Письма в ЖЭТФ, том 116, вып. 9, с. 579 - 586

Пятиточечные корреляционные числа в минимальной

Лиувиллевской гравитации

А. А. Артемьев^+∗1), А. А. Белавин^+×1)

⁺Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, 142432 Черноголовка, Россия

^∗Сколковский институт науки и технологий, 121205 Москва, Россия

^×Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича, 127994 Москва, Россия

Поступила в редакцию 22 сентября 2022 г.

После переработки 23 сентября 2022 г.

Принята к публикации 27 сентября 2022 г.

Исследуются N-точечные корреляционные числа в минимальной Лиувиллевской гравитации. Мы

демонстрируем, как использовать высшие уравнения движения Ал. Замолодчикова в теории Лиувилля

для явного их вычисления и находим ответ при N = 5.

DOI: 10.31857/S1234567822210029, EDN: lgkgup

1. Введение. Существует несколько подходов к

Корреляционные числа в МЛГ определяются как

двумерной квантовой гравитации [1]. В одном из них,

вакуумные средние от произведения физических

“непрерывном” подходе, изучается функциональный

(BRST-замкнутых) операторов. Такие операторы яв-

интеграл по всем римановым метрикам в двух из-

ляются либо локальными полями размерности 0, ли-

мерениях, а также полям материи. В случае, когда

бо интегралами от локальных плотностей (полей раз-

теория поля материи конформная, после фиксации

мерности (1, 1)) по мировой поверхности. Мы бу-

калибровки мы приходим к так называемой теории

дем изучать корреляторы локальных операторов с

Лиувиллевской гравитации [2]; если сектор материи

духовым числом 1 W_m,n и интегралов от соответ-

описывается минимальными моделями конформной

ствующих им локальных плотностей духового чис-

теории поля [3], то говорят о минимальной Лиувил-

ла 0 U_m,n(x) (определения и свойства всех этих по-

левской гравитации (МЛГ) [4-6]. В другом “дискрет-

лей описаны в следующем разделе). Из-за аномалии

ном” подходе рассматриваются определенного вида

духового числа для незануления такого коррелятора

интегралы по L × L матрицам в пределе L → ∞; это

на сфере в нем должно присутствовать 3 оператора

так называемый подход матричных моделей (ММ)

типа W .

(обзор этого подхода дан, к примеру, в [7, 8]).

Отсюда следует, что трехточечная функция не со-

Из общих соображений ожидается, что эти подхо-

держит интегралов по мировой поверхности вовсе и

ды должны давать эквивалентные результаты; вы-

для ее нахождения достаточно знать структурные

числения гравитационных размерностей и корреля-

константы в минимальных моделях [3] и теории поля

ционных чисел, подтверждающие эту гипотезу, были

Лиувилля [14-16]. Четырехточечный коррелятор со-

проведены в [4, 9-11]. В силу сложности явного вы-

держит один интеграл по положению поля U_m,n(x).

числения со стороны МЛГ такие проверки были про-

В работе [13] был предложен способ вычисления та-

ведены только вплоть до 4-точечных корреляцион-

кого коррелятора с использованием так называемых

ных чисел (со стороны МЛГ четырехточечный кор-

“высших уравнений движения” (ВУД) [17] в теории

релятор был вычислен в [12, 13]), хотя со стороны

поля Лиувилля, которые позволяют свести интеграл

∫

ММ в одноматричном случае выражения для лю-

d²x к вычислимым граничным вкладам от окрест-

бого N-точечного коррелятора могут быть получе-

ностей точек x_i, i = 1, 2, 3 вставки операторов W и

ны весьма просто [11]. В этой работе мы попытаемся

точки x = ∞.

продвинуться в прямом вычислении высших корре-

Важным фактом, использованным в этом вычис-

ляционных чисел в МЛГ (мы ограничимся случаем

лении, является BRST-инвариантность всех осталь-

корреляторов на сфере).

ных полей под знаком коррелятора и, следовательно,

возможность отбросить BRST-точные члены в ВУД.

¹⁾e-mail: artemev.aa@phystech.edu; belavin@itp.ac.ru

Это уже не так для корреляторов с более чем од-

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

579

580

А. А. Артемьев, А. А. Белавин

∫

ним интегралом от плотности

d²y_i U_m,n(y_i) - та-

порожденному сингулярным потомком на уровне

кие интегралы BRST-инвариантны только с точно-

D(M)

стью до граничных членов, которые нельзя отбро-

D^(M)m,nΦ_m,n =

m,n

Φ_m,n = 0,

(4)

сить. В этой статье мы продемонстрируем, однако,

где D^m

,n (Dm

,n) - определенные операторы уровня

что учет Q-точных членов в ВУД, примененных к

∫

mn из голоморфных (антиголоморфных) мод Вира-

одной из интегрируемых плотностей

d²y₁ U_m,n(y₁),

соро в минимальной модели L^Mn (LMn ).

сводит интеграл по y₁ к граничным вкладам, име-

Предполагается отождествление полей

ющим вид четырехточечного коррелятора; причем

Φ_q-m,q′_-n = Φ_m,n.

вклад от окрестности точки вставки второй плотно-

Эти требования задают теорию единственным об-

сти y₂ имеет вид, аналогичный вкладам от окрестно-

разом и позволяют, в частности, однозначно опреде-

стей точек x_i.

лить структурные константы в минимальной модели.

Эта статья имеет следующую структуру: в разде-

Теория поля Лиувилля. Гравитационный сектор

ле 2 мы кратко суммируем необходимые для даль-

описывается квантовой версией классической теории

нейших вычислений факты о МЛГ. В разделе 3 мы

поля, основанной на действии Лиувилля. Это кон-

описываем предлагаемый способ вычисления пятито-

формная теория поля с центральным зарядом, пара-

чечного коррелятора и приводим полученный ответ.

метризуемым переменной b или Q = b^-1 + b как

2. Пререквизиты. Минимальная Лиувиллев-

ская гравитация - конформная теория поля с пол-

c_L = 1 + 6Q².

(5)

ным центральным зарядом 0, состоящая из теории

В МЛГ из требования зануления полного цен-

поля Лиувилля, описывающей гравитацию, мини-

трального заряда следует, что параметр b в теории

√

мальной модели CFT в качестве сектора материи и

Лиувилля должен совпадать с

q/q^′, как он был

B, C-системы репараметризационных BRST-духов с

определен в предыдущем разделе. Он входит в

центральным зарядом -26.

лагранжиан теории следующим образом:

∫

(

)

A_MLG = A_L + A_M

d²x

∂B+

C∂

(1)

L_L =

(∂_aφ)² + µe^2bφ.

(6)

q,q′

4π

}

A_ghost

Здесь µ - дополнительный параметр теории, назы-

ваемый космологической постоянной, а φ - динами-

Центральный заряд теории Лиувилля определяется

ческая степень свободы, оставшаяся после фиксации

условием c_L + c_M + c_gh = 0 и, соответственно, харак-

калибровки в интеграле по метрикам.

теристиками минимальной модели - числами (q^′, q).

Примарные поля в теории - экспоненциальные

Сектор материи M_q,q′. Минимальная модель

операторы V_a

≡ exp(2aφ), параметризованные

CFT определяется парой взаимнопростых чисел q, q^′;

непрерывным (комплексным) параметром a; соот-

ее пространство состояний состоит из конечного на-

ветствующая конформная размерность

бора неприводимых представлений алгебры Вирасо-

ро с вырожденным старшим весом, т.е. вырожденных

Δ^(L)a = a(Q - a).

(7)

полей Φ_m,n с 1 ≤ m < q и 1 ≤ n < q^′ и их потомков.

Два вида Лиувиллевских операторов будут важны

Обозначим за q/q^′ = b², тогда центральный заряд

нам для построения физических полей в МЛГ. Пер-

M_q′_,q

вый - это вырожденные поля V_m,n ≡ Vam,n с

c = 1 - 6(b^-1 - b)²,

(2)

(m - 1)

(n - 1)

a_m,n = -b^-1

-b

(8)

а размерности вырожденных полей Φ_m,n

Вырожденные поля подчиняются уравнениям

Δ^Mm,n = -(b^-1 - b)²/4 + λ^2m,-n,

D^(L)

(3)

D^m

,nVm,n

m,nVm,n

= 0, аналогичным мини-

λ_m,n = (mb^-1 + nb)/2.

мальным моделям. Второй вид - это поля V_m,-n,

используемые для построения исследуемых классов

Мы также будем обозначать эти примарные поля

когомологий в МЛГ (см. ниже).

Φ_α, где параметр α связан с размерностью согласно

Трехточечная функция в теории Лиувилля [16]

Δ^αM) = α(α - b^-1 + b). Дополнительно к описанному

C_L(a₁, a₂, a₃) = 〈Va1 (0)Va2 (1)Va3 (∞)〉_L известна явно:

выше в минимальной модели:

1. Все вырожденные поля Φ_m,n составляют

C_L(a₁, a₂, a₃) =

(9)

спектр теории.

(

∏

)_(Q-a)/b Υ_b(b)

Υ_b(2a_i)

2. В каждом модуле Вирасоро, порожденном

= πµγ(b²)b2-2b2

Υ_b(a - Q)

Υ_b(a - a_i)

Φ_m,n, проведена факторизация по подмодулю,

i=1

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

Пятиточечные корреляционные числа в минимальной Лиувиллевской гравитации

581

где a = a₁ + a₂ + a₃ и Υ_b(x) - некоторая специаль-

BRST-замкнута: QW_m,n =

QW_m,n = 0. Мы также

ная функция [16]. Операторное разложение (OPE) в

будем параметризовать такие поля числом a: W_a =

теории Лиувилля дается следующей формулой:

V_aΦ_a-b.

В минимальной гравитации существует допол-

Va1 (x)Va2 (0) =

(10)

нительный набор BRST-замкнутых полей духово-

∫^′ dP

(L)

[

]

го числа ноль, образующих так называемое “кольцо

-Δ^(L)a

C^(L)Q/2+iPa

(xx)^ΔQ/2+iP-Δ(

V_Q/2+iP (0)

4π

1,a2

дискретных состояний” [18]. Они построены из по-

томков вырожденных полей в обоих секторах и име-

где структурная константа связана с (9) как C^a

,a2 =

ют общий вид

= C_L(g, a, Q-p). Интегрирование здесь идет по мни-

мой оси, если a₁ и a₂ лежат в области

O_m,n(x) = H_m,n

H_m,nΘ_m,n, Θ_m,n ≡ V_m,nΦ_m,n, (15)

|Q/2 - Re a₁| + |Q/2 - Re a₂| < Q/2.

(11)

где H_m,n - полином степени mn - 1 из мод Вирасо-

,L_k, а также духов B и C. Общий вид H_m,n

ро L^Mk

Мы требуем аналитичности в других областях пара-

неизвестен, но можно найти его в каждом отдельном

метров, т.е. к интегралу нужно добавить отдельно

случае, потребовав Q-замкнутости O_m,n. Эти опера-

вычеты в полюсах, пересекающих контур при ана-

торы играют важную роль в выводе “высших урав-

литическом продолжении из области (11). Эти доба-

нений движения”.

вочные вклады (“дискретные члены”) особенно важ-

Свойства операторов из кольца дискретных со-

ны, чтобы формула (10) воспроизводила операторное

стояний включают:

разложение с вырожденными полями V_m,n.

1. Независимость корреляторов от их положения

Духи и BRST-инвариантность. Духовый сек-

в том смысле, что

тор - фермионная (B, C)-система с размерностями

полей (2, -1)

∂O_m,n = BRST-точное.

(16)

∫

2. Простые правила слияния в когомологиях друг с

A_gh =

(

∂B+

C∂

B)d²x

(12)

другом

и центральным зарядом -26, которая появляет-

O_m,n(x)O_m′_,n′ (0) =

ся в результате фиксации калибровки методом

Фаддеева-Попова. В МЛГ появляется нечетная

∑

G(m,n)|(m′,n′)r,sO_r,s(0) +

BRST-симметрия, генерируемая (голоморфным)

r=|m-m^′|+1:2 s=|n-n^′|+1:2

зарядом

∮

+ BRST-точное.

(17)

Q = (CT + C∂CB)

(13)

2πi

3. А также с операторами W_a духового числа 1

где T - тензор энергии импульса материи и теории

Лиувилля. По определению физические состояния

∑

в МЛГ - классы BRST-когомологий Q и антиголо-

O_m,nW_a =

A^(m,n)r,s(a)W

+sb

a+^rb-1

морфного заряда

r=-m+1:2 s=-n+1:2

Физические поля и их корреляторы. Простейшие

+ BRST-точное.

(18)

представители когомологий с духовым числом ноль

могут быть получены “одеванием” примарных по-

Перенормировкой операторов O_m,n и W_m,n коэффи-

лей Φ_m,n Лиувиллевскими операторами V_m,-n; сум-

циенты G^r

иA^r

s (a) могут быть сделаны

марная размерность U_m,n ≡ V_m,-nΦ_m,n равна (1, 1).

единичными; более явно, верны следующие формулы

BRST-вариация U_m,n дается

^′,n^′)

Λ_m,nΛ_m′_,n′

B_m,n

G^(m,n)|(mr,s

;Λ_m,n =

N (a_m,-n),

QU_m,n = ∂(CU_m,n),

(14)

Λ_r,s

(19)

поэтому интегралы от U_m,n по сфере BRST-

B_m,n N(a)N(a_m,-n)

A^(m,n)r,s(a) =

(20)

инвариантны (с точностью до возможных граничных

π N(a + λ_r,s)

членов в зависимости от других вставок).

Чтобы получить локальные физические поля с

[γ(2ab - b²)γ(2ab^-1 - b^-2)]1/2

N (a) =

духовым числом 1, вместо интегрирования мож-

(πµ)^a/b

γ^2a/b-1(b²)γ(2 - b^-2)

но рассмотреть (0, 0)-форму W_m,n ≡ CCUm,n; она

(21)

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

582

А. А. Артемьев, А. А. Белавин

где B_m,n определена ниже (23). Таким образом, необ-

O^′ с W будут логарифмические члены, которые да-

ходимая перенормировка O_m,n = Λ^-1m,nO_m,n и W_a =

ют дельта-функцию после дифференцирования. Эти

= N(a)^-1W_a.

логарифмические члены мы и должны вычислить.

Высшие уравнения движения и МЛГ. ВУД в тео-

Вклад от бесконечности берется из того, что V^′m,n

рии Лиувилля говорят о так называемых логариф-

при x → ∞ ведет себя как (см. [13])

мических операторах V^′a; по определению

V ′1,2(x) ∼ -Δ′m,n log(xx)V_1,2(0),

1 ∂

Δ^′m,n ≡ 2λ_m,n = mb^-1 + nb.

(27)

V ′a(x) =

V_a(x).

(22)

2∂a

Аналогично ведет себя и O^′m,n; на бесконечности мы

Мы будем обозначать за V^′m,n такие производные по

можем заменить его на O_m,n с тем же коэффици-

параметру, вычисленные в точке a = a_m,n.

ентом и логарифмом. Соответствующий граничный

Согласно ВУД, потомки логарифмических опера-

вклад дается

торов можно отождествить (с точностью до констан-

- 2λ_m,n 〈O_m,n(0)Wa1(x₁)Wa2(x₂)Wa3(x₃)〉 .

(28)

ты) с примарными полями V_m,-n [17]; именно,

Этот коррелятор не зависит от положения O_m,n (сле-

D^(L)m,n D^(L)m,nV^′m,n =

(23)

дует из описанных ранее свойств), поэтому мы мо-

жем сдвинуть его к любому из полей W и провести

= B_m,nV_m,-n, B_m,n = (πµγ(b²)b2-2b2)ⁿ Υ^b(2αm,n)

операторное разложение, получив, например,

Υ_b(2α_m,-n)

∑

Из этих формул можно получить ключевое для на-

- 2λ_m,n

ших целей соотношение в МЛГ: определив O^′m,n :=

r=-m+1:2

:= H_m,n

H_m,nΘ^′m,n, где Θ^′m,n := Φ_m,nV^′m,n, имеем сле-

∑

(29)

дующую связь (см. [13, 19])

Wa1+λr,s (x1)Wa2 (x2)Wa3 (x3)

s=-n+1:2

U_m,n = B^-1m,n

∂-

Q B_-1)(∂ - QB_-1)O^′m,n.

(24)

Логарифмические факторы в OPE O^′ с W могут воз-

никнуть только от дифференцирования по a степен-

Здесь B_-1 - мода духового поля B.

ных факторов (xx) в дискретных членах в Лиувил-

Четырехточечный коррелятор. Продемонстри-

левской части. Например, для случая OPE V^′1,2V_a мы

руем применение (24) на примере четырехточечного

получим

коррелятора, следуя [12]. Выделив отдельно норми-

(

∏

log(xx) q^(1,2)0,1(a)(xx)^abC^+L(a)[V_a-b/2(0)] +

ровочные факторы N (a_i) × N (a_m,-n), с учетом

)

i=1

определений перенормированных операторов выше

+ q^(1,2)0,-1(a)(xx)1-ab+b2C-L (a)[V_a+b/2(0)] ,

(30)

мы рассматриваем

q^(m,n)r,s ≡ |a - λ_r,s -

|-λ_m,n.

(31)

C₄(a₁, a₂, a₃|m, n) ≡

(25)

∫

Другими словами, результат напоминает OPE с

U_m,n(x)

обычным примарным полем V_1,2, помимо дополни-

≡

d²x

Wa1(x₁)Wa2(x₂)Wa3(x₃)

Z_L

N (a_m,-n)

тельных факторов q^r

. Это же справедливо для

общего случая V^′m,n. Перемножая OPE в Лиувилле

Перепишем U_m,n согласно

(24). Поскольку W -

и минимальных моделях и действуя H_m,n

H_m,n, мы

операторы Q-замкнуты, мы игнорируем BRST-

получим выражение, аналогичное (18) вида

точные члены; получим

O^′m,n(x)W_a(0) =

(32)

Z_L C₄(a₁, a₂, a₃|m, n) =

∫

∑

O^′m,n

= log(xx)

q^(m,n)r,s(a)Wa-λr,s + . . .

= d²x

∂

Wa1Wa2Wa3

B_m,nN(a_m,-n)

r=-m+1:2 s=-n+1:2

∫

Соответствующие вклады в четырехточечный кор-

d²x

∂O^′m,nWa1Wa2Wa3

(26)

релятор (с дополнительным знаком “-” из-за про-

тивоположной ориентации граничных контуров для

Теперь мы можем использовать формулу Стокса для

окрестностей x_i и ∞)

взятия интеграла по x, т.к. имеем там полную произ-

∑

водную. Граничные вклады от окрестностей x = x_i и

q^(m,n)r,s(a_i)〈Wai-λr,s . . . 〉

(33)

x = ∞ O^′

ненулевые из-за того, что при слиянии

m,n

i=1 r=-m+1:2 s=-n+1:2

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

Пятиточечные корреляционные числа в минимальной Лиувиллевской гравитации

583

Теперь, используя, что нормированные на N (a) трех-

Теперь к граничным членам в окрестностях x_i, 0, ∞

точечные корреляторы не зависят от параметров a_i

сводится интеграл по y. Новый элемент, появля-

и равны -b^-2(b^-4 - 1) [13, 20], мы приходим к ито-

ющийся здесь - логарифмический вклад в OPE

говому ответу

O^′1,1+k

(y)O1,k1+1(0). Поскольку в логарифмических

членах OPE V^′1,k и V_a такое же, как OPE с обычным

C₄(a₁, a₂, a₃|m, n) = -(b^-6 - b^-2) ×

(34)

[

]

примарным полем V_1,k (помимо факторов q^r

), до-

∑

статочно добавить такие же факторы в правую часть

× -2mnλ_mn -

q^(m,n)r,s(a_i)

(17):

i=1 r=-m+1:2 s=-n+1:2

O^′1,k

(y)O1,k1+1(x) = log |y - x|² ×

3. Пятиточечный коррелятор. В этом разделе

2+1

мы попытаемся модифицировать рассмотренный ра-

∑

нее метод на случай пятиточечного (и высших) кор-

q(1,k2+1)0,s-k

(a1,k1+1)O1,1+s + . . .

(39)

реляторов. Для простоты мы ограничимся (2, 2p + 1)

s=k2-k1

МЛГ; нормированный коррелятор имеет вид

Четырехточечный коррелятор 〈OWWW〉 теперь мо-

жет быть вычислен, как раньше.

C₅(a₁, a₂, a₃|k₁, k₂) = Z^-1L ×

(35)

∫

Вклад при x ∼ y. Эти вклады наиболее пробле-

U1,k1+1(x)

матичны для вычисления из-за двух проблем. Во-

× d²x

N (a1,-1-k1 )

первых, такие граничные члены возникают не только

∫

U1,k2+1(y)

от

∂O^′

, но и от Q-точных членов в ВУД. Во-

× d²y

Wa1(x₁)Wa2(x₂)Wa3(x₃)

1,1+k1

N (a1,-1-k2 )

вторых, из-за отсутствия дополнительных духов C

логарифмические члены в OPE O^′1,1+k

(x) c U1,1+k2

Будем считать без ограничения общности, что k₁ ≤

не так просты, как (32). Однако мы утверждаем, что

≤ k₂. Начнем вычисление с применения ВУД для по-

эти две проблемы компенсируют друг друга; кон-

ля Uk1 ; член со второй производной

∂O^′m,n может

кретизируем это утверждение. Перепишем произве-

быть сведен к граничным вкладам в окрестностях

дение операторов U1,1+k1 (x)U1,1+k2 (y) с использова-

x_i, y и ∞.

нием (24) как

Вклады при x ∼ x_i. Здесь мы проводим OPE O^′ c

W_a(x_i). Как и раньше, только логарифмические чле-

B1,1+k1 U1,1+k1 (x)U1,1+k2 (y) =

ны важны для этой цели; в сумме полученные вкла-

∂∂-

QB_-1∂ -

∂QB_-1 +

Q B_-1QB_-1) ×

ды дадут

× O^′m,n(x)U1,1+k2(y).

(40)

∑

Перебросив действие Q и

Q с O^′m,n(x) на U1,1+k2(y),

q(1,k1+1)0,s(a_i) ×

получим в правой части (40)

i=1 s=-k1:2

∫

U1,k2+1(y)

∂∂O^′m,n)U1,1+k2 -

∂B_-1O^′m,nQU1,1+k2 -

(41)

× d²y

Wai-λ0,s (xi). . .

(36)

N (a1,-1-k2 )

−∂

B_-1O^′m,n QU1,1+k2 +

B_-1B_-1O^′m,n QQU1,1+k2

т.е. выражаются в терминах ранее вычисленного

Наконец, используя QU1,1+k2 = ∂_y(CU1,1+k2), пяти-

4-точечного коррелятора.

точечный коррелятор переписывается как

Вклад при x → ∞. Используя асимптотическое

∫

(

)

поведение O^′(x) при x → ∞, соответствующий гра-

d²y d²x∂_x

∂_x

H1,1+k1

H_1,1+k

Θ^′

1,1+k1

ничный вклад дается

∫

× U1,1+k2(y)Wa1(x₁)Wa2(x₂)Wa3(x₃) -

(42)

∏

U1,k2+1(y)

∫

Wai

(

)

- 2λ1,k1+1 d²y O1,k1+1(0)

N (a

− d²y d²x

∂_x

R1,1+k1

H_1,1+k

Θ^′

1,-1-k2)i=1

1,1+k1

(37)

× ∂_y(CU1,1+k2(y))Wa1(x₁)Wa2(x₂)Wa3(x₃) -

(43)

Для его вычисления применим ВУД теперь для

∫

)

U1,k2+1(y). Q-точные члены теперь не важны, так как

(R₁

− d²y d²x∂_x

,1+k1 H1,1+k1 Θ^′

1,1+k1

все остальные операторы Q-замкнуты; мы получим

∂_y

CU1,1+k2(y))Wa1(x₁)Wa2(x₂)Wa3(x₃) +

(44)

2λ1,k1+1

∫

−

+ d²y d²xR1,1+k1 R1,1+k1Θ^′1,1+k

∂_y

∂_y ×

∫

(

)

∏

(

)

× d²y

∂

O^′1,1+k

(y)

O1,k1+1(0)

Wai

(38)

CU1,1+k2(y)

Wa1(x₁)Wa2(x₂)Wa3(x₃),

(45)

i=1

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

584

А. А. Артемьев, А. А. Белавин

где R1,1+k := B-1H1,1+k. Для (42) мы применили

вклады будут только при x → y. Нам снова нужны

теорему Стокса в интеграле по x и вычислили все

логарифмические члены в OPE типа R

HΘ^′(x)CU(y)

граничные вклады, кроме x ∼ y; в (43), (44), (45)

или RRΘ^′(x)CCU(y), чтобы вычислить эти вклады;

∫

же, если свести к интегралу по границе

d²y, по-

мы рассмотрели несколько первых примеров и убеди-

скольку у CU

CU и W нет достаточно сингулярных

лись, что в сумме с граничными членами от окрест-

вкладов в OPE и на бесконечности CU

CU затуха-

ности x ∼ y из (42) мы получаем вклад, выглядящий

ет быстрее, чем z^-1/z^-1 соответственно, ненулевые

так же, как (36):

∫

∑

q(1,k1+1)0,s(a1,-k2-1)

d²y U_1,(k

(46)

2-s)+1(y)Wai^(xi⁾

N (a_1,-1-(k

2-s))

s=-k1:2

Проиллюстрируем это на примере k₁ = 1. Нам понадобится явный вид

H_1,2 = L^M-1 - L_-1 + b²CB, R_1,2 = b²B,

(47)

а также OPE





(1)

(2)

{









V ′1,2(x)V_a(y) = log(|x - y|²)

x-y|^2ab

C^+L(a)[V_a-b/2(y)] + |x - y|2(1-ab+b2

C^-L(a)[V_a+b/2(y)]

(48)

|



Φ_1,2(x)Φ_a-b(y) = |x - y|2(ab-b2)C^+M (a - b)[Φ_a-b/2(y)]+ |x - y|2(1-ab)C-M (a - b)[Φa-3b/2(y)]

(49)

}

(3)

(4)

Здесь a = b + α1,k2+1, а

C_L - структурные константы теории Лиувилля, помноженные на q-факторы, как в

(30). Перемножая равенства выше и действуя H_1,2

H_1,2, мы получаем OPE O^′1,1+k

и U1,1+k2; оставляя только

логарифмические вклады, на уровне примарных полей имеем

[

(

)(

)

b²

log |x - y|² ×

C^+LC⁺

+b²CB

× |x - y|2(2ab-b2)V_a-b/2Φ_a-b/2(y) +

x-y

)(

)

(1 - 2ab

1 - 2ab

C^+LC^-

+b²CB

× |x - y|²U_a-b/2(y) +

^M x-y

x-y

)

(2ab - 2b² - 1

)(2ab - 2b²

-1

C^-LC⁺

+b²CB

× |x - y|²U_a+b/2(y) +

^M x-y

x-y

(

)(

)

]

b²

C^-LC^-M

+b²CB

× |x - y|2(2-2ab+b2)V_a+b/2Φ_a-3b/2(y)

(50)

x-y

Вторая производная ∂_x

∂_x от этого дает вклад от x ∼ y в (42). Из-за отсутствия духов C члены, не имеющие

вид U_# = V_#Φ_#-b, не сокращаются, а в “правильных” членах появляются духи. Однако содержащие духи

множители выглядят как OPE

R_1,2(x)C(y) =

+b²BC + . . .

(51)

x-y

Ровно так выглядят граничные вклады от строчек (43), (44), (45). Например, для строчки (44) мы имеем

[

(

)(

)

b²

-∂_x

∂_y log |x - y|² ×

C^+LC⁺

-b²CB

+b²CB

× |x - y|2(2ab-b2)V_a-b/2Φ_a-b/2(y)+

^M x-y

x-y

(

)(

)

1 - 2ab

C^+LC^-

-b²CB

+ b² C¯B

× |x - y|²U_a-b/2(y) +

^M x-y

x¯

(

)

)(2ab - 2b²

-1

C^L-C^M

-b²CB

+b²CB

× |x - y|²U_a+b/2(y) +

⁺ x-y

x-y

(

)(

)

]

b²

C^-LC^-

-b²CB

+b²CB

× |x - y|2(2-2ab+b2)V_a+b/2Φ_a-3b/2(y)

^M x-y

x-y

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022

Пятиточечные корреляционные числа в минимальной Лиувиллевской гравитации

585

На уровне примарных полей, т.е. дифференцируя только коэффициенты, зависящие от x - y, мы можем за-

менить

∂_y на

∂_x, после чего вклады от строчек (42) и (44), пропорциональные V_a-b/2Φ_a-b/2 и V_a+b/2Φ_a- 3b

сокращаются под производной. Такое же сокращение происходит и для подобных вкладов из строчек (43) и

(45). С другой стороны, суммируя вклады типа U_a-b/2 от всех четырех строчек, мы получаем

)(

)

)(

)

(1 - 2ab

1 - 2ab

(1 - 2ab

b²

+b²CB

-b²CB

x-y

(

)(

)

(

)(

)

1 - 2ab

b²

-b²CB

+b²CB

-b²CB

x-y

(

)

1 - 2ab

(1 - 2ab

b²

+b²CB +

-b²CB

+b²CB +

-b²CB

x-y

(1 - 2ab + b²)².

(52)

|x - y|²

Видим, что духов не осталось и мы получили такой же фактор, как для OPE O^′ с W (см. (20)).

Все вместе. Собирая (36), (38) и (46), мы получили следующее выражение для пятиточечного коррелятора

C₅(a₁, a₂, a₃|k₁, k₂) = (b^-6 - b^-2)[Σ₁ + Σ₂ + Σ₃] ;

(53)

[

]

∑

Σ₁ =

q(1,k1+1)0,s(a1,-k2-1) ×

2(1 + k₂ - s)λ1,1+k2 -s +

q(1,1+k2-s)0,l(a_i)

(54)

s=-k1:2

i=1 l=-k2+s:2







∑

Σ₂ =

q(1,k1+1)0,s(a_i)2(1 + k₂)λ1,1+k2 +

q(1,k2+1)0,l(a_i - λ_0,s) +

q(1,k2+1)0,l

(a_j ) ,

(55)

i=1 s=-k1:2

l=-k2:2

j=i

[

(

)

]

∑

Σ₃ = 2λ1,1+k1

q(1,1+k2)(ai) + 2λ1,k2+1

q(1,k2+1)0,s-k

(a1,k1+1)(1 + s)

(56)

0,l

s=-k1:2 l=-k2:2 i=1

s=k2-k1

Работа была проведена в Институте теоретической физики им. Ландау в рамках государственного задания

#0029-2019-0004.

11. A. Belavin and A. Zamolodchikov, Jour. Phys. A 42,

304004 (2009); arXiv:0811.0450 [hep-th].

1. A. Belavin, M. Bershtein, and G. Tarnopolsky, Письма

12. A. Belavin and Al. Zamolodchikov, Theor. Math. Phys.

в ЖЭТФ 93(2), 51 (2011) [JETP Lett. 93(2), 471

147, 729 (2006); hep-th/0510214.

(2011)].

13. A. Belavin and Al. Zamolodchikov, JETP Lett. 82, 8

2. A. Polyakov, Phys. Lett. B 103, 207 (1981).

(2005).

3. A. Belavin, A. Polyakov, and A. Zamolodchikov, Nucl.

14. H. Dorn and H.-J. Otto, Phys. Lett. B 291, 39 (1992);

Phys. B 241, 333 (1984).

hep-th/9206053.

4. V. G. Knizhnik, A. M. Polyakov, and A. B. Zamolodchi-

15. H. Dorn and H.-J. Otto, Nucl. Phys. B 429, 375 (1994);

hep-th/9403141.

kov, Mod. Phys. Lett. A 3, 819 (1988).

16. A. Zamolodchikov and Al. Zamolodchikov, Nucl. Phys.

5. F. David, Mod. Phys. Lett. A 3, 1651 (1988).

B 477, 577 (1996).

6. J. Distler and H. Kawai, Nucl. Phys. B 321, 509 (1989).

17. Al. Zamolodchikov, Int. J. Mod. Phys. A 19S2, 510

7. P. H. Ginsparg and G. W. Moore,

(2004); hep-th/0312279.

arXiv:hep-th/9304011.

18. E. Witten, Nucl. Phys. B 373, 187 (1992);

8. P. Di Francesco, P. H. Ginsparg, and J. Zinn-Justin,

hep-th/9108004.

Phys. Rep. 254, 1 (1995); hep-th/9306153.

19. A. Belavin and V. Belavin, J. Phys. A 42, 304003 (2009);

9. M. Goulian and M. Li, Phys. Rew. Lett. 66, 2051 (1991).

arxiv: hep-th/08101023.

10. G. W. Moore, N. Seiberg, and M. Staudacher, Nucl.

20. Al. Zamolodchikov, Theor. Math. Phys.

142,

183

Phys. B 362, 665 (1991).

(2005).

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 9 - 10

2022