Письма в ЖЭТФ, том 116, вып. 1, с. 20 - 24

Связанные внутримодовые солитонные пучки

в тонкой лево-ориентированной пленке

на право-ориентированной керровской подложке

Р. Литвинов⁺¹⁾, Н. Мелихова^∗

⁺Национальный исследовательский Томский политехнический университет, 634050 Томск, Россия

^∗Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, 634050 Томск, Россия

Поступила в редакцию 12 мая 2022 г.

После переработки 12 мая 2022 г.

Принята к публикации 17 мая 2022 г.

Рассмотрено распространение четырех когерентно связанных стационарных пространственных со-

литонов в тонкой лево-ориентированной пленке на керровской подложке, образованных волноводными

ТЕ-модами одного типа с положительной и отрицательной групповыми скоростями. Выполнен анализ

возможных комбинаций светлых и темных солитонов на частоте вблизи нуля групповой скорости. По-

казано, что пара встречных светлых и пара встречных темных пространственных солитонов могут од-

новременно распространяться как в случае положительного керровского коэффициента подложки, так

и в случае отрицательного. Определены закономерности формирования светло-темных солитонных пар,

обусловленные когерентной связью.

DOI: 10.31857/S1234567822130031, EDN: iwmmzc

В нелинейных оптических волокнах и планар-

няться четыре моды одного типа: пара встречных

ных волноводах возможно распространение импуль-

мод с положительными групповыми скоростями и

сов и пучков, имеющих различные солитонные оги-

пара встречных мод с отрицательными.

бающие [1-19]. В нелинейных волноводах на осно-

Анализ модуляционной неустойчивости быстрых

ве правоориентированных материалов временные и

направляемых мод планарного волновода на осно-

пространственные солитоны образованы направляе-

ве тонкой лево-ориентированной пленки на право-

мыми модами, у которых направление (положитель-

ориентированной керровской подложке [27] предска-

ной) групповой скорости совпадает с направлением

зывает распространение в нем независимо от зна-

фазовой скорости. Возможность формирования свет-

ка коэффициента Керра подложки n_2s и светлых,

лых и темных пространственных солитонов пучка-

и темных пространственных солитонов, образован-

ми направляемых мод планарного волновода с эф-

ных модами либо с положительной групповой скоро-

фектом Керра зависит от знака нелинейного оптиче-

стью, либо с отрицательной. Ниже рассмотрено рас-

ского коэффициента n₂ [1-6, 15-19]. В случае фоку-

пространение в таком волноводе четырех когерент-

сирующей (дефокусирующей) нелинейности, n₂ > 0

но связанных стационарных светлых и темных про-

(n₂ < 0) [20], в право-ориентированном волноводе на

странственных солитонов.

одной частоте могут распространяться только свет-

В тонкой лево-ориентированной пленке на кер-

лые (темные) пространственные солитоны, как оди-

ровской подложке (см. рис. 1) четыре одномерных

ночные, так и связанные [3, 4, 6, 15-19].

монохроматических световых пучка волноводных

В планарных волноведущих структурах на ос-

мод одного типа могут одновременно распростра-

нове лево-ориентированных метаматериалов [21-26]

няться на одной частоте ω вблизи нуля группо-

могут распространяться не только моды с положи-

вой скорости [23-25,27]. Если такие пучки обра-

тельными групповыми скоростями, но и моды, на-

зованы TE-модами (например, TE₂-модами), то y-

правление (отрицательной) групповой скорости ко-

компоненту вектора электрической напряженности

торых противоположно направлению фазовой. По-

общего светового поля можно представить в следую-

этому в лево-ориентированных волноводах на одной

щем виде:

частоте вдоль одного направления могут распростра-

√

E_y =

Iin[Ψ+(x)C⁺(y, z) exp(-iβ+z) +

¹⁾e-mail: litvinov_rv@mail.ru

+ Ψ₊(x)C^b+(y, z)exp(iβ₊z) +

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 1 - 2

2022

Связанные внутримодовые солитонные пучки в тонкой лево-ориентированной пленке. . .

где γ - постоянная связи. При этом, исходные НУШ

редуцируются к динамической системе в форме:

d²Υ^f+

- 2b^f+Υ^f+ +

dη²

{[

]

+σ

(Υ^f+)² + 2(Υ^b+)² + 2g(Υ^f-)² + 2g(Υ^b-)²

Υ^f+ +

}

+ (-1)^s2gΥ^b+Υ^f-Υ^b-

= 0,

(6)

d²Υ^b+

- 2b^b+Υ^b+ +

dη²

{[

]

+σ

2(Υ

)² + (Υ^b+)² + 2g(Υ^f-)² + 2g(Υ^b-)2 Υb+ +

Рис. 1. Планарный волновод на основе лево-

ориентированной пленки: покровная среда (x > h) -

}

εc ≥ 1, µc = 1; пленка (0 ≤ x ≤ h) - εf < 0, µf < 0;

+ (-1)^s2gΥ^f+Υ^f-Υ^b

= 0,

(7)

подложка (x < 0) - εs = ε0s + n2s|E|², ε0s ≥ 1, µs = 1

d²Υ^f-

+ 2b^f-Υ^f- -

+ Ψ_-(x)C^f-(y, z)exp(-iβ_-z) +

dη²

{[

]

+ Ψ_-(x)C^b-(y, z)exp(iβ_-z)] exp(iωt) + к.с.

(1)

-σ

2g(Υ^f+)² +2g(Υ^b+)² +g₁(Υ^f-)² +2g₁(Υ^b-

)2 Υf- +

}

где I_in - максимальная интенсивность светового по-

+ (-1)^s2gΥ^f+Υ^b+Υ^b

= 0,

(8)

ля; Ψ_±(x) - безразмерные функции, описывающие

пространственное распределение поля моды в на-

d²Υ^b-

правлении нормали к пленке для мод с положи-

+ 2b^b-Υ^b- -

dη²

тельной “+” и отрицательной “-” групповой скоро-

{[

]

стью [25,27]; β_± - постоянные распространения мод;

-σ

2g(Υ^f+)² +2g(Υ^b+)² +2g₁(Υ^f-)² +g₁(Υ^b-

)2 Υf- +

C^f,b+,-(y, z) - безразмерные огибающие; верхние ин-

}

дексы “f” и “b” указывают на вперед и назад рас-

+ (-1)^s2gΥ^f+Υ^b+Υ^f

= 0,

(9)

пространяющиеся моды соответственно. Можно по-

казать, что стационарные решения связанных нели-

где σ есть знак коэффициента n_2s; коэффициенты g и

нейных уравнений Шредингера (НУШ) для рассмат-

g₁ описывают влияние относительного различия про-

риваемого случая [27] в форме:

странственных распределений полей мод на форми-

[

(

)]

рование нелинейного отклика подложки (0 < g < 1,

+,-

(η)

b^f+,-

C^f+,- =

√

exp

∓i

ζ+ϕ^f

(2)

+,-

0 < g₁ < 1, g₁ < g) [25,27]; s = 0 при Δϕ = 2nπ и

s = 1 при Δϕ = (2n + 1)π (n - целое); δ = β₊/β_-.

[

(

)]

Стационарным фундаментальным светлым или

(η)

b^f+,-

+,-

темным пространственным солитонам [1-19] отвеча-

C^b+,- =

√

exp

±i

ζ+ϕ^b

(3)

+,-

ют решения системы уравнений (6)-(9) вида Υ^f,b+,-

f,b

= A

+,-

sch(aη) или Υ^f,b+,- = A^f,b+,-tanh(aη). Однако в

существуют при следующих условиях, согласующих

правоориентированных средах с нелинейным откли-

фазы огибающих,

ком керровского типа само- и кросс-модуляция на-

b^f+ - b^b+ + b^f- - b^b- = 0,

(4)

кладывают ограничения на возможные комбинации

пространственных солитонов с некогерентной свя-

зью между ними [3,4,6,15-19]. В рассматриваемом

sin(ϕ^f+ - ϕ^b+ + ϕ^f- - ϕ^b-) = sin Δϕ = 0.

(5)

случае к этим ограничениям добавляются ограни-

где Δϕ может быть интерпретирована, как сумма

чения, накладываемые процессами пространственно-

начальных разностей фаз в парах встречных соли-

параметрического смешения [25, 27], которые описы-

тонов. Переход к нормированным координатам зада-

ваются последними слагаемыми в уравнениях (6)-

ется соотношениями η = (β₊|γ|/2)^1/2y и ζ = |γ|z/2,

(9). Обусловленная таким смешением когерентная

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 1 - 2

2022

Р. Литвинов, Н. Мелихова

связь некоторой моды с другими модами отлича-

где верхний и нижний знаки в показателях экспо-

ется от когерентной связи между поляризационны-

нент отвечают солитонам, распространяющимся впе-

ми составляющими известных векторных солитонов

ред “f” и назад “b”, соответственно, а приблизитель-

[4, 6, 28-31], тем, что она обусловлена составляю-

ный знак равенства отвечает случаю частоты взаи-

щими возмущений диэлектрической проницаемости

модействия вблизи нуля групповой скорости, когда

подложки, в формировании которых исходная мода

справедливы соотношения g₁ ≈ g ≈ δ ≈ 1 [25, 27].

непосредственного участия не принимает.

Вторая комбинация при n_2s > 0 (σ = 1) и становит-

Следуя работe [6] и используя прямую подстанов-

ся возможной для разности фаз, равной Δϕ = 2nπ

ку различных комбинаций, составленных из выра-

(s = 0), и для нулевых начальных фаз темных соли-

жений вида A^f,b+,-sch(aη) и A^f,b+,-tanh(aη) в уравне-

тонов может быть получена в виде:

ния (6)-(9), можно показать, что вещественные ре-

√

шения этих уравнений, отвечающие четырем связан-

g₁ + 2δg

C^f,b+ =

√ tanh(aη) ×

ным солитонам, среди которых присутствуют тем-

4g² - g₁

ные и светлые солитоны, образованные модами толь-

[

(

)]

ко с положительной групповой скоростью, или тем-

g₁ + 2δg

× exp

∓i

a²ζ ∓ nπ

≈

ные и светлые солитоны, образованные модами толь-

4g² - g₁

ко с отрицательной групповой скоростью, не суще-

ствуют. Однако, такие решения, отвечающие комби-

≈

√ tanh(aη) exp[∓i(a²ζ ∓ nπ)],

(12)

нациям пар светлых солитонов с положительными

√

(отрицательными) групповыми скоростями связан-

f,b

δ + 2g

C_-

√ sch(aη) ×

ных с парами темных солитонов с отрицательными

4g² - g₁

(положительными) скоростями, могут быть получе-

(

)

ны.

4δg² + 4g₁g + δg₁ a²

× exp

±i

≈

При положительном коэффициенте Керра под-

4g² - g₁

ложки (n_2s > 0, σ = 1), существуют две такие комби-

(

)

нации. Первая (вторая) состоит из двух встречных

≈

√

sch(aη) exp

±i

a²ζ

(13)

светлых (темных) и двух встречных темных (свет-

лых) солитонов образованных модами с положитель-

При отрицательном коэффициенте Керра под-

ной и отрицательной групповой скоростью, соответ-

ложки (n2s < 0, σ = -1) также существуют две

ственно. Первая комбинация становится возможной

комбинации пары светлых и пары темных солито-

для суммарной разности начальных фаз солитонных

нов, которые могут распространяться в рассматри-

огибающих, равной Δϕ = (2n + 1)π (s = 1), и для

ваемом случае. Первая комбинация состоит из двух

нулевых начальных фаз светлых солитонов может

встречных светлых и двух встречных темных соли-

быть получена в виде:

тонов образованных модами с положительной и от-

√

рицательной групповой скоростью, соответственно,

3g₁ + 2δg

но при условии Δϕ = 2nπ (s = 0). Так для нулевых

C^f,b+ =

asch(aη) ×

9g₁ - 4g²

начальных фаз светлых солитонов она может быть

получена в виде:

(

)

4g² + 12δg + 9g₁ a²

√

× exp

∓i

≈

g₁ + 2δg

9g₁

- 4g²

C^f,b+ =

√ sch(aη) ×

4g² - g₁

(

)

≈ asch(aη)exp

∓i

a²ζ

(10)

(

)

4g² + 4δg + g

a²

× exp

±i

≈

4g² - g₁

√

(

)

3δ + 2g

C^f,b- =

atanh(aη) ×

≈

√

sch(aη) exp

±i

a²ζ

(14)

9g₁ - 4g²

√

[

(

)]

3δ + 2g

δ + 2g

× exp

±i g₁

3a²ζ ± (2n + 1)

≈

C^f,b- =

√ tanh(aη) ×

9g₁ - 4g²

4g² - g₁

[

(

)]

[

(

)]

δ + 2g

≈ atanh(aη)exp

±i

3a²ζ ± (2n + 1)

(11)

× exp

∓i g₁

a²ζ ∓ nπ

≈

4g² - g₁

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 1 - 2

2022

Связанные внутримодовые солитонные пучки в тонкой лево-ориентированной пленке. . .

≈

√ tanh(aη) exp[∓i(a²ζ ∓ nπ)].

(15)

Пары светлых и темных пространственных солито-

нов с положительными и отрицательными группо-

Вторая комбинация состоит из пары встречных тем-

выми скоростями, соответственно, могут быть сфор-

ных и пары встречных светлых солитонов образо-

мированы в случае положительного (отрицательно-

ванных модами с положительной и отрицательной

го) керровского коэффициента подложки, если крат-

групповой скоростью, соответственно, но при усло-

ность числу π суммы разностей фаз в различных па-

вии Δϕ = (2n+1)π (s = 1). Так, для нулевых началь-

рах встречных солитонов является нецелым (целым)

ных фаз темных солитонов она может быть получена

числом. Наоборот, пары темных и светлых солито-

в виде:

нов с положительными и отрицательными группо-

выми скоростями, соответственно, могут быть сфор-

√

мированы в случае положительного (отрицательно-

3g₁ + 2δg

C^f,b+ =

a tanh(aη) ×

го) керровского коэффициента подложки, если такая

9g₁ - 4g²

кратность является целым (нецелым) числом. Дру-

[

гие связанные комбинации внутримодовых солитон-

(3g₁ + 2δg

π)]

× exp

±i

3a²ζ ± (2n + 1)

≈

ных пучков в рассмотренном случае распространять-

9g₁ - 4g²

ся не могут.

[

(

)]

Работа выполнена при частичной поддержке Про-

≈ atanh(aη)exp

±i

3a²ζ ± (2n + 1)

(16)

граммы повышения конкурентоспособности ТПУ.

√

3δ + 2g

С. А. Ахманов, В. А. Выслоух, А. С. Чиркин, Опти-

C^f,b- =

a sch(aη) ×

9g₁ - 4g²

ка фемтосекундных лазерных импульсов, Наука, М.

(1988).

(

)

4δg² + 12g₁g + 9δg₁ a²

A. Hasegawa, Optical Solitons in Fibers, SpringerVerlag,

× exp

∓i

≈

9g₁

- 4g²

Berlin (1989).

N. N. Rosanov, in Progress in Optics, Elsevier Science

(

)

B. V. (1996), v. 35, p. 1.

≈ asch(aη)exp

∓i

a²ζ

(17)

N. N. Akhmediev and A. Ankiewicz, Nonlinear pulses

and beams, Chapman & Hall London, Weinheim, N.Y.,

Отметим, что в волноводах со специально леги-

Tokyo, Melbourne, Madras (1997).

рованной стеклянной подложкой и высоким нели-

G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, Academic Press,

нейным оптическим коэффициентом порядка n_2s ∼

Boston, San Diego, N.Y., London, Sydney, Tokyo,

∼ 10^-19 м²/Вт [15,17] постоянная нелинейной свя-

Toronto (2001).

зи между модами может при интенсивности све-

Yu. S. Kivshar and G. P. Agraval, Optical Solitons. From

та порядка I_in

∼ 10¹⁵ Вт/м² достигать несколь-

Fibers to Photonic Crystals, Academic Press, Rochester,

ких десятков обратных сантиметров, γ ∼ 10^-2 см^-1

N.Y. (2003).

[25, 27]. Постоянные распространения направляемых

M. Lapine, I. Shadrivov, and Yu. Kivshar, Rev. Mod.

ТЕ₂-мод вблизи частоты ноля групповой скорости в

Phys. 86, 1093 (2014).

волноводах с линейными параметрами из работ [23-

В. Е. Захаров, А. Б. Шабат, ЖЭТФ 64, 1627 (1973).

25,32] имеют порядок β₊ ∼ β_- ∼ 10⁷ м^-1. Тогда при

A. Hasegawa and F. Tappert, Appl. Phys. Lett. 23, 142

a ∼ 1 реальная ширина солитона по уровню 3дБ со-

(1973).

ставит несколько десятков микрометров, что харак-

10.

L. F. Mollenauer, R. H. Stolen, and J. P. Gordon, Phys.

терно для пространственных солитонов в нелиней-

Rev. Lett. 45, 1095 (1980).

ных правоориентированных средах [1, 3, 4, 6, 15-19].

11.

P. Emplit, J. P. Hamaide, F. Reynaud, C. Froehly, and

Таким образом, в тонкой лево-ориентированной

A. Barthelemy, Opt. Commun. 62, 374 (1987).

пленке на право-ориентированной керровской под-

12.

D. Krokel, N. J. Halas, G. Giuliani, and

ложке волноводные моды одного типа на частоте

D. Grischkowsky, Phys. Rev. Lett. 60, 29 (1988).

вблизи ноля групповой скорости могут формиро-

13.

N. A. Zharova, I. V. Shadrivov, A. Zharov, and

вать две пары встречных внутримодовых солитон-

Yu. S. Kivshar, Opt. Express 13, 1291 (2005).

ных пучков, когерентно связанных между собой. Од-

14.

A. D. Boardman, R. C. Mitchell-Thomas, N. J. King,

на из этих пар образована модами с положитель-

and Y. G. Rapoport, Opt. Commun. 283, 1585 (2010).

ной групповой скоростью, а другая пара образова-

15.

G. I. Stegeman and C. T. Seaton, J. Appl. Phys. 58, R57

на модами с отрицательной групповой скоростью.

(1985).

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 1 - 2

2022

Р. Литвинов, Н. Мелихова

16. A. Boardman and P. Egan, IEEE J. Quantum Electron.

R. A.A. Rakhim, and O. V. Stukach, Quantum

22, 319 (1986).

Electronics 46, 1040 (2016).

17. G. I. Stegeman, E. M. Wright, N. Finlayson, R. Zanoni,

25. A. S. Buller, S. V. Leonov, N. R. Litvinova, and

and C. T. Seaton, J. Light. Technol. 6, 953 (1988).

R. V. Litvinov, JETP 157, 387 (2020).

18. M. Fontaine, J. Appl. Phys. 69, 2826 (1991).

26. A. Lai, C. Caloz, and T. Itoh, IEEE Micrwave magazine

5, 34 (2004).

19. L. Friedrich, G. I. Stegeman, P. Millar, C. J. Hamilton,

27. A. S. Buller, Yu. V. Zelenetskaya, R. V. Litvinov, and

and J. S. Aitchison, Opt. Lett. 23, 1438 (1998).

N. R. Melikhova, Quantum Electronics 51, 1030 (2021).

20. С. Н. Власов, В. И. Таланов, Самофокусировка волн,

28. C. Martijn de Sterke and J. E. Sipe, Opt. Lett. 16, 202

Институт прикладной физики РАН, Н. Новгород

(1991).

(1997).

29. J. M. Soto-Crespo, N. Akhmediev, and A. J. Ankiewicz,

21. A. V. Novitsky and L. M. Barkovsky, J. Opt. A: Pure

Opt. Soc. Am. B 12, 1100 (1995).

Appl. Opt. 7, S51 (2005).

30. J. M. Soto-Crespo, N. Akhmediev, and A. Ankiewicz,

22. L. F. Shen and Z. H. Wang, J. Opt. Soc. Am. A 26, 754

Phys. Rev. E 51, 3547 (1995).

(2009).

31. D. C. Hutchings, J. S. Aitchison, and J. M. Arnold,

23. Д. А. Конкин, А. А. Шибельгут, Р. В. Литвинов, Изв.

J. Opt. Soc. Am. B 14, 869 (1997).

Самарского научного центра РАН 17, 83 (2015).

32. M. R. Litvinov, A. S. Spiridonovа, R. V. Litvinov, and

24. D. A. Konkin, R. V. Litvinov, E. S. Parfenova,

D. A. Konkin, Tech. Phys. Lett. 47, 459 (2021).

Письма в ЖЭТФ том 116 вып. 1 - 2

2022