Письма в ЖЭТФ, том 115, вып. 7, с. 444 - 447

Эффект Холла в легированном моттовском диэлектрике:

DMFT-приближение

Э. З. Кучинский⁺, Н. А. Кулеева⁺, Д. И. Хомский^∗, М. В. Садовский⁺¹⁾

⁺Институт электрофизики Уральского отделения РАН, 620016 Екатеринбург, Россия

^∗II Physikalisches Institut, Universitaet zu Koeln, 50937 Koeln, Germany

Поступила в редакцию 1 марта 2022 г.

После переработки 1 марта 2022 г.

Принята к публикации 1 марта 2022 г.

В рамках подхода, основанного на динамической теории среднего поля (DMFT) анализируется эф-

фект Холла в легированном моттовском диэлектрике, как прототипе купратного сверхпроводника. Рас-

сматривается ситуация с частичным заполнением (дырочным допированием) нижней хаббардовской зо-

ны. Найдена зависимость коэффициента Холла и холловского числа от степени дырочного легирования

и определено значение критической концентрации, при которой происходит смена знака коэффициен-

та Холла. Отмечается существенная зависимость параметров эффекта Холла от температуры. Проде-

монстрировано хорошее согласие с концентрационной зависимостью холловского числа, найденной в

экспериментах в нормальном состоянии YBCO.

DOI: 10.31857/S1234567822070072, EDN: flfjiq

1. Введение. В последние годы большой инте-

реход от небольшой дырочной поверхности Ферми к

рес вызывают экспериментальные исследования эф-

электронной? Решение этого вопроса представляется

фекта Холла при низких температурах в нормаль-

важным и для общей теории транспортных явлений

ном состоянии высокотемпературных сверхпровод-

в сильно коррелированных системах.

ников (купратов), которое реализуется в очень силь-

Весьма общим подходом к исследованию моде-

ных внешних магнитных полях [1-3]. Наблюдаю-

ли Хаббарда остается динамическая теория среднего

щиеся при этом аномалии эффекта Холла обычно

поля (DMFT) [5-7]. Целью данной работы являет-

связываются с реконструкцией поверхности Ферми,

ся систематическое исследование концентрационном

связанной с формированием (антиферромагнитной)

и температурной зависимости эффекта Холла при

псевдощели и с близостью к соответствующей кван-

различных степенях легирования нижней хаббардов-

товой критической точки [4].

ской зоны в рамках DMFT-подхода и сравнение по-

В то же время, почти общепринятой является

лученных результатов с экспериментом на YBCO [2].

точка зрения о том, что купраты являются силь-

Мы увидим, что удивительным образом имеющиеся

но коррелированными системами и металлическое

экспериментальные данные могут быть практически

(сверхпроводящее) состояние в них реализуется в ре-

количественно объяснены в рамках этой элементар-

зультате легирования (допирования) исходной фа-

ной модели.

зы моттовского диэлектрика, который в простейшем

2. Основные соотношения. В DMFT [5-7]

приближении может быть описан в рамках модели

собственно энергетическая часть одноэлектронной

Хаббарда. При этом практически отсутствуют рабо-

функции Грина G(pε) является локальной, т.е. не

ты, в которых в рамках этой модели проводились бы

зависящей от импульса. В условиях такой локаль-

систематические исследования зависимости эффекта

ности и обычная, и холловская проводимость полно-

Холла от степени допирования. Здесь возникает из-

стью определяются спектральной плотностью

вестный вопрос, что определяет знак эффекта Хол-

ла? При малом дырочном допировании исходного ди-

A(pε) = -

Im G^R(pε).

(1)

электрика, такого как La₂CuO₄ или YBCO, он, оче-

видно, просто определяется концентрацией дырок δ.

В частности, статическая проводимость имеет вид:

Но при какой степени допирования происходит сме-

(

∫ ∞

)∑(∂ε(p))2

πe

df(ε)

на знака коэффициента Холла, когда происходит пе-

σ_xx =

dε

A²(pε),

2ℏa

-∞

dε

∂p_x

pσ

¹⁾e-mail: sadovski@iep.uran.ru

(2)

444

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 7 - 8

2022

Эффект Холла в легированном моттовском диэлектрике. . .

445

а холловская проводимость [5]:

дырками моттовском диэлектрике (далее мы будем

рассматривать именно дырочное допирование) такой

∫ ∞

2π²e³aH

пик лежит вблизи верхнего края нижней хаббардов-

σ^Hxy =

dε

( df(ε)) ∑(∂ε(p))2 ×

3ℏ²

-∞

dε

∂p_x

ской зоны (см. рис. 1). Поэтому при низкой темпе-

pσ

∂²ε(p)

A³(pε).

(3)

∂p²

Здесь a - параметр решетки, ε(p) - электронная дис-

персия, f(ε) - функция распределения Ферми, а H -

напряженность магнитного поля вдоль оси z. Таким

образом, коэффициент Холла:

σ^Hxy

R_H =

(4)

Hσ²

также полностью определяется спектральной плот-

ностью A(pε), которую мы далее будем находить в

рамках DMFT [5-7]. Для решения эффективной од-

нопримесной модели Андерсона в DMFT в данной

работе использовался метод численной ренормгруп-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Плотность состояний в допи-

пы (NRG) [8].

рованном моттовском диэлектрике при различных тем-

Мы провели достаточно обширные расчеты эф-

пературах. Параметры модели Хаббарда приведены на

фекта Холла для различных моделей исходного зон-

рисунке, 8t - ширина исходной зоны (5). На вставке по-

ного спектра. Ниже, имея в виду сравнение с экспе-

казана плотность состояний в широком интервале энер-

риментальными данными по YBCO, мы ограничимся

гий, включающем верхнюю хаббардовскую зону

результатами, полученными для двумерной модели

электронного спектра в приближении сильной связи:

ратуре коэффициент Холла во многом определяет-

ε(p) = -2t(cos(p_xa) + cos(p_ya)) - 4t^′ cos(p_xa) cos(p_ya).

ся заполнением квазичастичной зоны. При высокой

(5)

температуре (порядка или больше ширины квазича-

В этой модели мы в дальнейшем рассмотрим два

стичного пика) квазичастичный пик размывается и

случая:

коэффициент Холла определяется заполнением ниж-

(1) модель с перескоком лишь на ближайших со-

ней хаббардовской зоны. Таким образом, необходимо

седей (t^′ = 0) и полной электрон-дырочной симмет-

рассматривать два достаточно разных температур-

рией;

ных режима для эффекта Холла.

(2) случай t^′/t = -0.4, качественно соответству-

В низкотемпературном режиме и ширина, и ам-

ющий ситуации, наблюдаемой в YBCO.

плитуда квазичастичного пика зависят как от запол-

Для других купратов следует использовать дру-

нения, так и от температуры. Рост температуры при-

гие значения отношения t^′/t.

водит к уширению квазичастичного пика и некоторо-

В дальнейшем для используемых двумерных

му смещению уровня Ферми ниже максимума этого

моделей статическая проводимость находилась в

пика (см. рис. 1). Это может приводить к заметному

единицах универсальной двумерной проводимости

падению коэффициента Холла, однако дальнейший

σ₀ = e²/ℏ, а холловская проводимость в единицах

рост температуры, размывая квазичастичный пик,

e³a²H/ℏ². Соответственно, коэффициент Холла (4)

приводит к росту этого коэффициента. Существен-

далее определялся в единицах a²/e.

ная зависимость квазичастичного пика от заполне-

3. Результаты расчетов и сравнение с экс-

ния зоны в низкотемпературном режиме приводит к

периментом. Для сильно коррелированных систем

областям немонотонной зависимости коэффициента

коэффициент Холла существенно зависит от темпе-

Холла от заполнения (см. рис. 2).

ратуры. При низкой температуре в таких системах

В высокотемпературном режиме квазичастичный

в DMFT приближении наряду с нижней и верхней

пик размыт температурными поправками и факти-

хаббардовскими зонами вблизи уровня Ферми фор-

чески отсутствует. В этом случае глубоко в допи-

мируется узкая квазичастичная зона - квазичастич-

рованном дырками моттовском диэлектрике коэф-

ный пик в плотности состояний. В допированном

фициент Холла фактически определяется заполне-

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 7 - 8

2022

446

Э. З. Кучинский, Н. А. Кулеева, Д. И. Хомский, М. В. Садовский

n = n_↑ ≈ (1 - n_↓) ×

(

)

∫ ∞

∑

dεf(ε)

-∞

ε - ε_-(p) + iδ

= (1 - n)n₀.

(7)

Тогда при половинном заполнении нижней хаббар-

довской зоны n₀ = 1/2 происходит смена знака эф-

фекта Холла (эффективной массы квазичастиц), так

что снова получаем n = n_c = 1/3.

На рисунке 2 легко видеть, что высокотемпера-

турное поведение коэффициента Холла в допирован-

ном моттовском диэлектрике (U/2D = 4; 10) в мо-

дели с полной электрон-дырочной симметрией (t^′ =

Рис. 2. (Цветной онлайн) Зависимость коэффициента

= 0) полностью подтверждает такую оценку. При

Холла от заполнения зоны при низких (незаполненные

заметном нарушении такой симметрии эта простей-

символы) и при высоких (заполненные символы) тем-

шая оценка перестает работать, поскольку даже в

пературах в двумерной модели электронного спектра

отсутствие корреляций смена знака эффекта Хол-

(5) с перескоком лишь на ближайших соседей (t^′ = 0)

ла наблюдается не при половинном заполнении (см.

рис. 3).

нием нижней хаббардовской зоны (верхняя находит-

ся существенно выше по энергии и практически не

заполнена). В такой ситуации в модели с электрон-

дырочной симметрией (t^′ = 0) оценка заполнения зо-

ны, при котором происходит смена знака коэффици-

ента Холла, может быть получена из качественных

соображений. Будем рассматривать парамагнитную

фазу n_↑

= n_↓ = n, так что n далее обозначает

плотность электронов на одну проекцию спина, а их

полная плотность равна 2n. Естественно предполо-

жить, что смена знака коэффициента Холла проис-

ходит вблизи половинного заполнения нижней хаб-

бардовской зоны n₀ ≈ 1/2. Пусть мы рассматриваем

состояния с проекцией спина “вверх”, тогда полное

число состояний в нижней хаббардовской зоне есть

Рис. 3. (Цветной онлайн) Зависимость коэффициента

1-n_↓ = 1-n. Тогда для заполнения зоны получаем

Холла от заполнения зоны при низких (незаполненные

n = n_↑ = n₀(1 - n) ≈ 1/2(1- n). Таким образом, для

символы) и при высоких (заполненные символы) тем-

заполнения, при котором происходит смена знака ко-

пературах в двумерной модели электронного спектра

эффициента Холла, получаем n_c ≈ 1/3.

(5) с перескоками между первыми и вторыми ближай-

Этот же результат легко получается и в прибли-

шими соседями (t^′/t = -0.4)

жении Хаббард I, где функция Грина для электронов

Необходимо отметить, что к размытию и исчез-

с проекцией спина “вверх” имеет вид [9]:

новению квазичастичного пика приводит не только

1-n_↓

n_↓

G^R↑(εp) =

(6)

рост температуры, но и разупорядочение [10, 12],

ε - ε_-(p) + iδ

ε - ε₊(p) + iδ

а также псевдощелевые флуктуации, которыми ло-

где ε_±(p) - спектр квазичастиц в верхней и ниж-

кальный подход DMFT полностью пренебрегает [11,

ней хаббардовских зонах. Видим, что в этом прибли-

12]. Таким образом, область применимости приве-

жении число состояний с проекцией спина “вверх”

денных выше простых оценок в условиях электрон-

в нижней хаббардовской зоне (первое слагаемое в

дырочной симметрии реально оказывается заметно

(6)) действительно есть 1 - n_↓. При допировании

шире.

дырками моттовского диэлектрика практически весь

На рисунке 4 показано сравнение результатов на-

вклад в заполнение дает нижняя хаббардовская зо-

ших расчетов для холловского числа (холловской

на, поэтому:

для достаточно типичных

концентрации) n_H

eRH|

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 7 - 8

2022

Эффект Холла в легированном моттовском диэлектрике. . .

447

проекцию спина или 2/3 для полной плотности элек-

тронов, что соответствует дырочному легированию

δ = 1 - 2n = 1/3, но в общем случае она доста-

точно сильно зависит от выбора параметров модели.

Эта концентрация возникает из простых качествен-

ных оценок и не связана с более сложными факто-

рами, такими как изменение топологии поверхности

Ферми или наличием квантовых критических точек.

Более чем удовлетворительное согласие получен-

ных концентрационных зависимостей холловского

числа с экспериментами на YBCO [2] показывает, что

рассмотренная нами модель может быть достаточно

разумной альтернативой картине эффекта Холла в

окрестности квантовой критической точки, связан-

Рис. 4. (Цветной онлайн) Зависимость холловского чис-

ной с закрытием псевдощели [4].

ла nH от степени легирования - сравнение с экспери-

Работа Э. З. Кучинского, Н. А. Кулеевой и

ментом [2] для YBCO, δ = 1-2n - концентрация дырок.

М. В. Садовского выполнялась при частичной

Звездочки - результаты наших расчетов, синие круж-

поддержке гранта Российского фонда фунда-

ки - эксперимент

ментальных исследований

#20-02-00011. Работа

Д.И.Хомского поддержана грантом DFG по проекту

значений параметров модели с экспериментальными

#277146847 - CRC 1238.

данными по YBCO из работы [2]. Видим, что даже

при этом достаточно произвольном выборе парамет-

F. F. Balakirev, J. B. Betts, A. Migliori, I. Tsukada,

ров, мы получаем практически количественное со-

Y. Ando, and G. S. Boebinger, Phys. Rev. Lett. 101,

017004 (2009).

гласие с экспериментом, без всяких предположений о

S. Badoux, W. Tabis, F. Laliberte, B. Vignolle,

связи эффекта Холла с реконструкцией поверхности

D. Vignolles, J. Beard, D. A. Bonn, W. N. Hardy,

Ферми псевдощелью и близости к соответствующей

R. Liang, N. Doiron-Leyraud, L. Taillefer, and

квантовой критической точке, которые использова-

C. Proust, Nature 531, 210 (2016).

лись в работах [2-4]. Достаточно очевидно, что ана-

C. Collignon, S. Badoux, S. A. A. Afshar, B. Michon,

логичные данные [3] для системы NLSCO могут быть

F. Laliberte, O. Cyr-Choiniere, J.-S. Zhou,

интерпретированы в рамках нашей модели при соот-

S. Licciardello, S. Wiedmann, N. Doiron-Leyraud,

ветствующем изменении параметров t/t^′ и U. Таким

and L. Taillefer, Phys. Rev. B 95, 224517 (2017).

образом, оказывается, что интерпретация эффекта

C. Proust and L. Taillefer, Annu. Rev. Condens. Matter

Холла в купратах на основе картины легирования

Phys. 10, 409 (2019).

нижней хаббардовской зоны моттовского диэлектри-

Th. Pruschke, M. Jarrell, and J. K. Freericks, Adv. Phys.

44, 187 (1995).

ка может оказаться достаточно разумной альтерна-

A. Georges, G. Kotliar, W. Krauth, and

тивой картине квантовой критической точки.

M. J. Rozenberg, Rev. Mod. Phys. 68, 13 (1996).

Было бы крайне интересно более детально изу-

D. Vollhardt, in Lectures on the Physics of Strongly

чить эффект Холла в окрестности критической кон-

Correlated Systems XIV, ed. by A. Avella and

центрации, соответствующей смене знака коэффици-

F. Mancini, AIP Conference Proceedings, AIP, Melville,

ента Холла (расходимости холловского числа). Для

N.Y. (2010), v. 1297, p. 339; ArXiV: 1004.5069.

этого требуется исследовать системы (купраты), в

R. Bulla, T. A. Costi, and T. Pruschke, Rev. Mod. Phys.

которых такая смена знака возникает при изменении

60, 395 (2008).

степени легирования.

D. I. Khomskii, Basic Aspects of the Quantum Theory

of Solids, Cambridge University Press, NY (2010).

4. Заключение. Мы исследовали поведение эф-

10.

E. Z. Kuchinskii, I. A. Nekrasov, M. V. Sadovskii,

фекта Холла в металлической фазе, возникающей

ЖЭТФ 133, 670 (2008) [JETP 106, 581 (2008)].

при дырочном легировании (допировании) нижней

11.

M. V. Sadovskii, I. A. Nekrasov, E. Z. Kuchinskii,

хаббардовской зоны моттовского диэлектрика. Сме-

Th. Pruschke, and V. I. Anisimov, Phys. Rev. B 72,

на знака эффекта Холла и соответствующая ей рас-

155105 (2005).

ходимость холловского числа происходит в простей-

12.

Э. З. Кучинский, И. А. Некрасов, М. В. Садовский,

шем (симметричном) случае вблизи заполнения ниж-

УФН 182, 345 (2012) [Phys.-Uspekhi 55, 325 (2012)].

ней хаббардовской зоны n = 1/3 в расчете на одну

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 7 - 8

2022