = 2, который сверху

входит в точку (3n₀, B₀), можно продолжить вниз

до первой точки Дирака. Для w₀ = 0.25, 0.5, карта

лучей становится более четкой. Поскольку лучи от-

Рис. 3. Цветной онлайн) Карта DoS(E, B) для w0 = 1

вечают центрам плато холловского сопротивления,

картина квантового Холла должна быть совершенно

необычной и содержать три или четыре повторения

ные линии определяют центры плато квантованных

первого плато R_xy = R₀. Хотя для w₀ = 0.1-0.5 в

значений кондактанса или сопротивлений. Сами пла-

законе дисперсии при B = 0 нет щели запрещенных

то R_xy, как показывают наши расчеты, всегда ши-

энергий, горизонтальный луч, который сначала по-

ре провалов DoS. Звездочки лучей DoS отвечают от-

является из точки (2n₀, B₀) при w₀ = 0.1-0.25, рас-

страиванию уровней Ландау от краев зон и выходят

пространяется в сторону слабых и сильных магнит-

из точек на карте, координаты которых кратны ха-

ных полей при w₀ = 0.5. Щель может замываться

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

Диаграммы Ванье для полупроводникового искусственного графена

619

Рис. 4. (Цветной онлайн) Карты DoS(n, B) (слева) и карта EF (n, B) (справа) для w0 = 1.5 при Vr = 5 мэВ

беспорядком, но она проявляется в расчетах как об-

учетом беспорядка. При пересчете энергии в соответ-

ласть высоких сопротивлений.

ствующую концентрацию области с низким значени-

ем DoS сжимаются в узкие полосы, а области с высо-

ким DoS расширяются, и вся криволинейная картина

DoS(E, B) расправляется в серию прямых линий на

плоскости (n, B) (аналог диаграммы Ванье).

На рисунке 4 при w₀ = 1.5 после заполнения 6

минизон в магнитном поле появляется еще одна го-

ризонтальная линия, идущая из точки n = 6n₀ =

= 21.65 · 10¹⁰ см^-2. Сильный по амплитуде беспоря-

док Vr = 5мэВ замывает тонкую структуру DoS.

Доминируют лучи с наклонами ±1, а веер обычных

уровней Ландау исчез. В правой части рис. 4 показа-

на карта энергии Ферми E_F (n, B). Цветовая гамма

карты E_F (n, B) соответствует изменению энергии от

-4 мэВ (темный цвет) до 8 мэВ (желтый). E_F (B) при

Рис. 5. (Цветной онлайн) Rxy(B) для w0 = 0.25, 0.5,

1.5, при постоянной концентрации n = 6 · 10¹⁰ см^-2 и

постоянной n почти периодически осциллирует.

беспорядке Vr = 2 мэВ

Холловские сопротивления вычислялись с помо-

щью программы Kwant [20] при таком же задании по-

При w₀ = 1 между второй и третьей минизонами

тенциала и беспорядка, в четырехтерминальной по-

уже есть запрещенная зона, она видна на карте DoS

становке. Сверху и снизу к правой и левой боковым

как горизонтальный луч из точки (2n₀, 0). Карта в

граням квадрата с решеткой подходят два горизон-

диапазоне концентраций ниже 2n₀ выглядит по маг-

тальных канала, через которые происходит рассея-

нитному полю почти периодично с периодом B₀. Из

ние электронов. Четырехтерминальные сопротивле-

второй точки Дирака (4n₀, 0) выходят два луча с на-

ния восстанавливаются по формулам Бьютиккера по

клоном ±1 и лучи вниз с наклонами -3, -5, -7, ко-

вычисляемым в системе коэффициентам прохожде-

ния между контактами [21].

торые говорят о квантовании Ландау-Дирака. При

более высоких концентрациях из-за наложения раз-

На рисунке 5 показан пример расчета холловско-

ных минизон решетки ясная структура пропадает.

го сопротивления для n = 6 · 10¹⁰ см^-2 для трех

Третья минизона решетки (плоская) характеризует-

амплитуд модуляции при беспорядке V_r

= 2мэВ.

ся высокой плотностью состояний, она выделена яр-

При этой концентрации с ростом магнитного поля

кой полоской DoS, которая идет от точки (E = 2 мэВ,

последовательно пересекаются полосы провалов DoS

B = 0) на рис.3. Картина DoS(E,B) на плоскости

с отрицательным и положительным наклонами ±1,

(E, B) - это аналог бабочки Хофштадтера, рассчи-

при этом пилообразным образом меняется R_xy(B).

танной почти на трех периодах по B₀ для решетки

Плато R₀/2, R₀/3 не проявляются здесь из-за их

конечного размера с полной модуляцией 14 мэВ и с

узости. Области отрицательного холловского сопро-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

620

О.А.Ткаченко, В.А.Ткаченко, Д.Г.Бакшеев, О.П.Сушков

тивления свидетельствуют о дырочном типе прово-

L. A. Ponomarenko, R. V. Gorbachev, G. L. Yu et al.

димости. Поведение R_xy(B) согласуется с картами

(Collaboration), Nature 497, 594 (2013).

DoS(n, B) и становится более выраженным с ростом

G. L. Yu, R. V. Gorbachev, J. S. Tu et al.

модуляции. При w₀ = 1.5 кривая R_xy(B) пересека-

(Collaboration), Nature physics 10, 525 (2014).

ет нуль почти точно при jB₀/2, где j = 1, 2, 3,

C. Forsythe, X. Zhou, K. Watanabe, T. Taniguchi,

4, 5. Дополнительное замечание относится к типу

A. Pasupathy, P. Moon, M. Koshino, P. Kim, and

беспорядка. Даже сильный коротковолновый беспо-

C. R. Dean, Nature Nanotech. 13, 566 (2018).

рядок, учтенный в данных расчетах, не разрушает

L. Du, Z. Liu, S. J. Wind, V. Pellegrini, K. W. West,

плато квантованных значений холловского сопротив-

S. Fallahi, L. N. Pfeiffer, M. J. Manfra, and A. Pinczuk,

Phys. Rev. Lett. 126, 106402 (2021).

ления. Влияние длинноволнового беспорядка оказы-

вается гораздо более сильным. Он возникает из-за

O. A. Tkachenko and V.A. Tkachenko, JETP Lett. 99,

204 (2014).

немного разных размеров отверстий в затворе, зада-

ющим решетку антиточек. Мы обнаружили в расче-

C.-H. Park and S. G. Louie, Nano Lett. 9, 1793 (2009).

тах, что беспорядок этого типа разрушает квантова-

M. Gibertini, A. Singha, V. Pellegrini, M. Polini,

ние холловского сопротивления в низких магнитных

G. Vignale, A. Pinczuk, L. N. Pfeiffer, and K. W. West,

Phys. Rev. B 79, 241406(R) (2009).

полях B < 0.5B₀ (значения R_xy уменьшаются, но

знак сохраняется) и подавляет решеточные эффек-

L. Nádvorn´ık, M. Orlita, N. A. Goncharuk, L. Smrcka,

V. Novák, V. Jurka, K. Hruska, Z. Výborný,

ты в сильных магнитных полях B₀ < B < 3B₀.

Z. R. Wasilewski, M. Potemski, and K. Výborný, New

Итак, для полупроводникового искусственно-

J. Phys. 14, 053002 (2012).

го графена вычислены зависимости DoS(E, B),

O. A. Tkachenko, V. A. Tkachenko, I. S. Terekhov, and

DoS(n, B), E_F (n, B) для амплитуды модуляции

O. P. Sushkov, 2D Materials 2, 014010 (2015).

потенциала, сравнимой или больше энергии Ферми.

10.

О. А. Ткаченко, В. А. Ткаченко, Вестник Новосибир-

Полученные карты являются наглядным и ем-

ского государственного университета. Серия: Физика

ким представлением квантования Ландау-Дирака,

11, 80 (2016).

бабочки Хофштадтера и магнито-электрических

11.

D. R. Hofstadter, Phys. Rev. B 14, 2239 (1976).

осцилляций уровня Ферми. Показано, что на картах

12.

C. Albrecht, J. H. Smet, K. von Klitzing, D. Weiss,

(n, B) веер уровней Ландау с ростом модуляции

V. Umansky, and H. Schweizerd, Physica E: Low-

решетки транформируется в ячеистую сеть, об-

dimensional Systems and Nanostructures

20,

143

разованную набором параллельных линий разных

(2003).

наклонов и противоположных знаков. Особенно-

13.

D. Q. Wang, D. Reuter, A.D. Wieck, A.R. Hamilton,

стью ПИГ является чередование типов носителей:

and O. Klochan, Appl. Phys. Lett. 117, 032102 (2020).

дырочного и электронного, в результате чего хол-

14.

C. Albrecht, J. H. Smet, D. Weiss, K. von Klitzing,

ловское сопротивление R_xy(B) осциллирует между

R. Hennig, M. Langenbuch, M. Suhrke, U. Rössler,

отрицательными и положительными значениями.

V. Umansky, and H. Schweizer, Phys. Rev. Lett. 83,

Результаты моделирования могут помочь интерпре-

223470 (1999).

тации измерений магнитотранспорта в решетках.

15.

J. Schluck, J. Feilhauer, K. Pierz, H. W. Schumacher,

Примером в этом отношении являются диаграммы

D. Kazazis, U. Gennser, and T. Heinzel, Phys. Rev. B

Ванье, которые были получены емкостными из-

98, 165415 (2018).

мерениями DoS в короткопериодных графеновых

16.

Z. E. Krix and O. P. Sushkov, Phys. Rev. B 101, 245311

сверхрешетках [2, 3].

(2020).

Данная работа выполнена с использованием

17.

G. H. Wannier, Phys. Status Solidi B 88, 757 (1978).

ресурсов Межведомственного суперкомпьютерного

18.

A. Cresti, R. Farchioni, G. Grosso, and G. P. Parravicini,

центра РАН и при поддержке Российского научного

Phys. Rev. B 68, 075306 (2003).

фонда, грант #19-72-30023.

19.

O. A. Tkachenko, V.A. Tkachenko, D. G. Baksheev, and

Авторы благодарны за стимулирующее обсужде-

O. P. Sushkov, JETP Lett. 112, 186 (2020).

ние коллегам, прежде всего, О. Клочану, Д. К. Ванг,

20.

C. W. Groth, M. Wimmer, A. R. Akhmerov, and

З.Е.Криксу, А.Р.Гамильтону из Университета Но-

X. Waintal, New J. Phys. 16, 063065 (2014).

вого Южного Уэльса, Австралия.

21.

M. Büttiker, Phys. Rev. Lett. 57, 1761 (1986).

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022