Письма в ЖЭТФ, том 116, вып. 12, с. 846 - 852
© 2022 г. 25 декабря
Солитоноподобные диссипативные объекты поперечного
ультразвука в деформированном парамагнитном кристалле
С. В. Сазонов1)
Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”, 123182 Москва, Россия
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, 119991 Москва, Россия
Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет), 125993 Москва, Россия
Поступила в редакцию 20 октября 2022 г.
После переработки 28 октября 2022 г.
Принята к публикации 29 октября 2022 г.
Продемонстрирована возможность существования в деформированном и находящемся во внешнем
магнитном поле неравновесном парамагнитном кристалле микросекундных солитоноподобных диссипа-
тивных импульсов поперечного ультразвука с несущей частотой субгигагерцового диапазона. Показано,
что данный метастабильный объект обладает непрерывным свободным параметром, сохраняющим па-
мять о входных условиях. Свойства и условия формирования такого объекта коренным образом отли-
чают его как от консервативных, так и от диссипативных солитонов.
DOI: 10.31857/S1234567822240053, EDN: neagmy
1. Введение. Исследования диссипативных со-
десятков секунд. Таким образом, данные состояния
литонов различной физической природы в настоящее
можно рассматривать как метастабильные. По этой
время приобретают все большую популярность. В
причине рассмотренные в [17, 18] ультразвуковые им-
значительной степени это касается оптических дис-
пульсы названы локализованными диссипативными
сипативных солитонов [1-9]. Как показывает ана-
объектами (структурами), а не диссипативными со-
лиз, нелинейные оптические эффекты часто находят
литонами. Время Δt, в течение которого такие дисси-
свои акустические аналоги [10]. Так, например, бы-
пативные объекты могут наблюдаться, и их времен-
ли предсказаны и обнаружены резонансные и нере-
ная длительность τp должны удовлетворять неравен-
зонансные консервативные солитоны акустической
ству Δt, τp ≪ T1. Диссипация здесь происходит в ре-
природы в кристаллах, содержащих парамагнитные
зультате процессов фазовой релаксации с характер-
примеси [11-16]. Следуя далее этой логике, необхо-
ным временем T2 [19]. Чтобы эти процессы внесли
димо осуществлять поиски и проводить исследова-
свой вклад в формирование локализованных дисси-
ния акустических диссипативных солитонов. Здесь
пативных объектов, необходимо выполнение условия
большей частью речь идет об ультразвуковых сигна-
Δt ≥ T2. Таким образом, имеем двойное неравенство
лах микросекундных длительностей и субгигагерцо-
T2 ≤ Δt, τp ≪ T1.
(1)
вых частот, способных распространяться в твердых
телах.
Отметим, что в [20,21] импульсы, удовлетворяю-
В [17, 18] теоретически рассмотрены ультразву-
щие (1), названы некогерентными солитонами.
ковые локализованные диссипативные объекты в
В работе [22] показано, что в статически дефор-
парамагнитных кристаллах. Речь в этих работах
мированном парамагнитном кристалле, помещенном
идет как о квазимонохроматических [17], так и об
в магнитное поле B, при условии (1) могут фор-
униполярных [18] импульсах. Данные импульсы спо-
мироваться униполярные локализованные импуль-
собны формироваться в неравновесных средах, об-
сы сдвиговой деформации. Статическая деформа-
ладающих запасом энергии. Время жизни T1 рас-
ция вызывает квадрупольное штарковское расщеп-
смотренных сред в неравновесных состояниях (вре-
ление квантовых уровней парамагнитных ионов с
мя, в течение которого сохраняется инверсная насе-
эффективным спином S = 1, на которое наклады-
ленность квантовых состояний) является конечным
вается относительно слабое зеемановское расщепле-
и лежит в интервале от миллисекунд до нескольких
ние магнитным полем (рис. 1). При этом именно зе-
емановские подуровни обладают неравновесной (ин-
1)e-mail: sazonov.sergey@gmail.com
версной) населенностью. Здесь возникает естествен-
846
Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 11 - 12
2022
Солитоноподобные диссипативные объекты поперечного ультразвука. . .
847
∂ρ00
i
= Ω(ρ∗0+ - ρ0+ + ρ0- - ρ∗0-).
(6)
∂t
Здесь
G⊥εzx
Ω=
√
,
(7)
2
2ℏ
ℏ - постоянная Планка, ω± = ωS∓ω0 - частоты кван-
товых переходов + ↔ 0 и - ↔ 0 соответственно
(рис. 1), ωS = |G∥εzz |/ℏ и ω0 = gµBB/ℏ - частоты
квадрупольного штарковского и зеемановского рас-
щеплений соответственно, g - фактор Ланде, µB -
магнетон Бора (при этом ω0 ≪ ωS и G∥εz
z
< 0), G∥ и
G⊥ - постоянные взаимодействия спина с объемной и
сдвиговой деформациями кристалла соответственно,
Рис. 1. Схема квантовых переходов, индуцированных
нижние индексы +, 0 и - у элементов матрицы плот-
поперечным ультразвуком в парамагнетике, подвер-
женном продольной статической деформации в на-
ности обозначают соответственно значения проекции
правлении внешнего магнитного поля B. Штарковский
эффективного спина +1, 0 и -1 на ось z (рис.1).
уровень “0” соответствует проекции Sz = 0 эффек-
Дополним систему (2)-(6) волновым уравнением
тивного спина на направление B. Зеемановские под-
для компоненты тензора поперечной (сдвиговой) де-
уровни “+” и “-”, переход между которыми запрещен,
формации упругого импульса [22]
обладают проекциями спина, равными соответственно
+1 и -1
∂2Ω
∂2Ω
nG2⊥ ∂2
-a2
=
(ρ+0 +ρ∗+0 -ρ0- -ρ∗0-), (8)
∂t2
∂x2
32ℏρ ∂x2
ный вопрос о том, сможет ли сформироваться соли-
тоноподобный диссипативный объект при инверсной
где a - линейная скорость волн сдвиговой дефор-
населенности наиболее вышележащего по энергии
мации в рассматриваемом кристалле, ρ - плотность
штарковского уровня эффективного спина (рис. 1).
кристалла, n - концентрация парамагнитных ионов.
Исследованию данного вопроса и посвящена настоя-
В отличие от [22] здесь необратимые потери обу-
щая работа.
словлены фазовой релаксацией, а не рассеянием им-
2. Вывод волнового уравнения. Пусть кри-
пульса на дефектах и микронеоднородностях. Фазо-
сталл кубической симметрии, содержащий парамаг-
вая релаксация учтена феноменологически слагае-
нитные ионы с эффективным спином S = 1, подвер-
мым i/T2 в первых скобках материальных уравне-
жен продольной относительной статической дефор-
ний (2) и (3) для недиагональных элементов матри-
мации εzz вдоль оси z четвертого порядка. В парал-
цы плотности на разрешенных квантовых переходах
лельном направлении приложено магнитное поле.
+ ↔ 0 и - ↔ 0. Аналогичной релаксацией на запре-
Вдоль другой оси x четвертого порядка, перпен-
щенном переходе + ↔ - мы здесь пренебрегли.
дикулярно к оси z, распространяется импульс попе-
Правая часть уравнения (8) пропорциональна па-
речного ультразвука, характеризуемый компонентой
, содержащему штарковскую
раметру η
2ℏωS ρa2
εzx тензора относительной деформации.
частоту ωS, близкую по величине к частотам разре-
Учитывая схему разрешенных спин-фононных
шенных переходов ω+ и ω-. Взяв для статической де-
переходов, показанную на рис. 1, запишем систему
формации εz
z
∼ 10-4 и постоянной взаимодействия
уравнений для элементов ρµν матрицы плотности
G∥ ∼ G⊥ ∼ 10-13 эрг [19,23], найдем ωS ∼ 1010 с-1.
эффективного спина [22]
Полагая теперь для кристалла MgO, содержащего
∂ρ0+
примесные парамагнитные ионы Fe2+, n ∼ 1021 см-3,
i
= (ω+ - i/T2)ρ0+ - Ω(ρ00 - ρ++ + ρ∗+-),
(2)
ρ ≈ 3г/см3, a ∼ 5 · 105 см/с [11,19,23], будем иметь
∂t
η ∼ 10-2. Малое значение данного параметра поз-
∂ρ0-
воляет применить к волновому уравнению (8) при-
i
= (ω- - i/T2)ρ0- - Ω(ρ00 - ρ-- + ρ+-),
(3)
∂t
ближение однонаправленного распространения [24].
В результате данное уравнение редуцируется к пер-
∂ρ+-
i
= 2ω0ρ+- + Ω(ρ0- + ρ∗0+),
(4)
вому порядку:
∂t
∂ρ++
∂ρ--
∂Ω
1∂Ω
nG2⊥
∂
i
= Ω(ρ0+ - ρ∗0+), i
= Ω(ρ∗0- - ρ0-), (5)
+
=
(ρ0+ + ρ∗0+ - ρ0- - ρ∗0-). (9)
∂t
∂t
∂x
a ∂t
64ℏρa3 ∂t
Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 11 - 12
2022
848
С. В. Сазонов
Для исключения из (2)-(6) и (9) материальных
Интегрируя данное уравнение, будем иметь
переменных будем считать, что для разрешенных и
∫t
запрещенного квантовых переходов выполняются со-
w- - w+
ρ+- = -i
Ω2e-2iω0(t-t′)dt′.
ответственно условия
ωS
-∞
ε1 = (ωSτ∗)-1 ≪ 1, ε2 = ω0τ∗ ≪ 1,
(10)
Тогда
где τ∗ - характерный временной масштаб ультразву-
∫
t
w- - w+
кового импульса.
ρ+- + ρ∗+- = -2
Ω2 sin2ω0(t - t′)dt′.
ωS
В случае квазимонохроматического импульса
-∞
τ∗ ∼ 1/ω, где ω - несущая частота импульса. Тогда
Отсюда
(10) принимают вид ε1 = ω/ωS ≪ 1 и ε2 = ω0/ω ≪ 1.
∂
В случае униполярного импульса τ∗
∼ τp. Тогда
(ρ+- + ρ∗+-) =
∂t
ε1 = (ωsτp)-1 ≪ 1 и ε2 = ω0τp ≪ 1.
∫t
Условия (10) использовались ранее при исклю-
w- - w+
= -2ω0
Ω2 cos2ω0(t - t′)dt′.
чении материальных переменных в задачах оптики
ωS
предельно коротких импульсов [25-27].
-∞
Благодаря первому условию (10), левые части в
Учитывая здесь второе неравенство (10), запишем
(2) и (3) могут быть учтены методом последователь-
приближенно
ных приближений. Следуя подходам, использован-
∫
t
ным в [22, 27], из (2), (3), (5) и (6) получим в при-
∂
w- - w+
(ρ+- + ρ∗
) = -2ω0
Ω2dt′.
(14)
ближении первого неравенства (10)
+-
∂t
ωS
-∞
Ω
ρ0+ =
(ρ00 - ρ++ + ρ∗+-) +
Используя (9), (11)-(14), получим нелинейное
ω+
волновое уравнение
w0 - w+
∂Ω
w0 - w+
∂2Ω
∂Ω
1 ∂Ω
∂Ω
+i
-
,
(11)
+
= αΩ2
-
(ω+ - i/T2)2 ∂t
ω3
∂t2
+
∂x
a0 ∂t
∂t
Ω
(
) ∫ t
ρ0- = -
(ρ00 - ρ-- + ρ+-) -
∂
∂2Ω
∂3Ω
ω-
- µ-β
Ω Ω2dt′ + γ
+σ
(15)
∂t
∂t2
∂t3
w0 - w-
∂Ω
w0 - w-
∂2Ω
−∞
-i
+
,
(12)
(ω- - i/T2)2 ∂t
ω3
∂t2
1-3w0
-
Здесь a0 = a/[1 + 2η(1 - 3w0)] ≈ a, α = 9η
,
aω2
S
t
+
∫
µ = 4ηω0w--waω
, β
= 6η1-3w0, γ
= 2η1-3w0, σ
=
w0 - w+(-)
2
S
T2aω2S
T2aω2
S
ρ++(--) = w+(-) +
Ω2dt′ + Ω2,
=η1-3w0
ω2s
T2
aω2
S
-∞
Уравнение (15) обобщает уравнения, полученные
ρ00 = 1 - ρ++ - ρ--.
(13)
ранее в других работах. В отсутствие диссипации
→ ∞ имеем β = γ = 0. Пренебрегая также ко-
T2
Здесь w0, w+ и w- - начальные населенности спино-
герентностью (14) на запрещенном переходе + ↔ -,
вых уровней 0, + и - соответственно.
т.е. полагая µ = 0, получаем из (15) модифицирован-
В силу второго неравенства (10) правая часть
ное уравнение Кортевега-де Вриза [26], описываю-
уравнения (4) мала. Поэтому при подстановке сюда
щее динамику консервативных солитонов. Если им-
выражений (11) и (12) учтем в них только главные
пульс униполярный и его длительность значительно
члены относительно малого параметра ε1, заменив
превышает время релаксации T2, то в пренебреже-
к тому же диагональные элементы матрицы плотно-
нии той же когерентностью на запрещенном перехо-
сти начальными населенностями квантовых уровней.
де полагаем в (15) α = σ = µ = 0. В этом случае
В результате (4) примет вид
(15) переходит в уравнение, полученное в [18] для ис-
2
следования динамики униполярного диссипативного
∂ρ+-
Ω
i
= 2ω0ρ+- +
(w- - w+).
солитоноподобного объекта.
∂t
ωS
Ниже будет показано, что в рассматриваемом на-
Здесь мы пренебрегли различием между частотами
ми случае когерентность на запрещенном переходе
ω+ и ω-, положив ω+ ≈ ω- ≈ ωS.
имеет принципиальное значение.
Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 11 - 12
2022
Солитоноподобные диссипативные объекты поперечного ультразвука. . .
849
3. Квазимонохроматический диссипатив-
тому же во внимание (1), (21) и выражение для σ,
ный солитоноподобный объект. Считая упругий
придем к выводу, что последним слагаемым в (19),
импульс квазимонохроматическим с несущей часто-
содержащим коэффициент 3σω, также можно прене-
той ω, представим его в виде
бречь. Суммируя сказанное, перепишем (19) в виде
Ω = ψei(ωt-kx) + c.c.,
(16)
∫
t
∂Q
1 ∂Q
+
= ΓQ - 2µQ
Q2dt′.
(19a)
где ψ - комплексная медленно меняющаяся огибаю-
∂x
Vg
∂t
−∞
щая (ММО), k - волновое число. После подстанов-
ки (16) в (15) и использования стандартного прибли-
Умножая (19a) на 2Q, после интегрирования полу-
жения ММО [28] с учетом условия ω ≫ 1/T2 будем
чим
иметь
∂θ
1 ∂θ
+
= 2Γθ - 2µθ2,
(22)
∫τ
∂x
vg ∂t
∂ψ
i
= -2(βω + iµ)ψ
|ψ|2dτ′ -
(17)
где
∂x
−∞
∫
t
θ=
Q2dt′.
(23)
∂ψ
∂2ψ
- (αω + µ/2ω)|ψ|2ψ - iγω2ψ - 2γω
- 3σω
,
−∞
∂τ
∂τ2
где “бегущее” время τ = t - x/vg, а линейная груп-
Ниже будем считать, что начальная населенность
квантовых уровней неравновесна, так что выполня-
повая скорость vg и волновое число определяются
выражениями 1/vg = ∂k/∂ω = 1/a0 + 3σω2, k =
ется условие w0 > 1/3. Поэтому Γ > 0. Кроме того,
коэффициенты α, β и σ отрицательны, как следу-
= ω/a0 + σω3.
Для нахождения приближенного решения урав-
ет из соответствующих выражений. С другой сто-
роны, положим, что уровень “+” заселен сильнее,
нения (17) представим комплексную огибающую ψ в
нежели уровень “-”. Таким образом, выполняется
виде
неравенство w-
> w+ и, как следствие, µ
> 0.
ψ = Qeiψ,
(18)
Добиться описанной в этом абзаце ситуации мож-
где Q и ϕ - действительные функции переменных x
но, например, с помощью предварительного воздей-
и τ.
ствия на кристалл, в направлении магнитного поля,
После подстановки (18) в (17) придем к системе
резонансным циркулярно-поляризованным электро-
уравнений, записанной в исходных независимых пе-
магнитным импульсом с несущей частотой, равной
ременных
частоте перехода + ↔ 0. В этом случае населенность
(
)
уровня “0” возрастет за счет частичного опустошения
∂Q
1 ∂Q
1∂ϕ
+
=Γ
1+
Q-
состояния “+”.
∂x
vg
∂t
ω ∂t
В описанных выше условиях уравнение (22) име-
∫t
(
)
ет решение типа бегущей волны
∂ϕ∂Q
∂2ϕ
− 2µQ Q2dt′ - 3σω
2
+
Q ,
(19)
∂t ∂t
∂t2
Γ
−∞
θ=
(1 + tanh ξ),
(24)
2µ
∫
t
(
)
∂ϕ
1 ∂ϕ
µ
+
= 2βω Q2dt′ +
+ ωα Q2 -
где ξ = (t - x/v)/τp, а скорость v распространения
∂x
vg
∂t
2ω
импульса определяется выражением
-∞[
]
2
Γ ∂Q
1 ∂2Q
(∂ϕ)
1
1
-2
+ 3σω
-
,
(20)
=
- Γτp.
(25)
ωQ ∂t
Q ∂t2
∂t
v
a
0
где коэффициент усиления определяется выражени-
Из (23) и (24) найдем
ем
√
3w0 - 1
Γ = -γω2 = 2ηω2
(21)
Γ
T2aω2
Q=
sech ξ.
(26)
S
2µτp
Так как импульс является квазимонохроматиче-
ским, то ωτp ≫ 1. Учитывая также, что ∂ϕ/∂t ∼
Возвращаясь к уравнению (20), будем считать,
∼ 1/τp, будем иметь оценку1ω
∂ϕ∂t ≪ 1. Приняв к
что (ω0ωS /ω2)(T2/τp) ≪ 1. Тогда легко видеть, что в
Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 11 - 12
2022
850
С. В. Сазонов
(20) можно отбросить последние два слагаемых, со-
неравенствам T2 ≪ τ ≪ T1. Время τ можно рассмат-
держащих усиливающий Γ и дисперсионный σ коэф-
ривать как характерное время формирования соли-
фициенты. Тогда с учетом (24)-(26) для отклонения
тоноподобного импульса (26). Тогда, полагая τ ∼ Δt,
δω = ∂ϕ/∂t локальной частоты от значения получим
приходим к условию (1). Таким образом, получен-
ные результаты согласуются с исходным предполо-
3 3w0 - 1 ω
жением.
δω = -
×
2w- -w+ ωSω0τp
Солитоноподобное решение
(25)-(27) есть ре-
[
]
зультат взаимной компенсации усиления, вызванно-
1
3
го преимущественной заселенностью верхнего энер-
×
(1 + tanh ξ) +
sech2ξ
(27)
T2
4τp
гетического уровня “0”, и нелинейным поглощени-
ем, которое обусловлено нормальной (не инверс-
Здесь использованы выражения для α, β и µ.
Таким образом, формирование солитоноподобно-
ной) заселенностью состояний запрещенного перехо-
да - ↔ +. Отмеченные процессы описываются соот-
го объекта с огибающей (26) сопровождается локаль-
ветственно первым и вторым слагаемыми в уравне-
ным уменьшением его несущей частоты: δω < 0.
нии (19a) (см. также (22)).
Устремляя верхний предел в интеграле
(23)
Обсуждаемое решение обладает непрерывным
к
+∞, придем к функции W (x), пропорцио-
свободным параметром, в качестве которого выбра-
нальной энергии солитоноподобного импульса:
∫
на временная длительность τp импульса. Как видно
W (x) = Q2dt′. Тогда из (22) будем иметь
из (25) и (26), с укорочением данной длительности
-∞
скорость импульса уменьшается, а амплитуда, на-
dW
против, возрастает.
= 2ΓW - 2µW2.
(28)
dx
Конкретное значение свободного параметра τ
p
несет в себе память об условиях на входе в среду.
Из (28) легко видеть, что состояние с нулевой
Данное обстоятельство является нетривиальным для
энергией импульса (с нулевым фоном) неустойчиво.
систем, содержащих диссипацию. Обычно диссипа-
В то же время состояние с W = Γ/µ, соответству-
тивные солитоны не содержат непрерывных свобод-
ющее решению (24) при t → +∞ (см. также (26)),
ных параметров [1]. Такие характеристики диссипа-
устойчиво. Данная устойчивость является условной,
тивного солитона, как амплитуда, скорость и дли-
так как неустойчиво состояние самой среды с ин-
тельность могут изменяться только дискретным об-
версной населенностью квантовых состояний, вре-
разом и определяются параметрами среды. Данная
мя жизни которого определяется временем релакса-
дискретность есть результат очень грубой памяти
ции T1 населенностей рассматриваемых квантовых
диссипативного солитона о входных условиях.
состояний. Данное время имеет порядок величины
Из (27) видно, что в центре солитоноподобного
T1 ∼ 1-10 c [19]. При коллективном начальном воз-
объекта (26), где t = x/v,
буждении парамагнитных ионов может произойти
(
)
δω
3 3w0 - 1
1
1
3
их коллективное спонтанное излучение (сверхизлу-
=-
+
ω
2w- -w+ ωSω0τp T2
4τp
чение (СИ)), сопровождающееся сокращением вре-
мени жизни возбужденного состояния с увеличени-
Взяв ωS ∼ 1011 с-1, ω0 ∼ 108 с-1, τp ∼ T2 ∼ 10-6 с,
ем числа данных ионов [19,29]. Для реализации этого
будем иметь |δω|/ω ∼ 10-6. Таким образом, несущая
нежелательного здесь эффекта необходимо выполне-
частота подвержена очень слабой модуляции, кото-
ние условия Фридберга-Хартмана [29, 30], которое в
рую вряд ли можно зарегистрировать эксперимен-
данном случае можно записать в виде Γl ≥ 1, где
тально.
l - характерный размер среды. В противном случае
Используя (26), получим оценочное выражение
эффект СИ не реализуется, а время жизни неравно-
для амплитудного значения частоты Раби диссипа-
весного состояния среды по порядку величины рав-
тивного солитоноподобного объекта
но T1. Для этого в нашем случае должно выпол-
√
няться условие l ≪ 1/Γ. Используя (21), запишем
Γ
ω
(
)2
Qm ∼
∼
√
(29)
ω
µτp
ωSω0T2τp
Γ ∼η
. Взяв T2 ∼ 10-6 c [11] и приведен-
aT2
ωS
ные выше оценки других параметров, будем иметь
Примем, что в дополнение к приведенным выше
Γ ∼ 10-3 см-1. Таким образом, l ≪ 103 см. Следова-
параметрам несущая частота ω ∼ 109 c-. Тогда из
тельно, время развития неустойчивости нулевого фо-
(28) для амплитудного значения частоты Раби по-
на τ ≈ (Γa)-1 ∼ 10-2 c. Как результат, приходим к
лучим Qm ∼ 106 с-1. Отсюда, а также из (7), (16)
Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 11 - 12
2022
Солитоноподобные диссипативные объекты поперечного ультразвука. . .
851
и (18) найдем для амплитуды εzx относительной
виде бегущей доменной стенки [32]. Совсем недав-
сдвиговой деформации εz
x
∼ ℏQm/G⊥ ∼ 10-8. Им-
но было найдено солитоноподобное униполярное ре-
пульс с таким значением деформации вполне может
шение уравнения (15) при α = µ = γ = 0, ко-
быть зарегистрирован в экспериментальных услови-
гда нелинейность имеет диссипативную природу, а
ях [19, 23, 31].
линейные необратимые потери происходят благода-
Из (25), с учетом приведенных выше оценочных
ря временной диффузии [18, 33, 34]. Данное реше-
параметров, для скорости импульса с хорошей точ-
ние также содержит непрерывный свободный пара-
ностью имеем v ≈ a0 ≈ a. Таким образом, скорость
метр. Это обстоятельство подчеркивает отличие най-
солитоноподобного объекта практически не отлича-
денных здесь и в [18, 33, 34] локализованных дис-
ется от линейной скорости звука в кристалле.
сипативных объектов от диссипативных солитонов,
Частоты штарковского ωS и зеемановского ω0
описанных в [1]. Следует также подчеркнуть, что
расщеплений пропорциональны соответственно ста-
диссипативные локализованные объекты вида (25),
тической деформации εzz кристалла и величине ин-
(26) могут формироваться в метастабильных средах
дукции B приложенного к нему магнитного поля.
и существовать в них достаточно короткие времена
Поэтому из (28) следует, что с помощью изменения
Δt, удовлетворяющие неравенству (1). Таким обра-
величин статической деформации и магнитной ин-
зом, память о входных условиях, зашифрованная в
значении непрерывного свободного параметра, явля-
дукции можно эффективно управлять значением ам-
плитуды рассматриваемого солитонополдобного объ-
ется относительно недолгой.
екта. Здесь важно, чтобы выполнялись принятые вы-
Обычно непрерывными свободными параметрами
ше неравенства ω/ωS ≪ 1 и ω/ω0 ≫ 1. Приведенной
обладают консервативные солитоны. Однако в на-
выше оценке частоты ω0 зеемановского расщепления
шем случае среда является неравновесной и в ней
соответствуют относительно небольшие значения ин-
явным образом присутствуют диссипативные про-
дукции магнитного поля B ∼ 10 Гс.
цессы, способствующие формированию здесь соли-
Диссипативный сигнал (26) может быть сформи-
тоноподобного объекта. Кроме того, состояние сре-
рован в парамагнитном кристалле после воздействия
ды после распространения рассмотренного локализо-
на него поперечным субгигагерцовым импульсом
ванного импульса отличается от ее первоначального
микросекундной длительности. Способы генерации
состояния. Эти обстоятельства не позволяют здесь
как продольных, так и поперечных ультразвуковых
говорить об исследованном объекте как о консерва-
импульсов хорошо разработаны на основе пьезоэлек-
тивном солитоне.
трических эффектов и механизмов электрострикции
[23, 31]. В любом случае необходимо помнить об усло-
вии (1), при котором можно пренебречь спонтанны-
1. Н. Н. Розанов, Диссипативные оптические о род-
ственные солитоны, Физматлит, М. (2021).
ми переходами, разрушающими инверсную населен-
ность квантовых уровней парамагнитных ионов.
2. Н. А. Веретенов, Н. Н. Розанов, С. В. Федоров, УФН
4. Заключение. В настоящей работе показа-
192, 143 (2022) [N. A. Veretenov, N. N. Rosanov, and
S. V. Fedorov, Phys.-Uspekhi 65, 131 (2022)].
на принципиальная возможность существования со-
литоноподобного квазимонохроматического ультра-
3. N. Akhmediev, A. Ankiewicz, J. M. Soto-Crespo, and
звукового импульса в усиливающем (неравновесном)
Ph. Grelu, International Journal of Bifurcation and
Chaos 19, 2621 (2009).
парамагнетике. При этом длительность такого им-
пульса превышает время необратимой фазовой ре-
4. N. A. Veretenov, N. N. Rosanov, and S. V. Fedorov,
лаксации, что говорит о принципиальной роли дис-
Phys. Rev. Lett. 117, 183901 (2016).
сипативных процессов.
5. С. В. Федоров, Н. Н. Розанов, Н. А. Веретенов,
Заметим, что акустические импульсы, в отличие
Письма в ЖЭТФ 107, 342 (2018) [S. V. Fedorov,
от оптических, способны распространяться в прово-
N. N. Rosanov, and N.A. Veretenov, JETP Lett. 107,
дящих средах. Это расширяет круг возможных при-
327 (2018)].
ложений ультразвуковых диссипативных солитоно-
6. V. E. Lobanov, O. V. Borovkova, and B. A. Malomed,
подобных объектов, дополняя возможные приложе-
Phys. Rev. A 90, 053820 (2014).
ния их оптических аналогов.
7. V. E. Lobanov, N. M. Kondratiev, and I. A. Bilenko,
Можно привести очень немного примеров реше-
Opt. Lett. 46, 2380 (2021).
ний уравнений с диссипацией, которые содержат
8. D. A. Dolinina, A. S. Shalin, and A. V. Yulin, Письма в
непрерывный свободный параметр. Это, например,
ЖЭТФ 111, 303 (2020) [D. A. Dolinina, A. S. Shalin,
хорошо известное решение уравнения Бюргерса в
and A. V. Yulin, JETP Lett. 111, 268 (2020)].
Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 11 - 12
2022
852
С. В. Сазонов
9.
D. A. Dolinina, A.S. Shalin, and A. V. Yulin, Письма
V. W. Rampton, Microwave Ultrasonics in Solid
в ЖЭТФ 112, 79 (2020) [D. A. Dolinina, A.S. Shalin,
State Physics, North-Holland Publishing Company,
and A. V. Yulin, JETP Lett. 112, 71 (2020)].
Amsterdam (1972)].
10.
Ф. В. Бункин, Ю. А. Кравцов, Г. А. Ляхов, УФН
24.
J. C. Eilbeck, J. D. Gibbon, P. J. Caudrey, and
149, 391 (1986) [F. V. Bunkin, Yu. A. Kravtsov, and
R. K. Bullough, J. Phys. A 6, 1337 (1973).
G. A. Lyakhov, Sov. Phys.-Uspekhi 29, 607 (1986)].
25.
Э. М. Беленов, П. Г. Крюков, А. В. Назаркин,
11.
N.S. Shiren, Phys. Rev. B 2, 2471 (1970).
А. Н. Ораевский, А.В. Усков, Письма в ЖЭТФ
12.
Г. А. Денисенко, ЖЭТФ
60,
2270
(1971)
47,
442
(1988)
[E. M. Belenov, P. G. Kryukov,
[G. A. Denisenko, JETP 33, 1220 (1971)].
A. V. Nazarkin, A. N. Oraevskii, and A. V. Uskov, JETP
13.
В. В. Самарцев, Б. П. Смоляков, Р. З. Шарипов,
Lett. 47, 523 (1988)].
Письма в ЖЭТФ 20, 644 (1974) [V. V. Samartsev,
26.
Э. М. Беленов, А. В. Назаркин, Письма в ЖЭТФ 51,
B. P. Smolyakov, and R. Z. Sharipov, JETP Lett. 20,
252 (1990) [E. M. Belenov and A. V. Nazarkin, JETP
296 (1974)].
Lett. 51, 288 (1990)].
14.
H.-Y. Hao and H. J. Maris, Phys. Rev. B 64, 064302
27.
С. В. Сазонов, А. Ф. Соболевский, ЖЭТФ 123, 1160
(2001).
(2003) [S. V. Sazonov and A. F. Sobolevskii, JETP 96,
15.
Г. Т. Адамашвили, ФТТ 33, 1596 (1991).
1019 (2003)].
16.
S. V. Sazonov, J. Phys.: Condens. Matter 6, 6295 (1994).
28.
С. А. Ахманов, В. А. Выслоух, А. С. Чиркин, Опти-
17.
С. В. Сазонов, Письма в ЖЭТФ 113, 612 (2021)
ка фемтосекундных лазерных импульсов, Наука, М.
[S. V. Sazonov, JETP Lett. 113, 592 (2021)].
(1988).
18.
С. В. Сазонов, Письма в ЖЭТФ 114, 102 (2021)
29.
Л. Аллен, Дж. Эберли, Оптический резонанс и двух-
[S. V. Sazonov, JETP Lett. 114, 104 (2021)].
уровневые атомы, Мир, М.
(1978)
[L. Allen and
J. Eberly, Optical Resonance and Two-Level Atoms,
19.
В. А. Голенищев-Кутузов, В. В. Самарцев, Н. К. Со-
John Wiley & Sons, Inc., N.Y. (1978)].
ловаров, Б. М. Хабибуллин, Магнитная квантовая
акустика, Наука, М. (1977).
30.
R. Friedberg and S. R. Hartmann, Phys. Lett. A 37, 285
(1971).
20.
А.А. Афанасьев, Р. А. Власов, А. Г. Черствый,
ЖЭТФ 117, 476 (2000) [A. A. Afanas’ev, R. A. Vlasov,
31.
К. Н. Баранский, Физическая акустика кристаллов,
and A. G. Cherstvyi, JETP 90, 428 (2000)].
МГУ, М. (1991).
21.
A.A. Afanas’ev, R.A. Vlasov, O. Kh. Khasanov,
32.
Дж. Уизем, Линейные и нелинейные волны, Мир, М.
T. V. Smirnova, and O. M. Fedotova, JOSA B 19, 911
(1977) [G. B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves,
(2002).
John Wiley & Sons, Inc., N.Y. (1974)].
22.
С. В. Сазонов, Письма в ЖЭТФ 116, 563 (2022).
33.
С. В. Сазонов, Письма в ЖЭТФ 114, 160 (2021)
23.
Дж. Такер, В. Рэмптон, Гиперзвук в физике твер-
[S. V. Sazonov, JETP Lett. 114, 132 (2021)].
дого тела, Мир, М.
(1975)
[J. W. Tucker and
34.
S. V. Sazonov, Laser Physics Lett. 18, 105401 (2021).
Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 11 - 12
2022
