Письма в ЖЭТФ, том 115, вып. 12, с. 778 - 785

Рост двумерных гексагональных решеток в модели

кристаллического фазового поля¹⁾

В.Е.Анкудинов⁺²⁾, П.К.Галенко^∗×

⁺Институт физики высоких давлений РАН, 108840 Троицк, Москва, Россия

^∗Friedrich-Schiller-Universität Jena, Physikalisch-Astronomische Fakultät, D-07743 Jena, Germany

^×Уральский федеральный университет, кафедра теоретической и математической физики, 620002 Екатеринбург, Россия

Поступила в редакцию 24 апреля 2022 г.

После переработки 1 мая 2022

Принята к публикации 2 мая 2022 г.

В работе при помощи модели кристаллического фазового поля исследована кристаллизация пере-

охлажденной метастабильной однородной фазы в сотовидную (шестиугольную) периодическую решетку.

Численно полученные скорости фронта кристаллизации сотовидной решетки сравниваются с аналитиче-

ским решением в форме бегущей волны. Рост сотовидной решетки при кристаллизации переохлажден-

ной жидкой фазы описывается с помощью модели второго порядка точности (двухмодовой), в которой

раздельно учитываются амплитуды первой и второй подрешеток. Формированию сотовидной решет-

ки предшествует образование метастабильной треугольной, при этом кинетика фронта кристаллизации

определяется симметрией растущей фазы и величиной движущей силы.

DOI: 10.31857/S1234567822120059, EDN: immzni

Модель кристаллического фазового поля (КФП-

таких двумерных систем основан на описании фор-

модель

[1]) была сформулирована для описания

мирования гексагональных решеток [13, 14, 15], что

континуальных переходов между однородными и

для графеноподобных структур формально сводит-

периодическими фазами на диффузионных време-

ся к искусственно сконструированной парной кор-

нах аналогично переходу Ландау-Бразовского [2].

реляционной функции с анизотропными компонен-

КФП-модель является первым приближением тео-

тами. Такое представление значительно усложняет

рии функционала плотности [3], а по математиче-

анализ и ставит вопрос о применимости структур-

ской форме имеет непосредственную общность с тео-

ной КФП-модели [15, 13] к процессу кристаллиза-

рией слабой кристаллизации [2, 4, 5]. Модель на-

ции (даже если упругие свойства периодической фа-

ходит применение в широком спектре задач: ис-

зы количественно воспроизводят экспериментальные

следовании упорядочения структур на микронных

значения). Сама возможность построения сотовид-

масштабах, описании движения фронтов кристал-

ной решетки в семействе уравнений типа Свифта-

лизации и формирования дендритов, расчете фор-

Хоэнберга для двухмодовой формы оператора (4)

мы и энергии границ зерен, описании коллоидно-

была показана численно в [16], также она была по-

го затвердевания, перемещения дислокаций, пласти-

лучена в трехмодовой формулировке [10]. В упру-

ческого течения, стеклообразования, эпитаксиально-

гом приближении использование двухмодовой фор-

го роста [6, 7]. Также с помощью КФП исследует-

мы для описания графена обусловлено определяю-

ся формирование метастабильных периодических со-

щей ролью взаимодействия с атомами второй коор-

стояний [8], где возможно образование фаз с особыми

динационной сферы при описании спектра колеба-

свойствами [9].

тельных мод [17].

Развитие модели позволило описать периодиче-

В настоящей работе проанализирован рост кри-

ские графеноподобные структуры и решетки ка-

сталлов гексагональной сингонии в переохлажден-

гомэ [10], обнаруженные при исследовании упорядо-

ную жидкую фазу. Вводится общая двухмодовая

чения коллоидных систем и плазмы [11, 12]. Анализ

форма модели КФП, описывающая кристаллизацию

в гексагональную структуру при минимальном на-

боре векторов сотовидной (шестиугольной) решетки.

¹⁾См. дополнительный материал к данной статье на сайте

нашего журнала www.jetpletters.ac.ru.

Найденная форма амплитудной записи КФП-модели

²⁾e-mail: vladimir@ankudinov.org

позволяет получить аналитическое решение в виде

778

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

Рост двумерных гексагональных решеток . . .

779

бегущей волны. Амплитудное уравнение записано в

периментальной или полученной с помощью молеку-

общей форме [18, 19], это позволяет исследовать ки-

лярной динамики, как это, например, сделано в ра-

нетику формирования различных решеток (в общем

боте [19]. Коэффициенты q₀ и q₁ соответствуют рав-

случае гексагональных и кубических) из переохла-

новесным значениям параметров подрешеток пер-

жденной жидкости. Метод расширен для описания

вой и второй координационных сфер, а r₀ и r₁ на-

решеток с дополнительным базисом и может быть

прямую влияют на стабильность кристаллических

применен в трехмерном случае.

структур [19, 24, 16]. Градиентное разложение поз-

Свободная энергия и уравнение динамики

воляет описывать кристаллизацию и плавление как

КФП. В модели КФП параметром порядка являет-

в двумерных, так и в трехмерных системах [20-22].

ся безразмерное поле атомной плотности (концентра-

При этом форма свободной энергии КФП (2) в од-

ции) n(r, t) = ρ(r, t)/ρ₀ - 1. Свободная энергия в слу-

номодовом приближении с оператором (3) схожа с

чае изолированной системы состоит из двух вкла-

энергией периодической фазы в теории слабой кри-

дов F (n) = F_id(n) + F_ex(n), где F_id соответствует

сталлизации [2, 4]. Движущая сила ΔB0 = Bℓ0 -

идеальной компоненте, описывающей фазовый пере-

B^x0 в КФП определена как разница между модулем

ход, F_ex - избыточной свободной энергии, связанной

объемной упругости жидкости B^ℓ0 и модулем упру-

с обменным вкладом. В качестве F_id принимается

гости кристалла B^x0. С помощью подхода, предло-

разложение в форме Ландау для Больцмановского

женного в моделях фазового поля [19, 18], управля-

газа вблизи n(r) = 0, имеющее форму двухъямно-

ющий параметр ΔB₀ можно рассматривать как пере-

го n² - n³ - n⁴ потенциала [1]. Разложим функцио-

охлаждение. Введем безразмерное переохлаждение

нальную производную F_ex вокруг малого изменения

ε = ΔT/T_m, где ΔT = T_m - T, а T_m - температура

ρ(r, t) до второго слагаемого включительно, которое

плавления, при которой достигается равенство энер-

является парной корреляционной функцией C₂. То-

гий жидкой и кристаллической фазы. Таким обра-

гда получим свертку, позволяющую описывать про-

зом:

цесс плавления и кристаллизации в виде [20, 21]:

∫

ΔT=T_m(ΔB₀ - ΔB^∗0)/ΔB^∗0; ε=(ΔB₀ - ΔB^∗0)/ΔB^∗0,

F_ex(n) = -

dr dr^′ n(r)C₂(|r - r^′|)n(r^′).

(1)

(5)

здесь ΔB^∗0 - движущая сила, соответствующая T_m,

В континуальном пределе разработано приближение,

которая может быть получена с помощью коэффи-

позволяющее обосновать применение статистической

циентов ур. (2) как ΔB^∗0 = 2a²/(9v) [23].

теории к процессу плавления и кристаллизации с ис-

Модифицированная модель кристаллического по-

пользованием микроскопических характеристик си-

ля (МКФП) [6, 8] применяется, когда необходи-

стемы [20, 21]. Аналогичная запись C₂ в обратном

мо описывать высокоскоростные границы раздела

пространстве была выполнена для описания кри-

фаз [25] при значительных по величине движущих

сталлизации твердых сфер [22]. Полная свободная

силах перехода. В частности, МКФП учитывает ре-

энергия в модели КФП имеет вид [23]:

лаксацию потока J атомной плотности n как незави-

∫ [n

]

симой кинетической переменной с релаксационным

F (n) =

L_Rn -

n³ +

n4 dr,

(2)

временем τ [26, 27]. Такой вид уравнения, отличаю-

щийся от традиционного уравнения КФП [1] нали-

где L - дифференциальный оператор, полученный

чием второй производной по времени в левой части,

с помощью градиентного разложения ур. (1). Этот

был альтернативно предложен для одновременного

оператор может быть представлен в одномодовом

учета упругой релаксации и атомной диффузии [28].

приближении при R = 1 (одна подрешетка) как:

В итоге динамическое уравнение МКФП-модели за-

пишем в виде

L₁ ≡ ΔB₀ + B^x0(∇² + q²⁰)².

(3)

∂²n

∂n

[δF]

Для описания более сложных структур, таких как

=M∇²

(6)

∂t²

∂t

δn

ГЦК или сотовидная решетка, требуется двухмодо-

вое R = 2 разложение (две подрешетки) более высо-

где M - мобильность параметра порядка, устанавли-

кого порядка [16]:

вающая масштабы времени t. Уравнение (6) вклю-

чает функциональную производную свободной энер-

L₂ ≡ ΔB₀ +B^x0(r₀ +(∇² +q²⁰)²)(r₁ +(∇² +q²¹)²). (4)

гии (2), равную химическому потенциалу системы

Коэффициенты r₀, r₁, q₀, q₁ позволяют подогнать

µ(n) = δF (n)/δn, и подразумевает условие невозрас-

форму пика парной корреляционной функции к экс-

тания F (n) во времени.

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

7^∗

780

В.Е.Анкудинов, П.К.Галенко

Введение флуктуаций в уравнение движения

В дальнейшем для удобства введем два новых обо-

КФП позволяет описывать зарождение новой фазы

значения: оператор G_j ≡ ∇² + 2iG_j · ∇, а также раз-

и моделировать динамику фазового превраще-

ницу в величине равновесных параметров первой и

ния [29]. Ввод стохастического источника, который

второй подрешеток β = q²¹ - q²⁰. В случае r₀ = r₁ = 0

инициирует затвердевание переохлажденной жидко-

в длинноволновом приближении двухмодовый опе-

сти аналогично теории слабой кристаллизации [2, 4],

ратор L₂ для уравнений (6), соответствующих всему

в общем случае является весьма нетривиальной

набору возможных G_j , ур. (8) примет форму:

задачей [30]. В дальнейшем предположим малый

L₂ ≈ ΔB₀ + B^x0β²G^2j.

(12)

вклад тепловых флуктуаций в общую энергию

системы и сконцентрируемся на основополагающей

Гексагональные решетки. Амплитудное пред-

роли переохлаждения как движущей силы, посколь-

ставление динамических уравнений треугольной ре-

ку высота межфазного барьера в рассматриваемой

шетки было получено в [18], в дальнейшем аналогич-

системе высока, a/3 ≳ 1 [см. ур. (2)].

но были рассмотрены трехмерные кубические кри-

Амплитудное разложение кристаллическо-

сталлы [31, 19]. Одномодовый оператор L₁ в первом

го фазового поля. Для описания динамики пе-

приближении при равных по модулю векторах поз-

риодической фазы представим периодическое поле

воляет описать только простейшие структуры: в дву-

n(r, t) в виде отдельных гармоник, соответствующих

мерном случае - треугольную, полосчатую [1, 21]; в

определенной кристаллической симметрии [18, 31]:

трехмерном случае - ОЦК, стержневую и полосча-

∑

тую [23, 33]. Рассмотрим гексагональную сотовид-

n = n₀ + η_j(r,t)eiGj·r +

η^∗j(r, t)e-iGj·r,

(7)

ную (шестиугольную) решетку, состоящую из двух

вложенных треугольных подрешеток с базисами b₁ и

здесь n₀ - среднее значение параметра порядка n,

b₂:

ηj - амплитуды КФП, η∗j - комплексно сопряжен-

√ E

a₁ = a₀〈1, 0〉; a₂ = a₀

1/2,

3/2

;

(13)

ные амплитуды. Симметрия конкретной кристалли-

√ E

ческой решетки задается набором векторов G_j в об-

b₁ = 〈0, 0〉; b₂ = a₀

1/2, -1/2

(14)

ратном пространстве, которые в случае трехмерной

решетки можно записать следующим образом:

Обратная решетка имеет также треугольную струк-

туру с волновыми векторами:

G_j = hq₁ + kq₂ + lq₃,

(8)

√ E

q₁ = q_eq

1, -1/

;

q₂ = q_eq

0, 2/

(15)

здесь (q₁, q₂, q₃) - вектора обратной решетки, а

(h, k, l) - индексы Миллера. Подставляя (7) в ур.

Воспользуемся набором индексов Миллера: (h, k) =

движения (6) получим набор уравнений:

= (1, 0), (0, 1), (-1, 1), модуль |G_1..3| = 1. Помимо ба-

[

]

(

)

зового набора, соответствующего одномодовому при-

∂²

∂

δF

ближению, для воспроизведения сотовидной (шести-

η_j = MΛ_j

(9)

∂t²

∂t

δη^∗

угольной) решетки потребуется дополнительный на-

бор векторов, соответствующий двухмодовому при-

здесь оператор Λ_j в длинноволновом приближении

√

ближению (см. рис. 1), |G_4..6| = 2/

можно аппроксимировать как

D√

√

G₄ = 2q_eq/

3〈0, 1〉; G₅ = 2q_eq/

3/2, 1/2

;

Λ_j = ∇² + 2iG_j · ∇ - G^2j ≈ -G^2j.

(10)

G₆ = G₅ - G₄

(16)

Данная аппроксимация приведет к огрублению и

пренебрежению высокочастотными гармониками,

Для треугольной решетки в двухмодовом прибли-

при этом положение и скорость межфазной границы

жении потребуется дополнительный набор векторов:

по-прежнему могут быть весьма точно определены

G₄ = G₁ + G₂; G₅ = G₃ - G₁; G₆ = G₂ + G₃.

[18, 31, 32]. В данном приближении предполагается,

(17)

что при интегрировании по элементарной ячейке ам-

плитуды η_j принимаются одинаковыми по величине

Подставляя G_i в поле (7), а затем в амплитуд-

в каждой из подрешеток. Двухмодовый оператор (4)

ные ур. (6), получим набор уравнений движения (9)

примет следующий вид:

в длинноволновом приближении (10) и (12). Просум-

мировав и усреднив по амплитудам при q_eq = 1, полу-

L₂ = ΔB₀+B^x0(r₀+(∇²+2iG_j · ∇ - G^2j + q²⁰)²) ×

чим окончательные уравнения (см. дополнительный

× (r₁ + (∇² + 2iG_j · ∇ - G^2j + q²¹)²).

(11)

материал).

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

Рост двумерных гексагональных решеток . . .

781

(

)

(

)

3 + 3α

∂²

∂

φ=B^x

∇²φ -

∂t²

∂t

- ΔB₀(3 + 4α)φ + 2a(3 + 4α²)φ² -

- 12v(5α³ + 6α² + 8α + 15/4)φ³.

(19)

Соответствующая этому уравнению движения сво-

бодная энергия будет записана следующим образом:

Рис. 1. Построенное в безразмерных координатах рас-





пределение плотности n, ур. (7) для: (a) - треуголь-

∫

∑

[B^x0

ной и (b) - сотовидной (шестиугольной) решеток по



F_hon = dr

|G_jφ|2 + α2

|G_jφ|2 +

ур. (15), (16)

j=1

j=4

+ 3ΔB₀(1 + α²)φ² - 4a(1 + α³)φ³ +

]

В развитие настоящего формализма отметим, что

(

)

+ 45/2v

α⁴ + 16/5α² + 1

φ⁴ .

(20)

влияние флуктуаций в среднеполевых моделях опре-

деляется корреляционной длиной r_c параметра по-

рядка, уменьшающейся с приближением к темпера-

Усредненное уравнение движения (19) в длинно-

туре T_m. В двухмодовой модели влияние флуктуаций

волновом приближении позволяет описывать дина-

на отдельные моды возможно в случае приближения

мику распространения фронта кристаллической со-

масштаба устойчивости L к величине 1/G_4..6. Для

товидной фазы в жидкую. Разложение свободной

значений 1/α ≫ 1 [см. ур. (18)-(21)] влияние может

энергии около равновесного значения параметра по-

оказаться значительным и требует дополнительного

рядка φ = φ_eq в первом приближении дает α ≃ q²⁰/q²¹.

рассмотрения. При этом некоррелированные тепло-

Тогда для α = 3/4 уравнение (19) сводится к

вые флуктуации в двухмодовой модели аналогично с

(

)

∂²

∂

одномодовой приводят к переходу первого рода при

φ=

B^x0∇²φ -

ΔB₀φ +

∂t²

∂t

немалости параметра a [4, 23].

975

Усреднение амплитуд КФП и длинноволно-

+ 2aφ² -

vφ³.

(21)

вое приближение. Для того, чтобы сформулиро-

вать обобщенное уравнение движения границы кри-

В одномодовом случае, при использовании набора

сталла в жидкую фазу и записать уравнение в виде

векторов G_1..3, уравнение (21) упрощается до урав-

бегущей волны, необходимо сделать еще одно допу-

нения треугольной структуры, если учесть β = 1:

щение. Так как в длинноволновом приближении ло-

(

)

∂²

∂

кальной анизотропией растущей фазы пренебрегает-

φ = 2B^x0∇²φ - ΔB₀φ + 2aφ² - 15vφ³.

∂t²

∂t

ся, мы можем допустить равенство амплитуд фазо-

(22)

вого поля в различных направлениях. При этом, в

Это уравнение аналогично приведенному в [18, 19].

случае двухмодового приближения, амплитуды КФП

Используя дополнительный набор векторов

(17),

могут отличаться в зависимости от выбранного набо-

можно получить уравнение роста треугольной струк-

ра векторов для различных подрешеток. Таким об-

туры в двухмодовом приближении (см. коэффи-

разом, для первой моды (первой подрешетки) при

циенты в табл. 1).

G_j, j = 1...3 мы приравниваем амплитуды к φ; для

Обобщенное уравнение движения и его

второй подрешетки при j = 4...6 амплитуды могут

аналитическое решение. Для определения скоро-

отличаться и будут равны ξ:

сти фронтов кристаллизации использовалась мето-

дика, аналогичная той, что применялась при расче-

|η_j | = {φ, для j = 1...3; ξ, j = 4...6} .

(18)

те роста кубических кристаллов [18, 19]. В этом слу-

чае предполагается, что кристаллическая фаза с за-

Предположим линейную зависимость ξ ≃ αφ, кото-

данной плотностью и симметрией растет в жидкую

рая верна в области амплитуд φ ∼ 1, но может вклю-

переохлажденную фазу. Тогда обобщенное динами-

чать зависимость от параметров свободной энергии

ческое уравнение модифицированной модели КФП в

и должна быть вычислена при помощи минимиза-

длинноволновом приближении принимает вид диф-

ции F (см. рис. 6 в работе [19]). Подставляя ξ ≃ αφ в

ференциального уравнения:

уравнения движения (6) и суммируя по всем ампли-

(

)

∂²

∂

тудам, получим следующее уравнение движения для

φ=

∇²φ-ΔB0φ + ãφ²-vφ³, (23)

сотовидной кристаллической решетки:

∂t²

∂t

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

782

В.Е.Анкудинов, П.К.Галенко

Таблица 1. Сравнение коэффициентов уравнений движения (23), полученных для различных решеток в результате усредне-

ния по амплитудам КФП. Отдельные вклады усредненных амплитудных уравнений движения приведены в дополнительных

материалах

Решетка \ Коэффициенты

ΔB0

Сотовидная, ур. (21)

8B^x0/9

8ΔB₀/7

975v/28

Треугольная, ур. (22)

2B^x0

ΔB₀

15v

Треугольная (2-мод)

12B^x0

3ΔB₀/2

15a/2

111v/2

где коэффициенты

, Δ B0, ã, v рассчитываются ис-

τ = 0.1, B^x0 = 1, a = 1, v = 0.1. Приведенные ско-

ходя из симметрии, заданной векторами G_j , описы-

рости роста треугольного и сотовидного кристаллов

вающими растущий кристалл, а затем - на основе

значительно отличаются при высоких движущих си-

термодинамических свойств и структурного факто-

лах |ε| и зависят от времени релаксации.

ра. Это уравнение показывает, что динамика кри-

При движущих силах ε

= 0 кинетика роста

сталлизации решеток различной симметрии разли-

и плавления треугольной решетки является наибо-

чается из-за коэффициентов, вычисленных при по-

лее интенсивной по сравнению с гексагональной, см.

мощи различного вклада и наборов амплитуд для

рис. 2. Этот факт объясняется влиянием разницы об-

каждой симметрии. Из уравнений (21) и (22) видно,

что они отличаются только коэффициентами и оба

соответствуют форме ур. (23), полученной для роста

трехмерных ОЦК и ГЦК решеток [19].

Уравнение (23) имеет решение в виде бегущей

волны в форме [34]: ψ(u) = A[1-tanh(u/Z)] для меж-

фазной границы, движущейся со скоростью V =

VV₀

в системе координат u = x - V t. Подобные решения

часто используются в моделях фазового поля [35].

Запишем решение этого уравнения [18, 19]:

√

(

√

)

V_m

V =

√

V_m =

b² - 4 -b ,

(24)

V^2m

V²

V_m - максимальная скорость движения фронта,

ограниченная временем релаксации τ потока:

√

V_φ =

Mt₀/τ,

b = ã/

v|ΔB0|.

(25)

Рис. 2. Безразмерная скорость роста сотовидной

Амплитуда межфазной границы A и ее ширина Z:

(непрерывная линия для τ

= 0.1, штриховая - для

τ = 1) и треугольной (штрих-пунктирная линия - в

√

(

√

)

одномодовом приближении, пунктирная - в двухмодо-

2(1 -

V²

V^2φ)

b² - 4

, Z =

√

(26)

вом) решеток, найденная из решения в виде бегущей

b² - 4

волны (24) амплитудного уравнения КФП (23). Коэф-

фициенты, соответствующие различным структурам,

Масштабные преобразования ур. (23) заданы как

определены в табл. 1. ε < 0 соответствует кристаллиза-

√

ции, ур. (5). Результаты численных расчетов обозначе-

ζ =

/|ΔB0|, t₀ = |ΔB0|^-1, V₀ = ζ/t₀,

ны □

√

⃗

φ₀ =

|ΔB0|/v,

t=Mt/t0,

∇=ζ^-1∇,

ратных векторов первой и второй подрешеток β =

ψ = φ/φ₀,

x = ζ^-1x.

(27)

= q²¹ - q²⁰. Большее значение β соответствует более

плотной упаковке первой и второй координационных

Скорость роста. Рассмотрим безразмерные ско-

сфер. Суммирование вкладов амплитуд КФП при по-

рости роста треугольной и сотовидной структур, для

лучении ур. (19) прямо указывает на зависимость

этого учтем значения коэффициентов табл.1. В рас-

вкладов второй моды от β (β = 1/3 для сотовид-

четах использовались модельные параметры M = 1,

ной и β = 2 для двухмодовой треугольной решетки).

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

Рост двумерных гексагональных решеток . . .

783

Таким образом, решетка с более плотным взаимным

(КЭ) в пакете COMSOL Multiphysics [39] в двумер-

расположением атомов первой и второй координа-

ной области размерами 450 × 380 с максимальным

ционных сфер получает больший вклад от вторич-

размером КЭ ℓ = 1.3. В домене задавались изоли-

ных мод и растет быстрее, если сравнивать треуголь-

рованные граничные условия и точечное начальное

ную и сотовидную структуры. Следует особо отме-

возмущение. Положение фронта определено по изме-

тить, что данная тенденция наблюдается так же и

нению поля химического потенциала, при этом ско-

для кубических решеток. В двухмодовом приближе-

рость усреднялась по направлениям роста. Для рас-

нии ОЦК решетка, имеющая более плотную упаков-

четов использовались те же параметры, что и для по-

√

ку первой и второй координационных сфер, растет и

лучения рис. 2, а величины q₀ = 1, q₁ = 2/

3 соответ-

плавится быстрее ГЦК решетки [19].

ствовали модулям векторов G_1..6 из ур. (16). Струк-

Расчеты по кинетике роста, рис. 2, согласуются

тура стабилизировалась при r₀ = 0.00, r₁ = -0.25.

с выводами [33], где показано, что при описании

Результаты моделирования двухмодового уравнения

кристаллизации из изотропной жидкости с помо-

КФП (6) приведены на рис. 3. Скорость движения

щью формализма Ландау наиболее выгодной и фор-

мирующейся в первую очередь структурой являет-

ся та, чьи вектора обратной решетки образуют за-

мкнутый цикл. Это связано с тем, что при ампли-

тудном разложении функционала свободной энергии

периодической фазы определяющим вкладом обла-

дает кубический член n³, принимающий максималь-

ные значения при наличии замкнутого цикла векто-

ров q₁ + q₂ + q₃ = 0 [33, 10]. В двумерном случае

такой первично образующейся является треугольная

решетка, а в трехмерном - ОЦК, что, действитель-

но, констатируется в ряде работ [36, 37]. Как вид-

но из табл. 1, вклад параметра ã максимален имен-

но для двухмодовой треугольной решетки и, наряду

, определяет первичное формирование метаста-

бильной треугольной фазы. Это значит, что геомет-

рически более “простая” треугольная фаза кристал-

лизуется и плавится быстрее, чем “сложная” сотовид-

ная структура. Важно отметить, что в моделях КФП,

помимо наличия членов третьего порядка в разложе-

нии F (n), явно не учитывается ориентационный по-

рядок, а жидкая фаза является изотропной, поэто-

му механизм плавления Березинского-Костерлица-

Таулеса не может быть учтен, система плавится по-

средством перехода первого рода [38].

Кроме прочего, на интенсивность роста любой

Рис. 3. (Цветной онлайн) Результаты численных рас-

структуры влияет время релаксации τ потока атом-

четов по двухмодовой модели КФП, демонстрирующие

ной плотности (см. рис. 2). Увеличение τ приводит к

кристаллизацию в гексагональную сотовидную решет-

понижению скорости роста, что связано с релаксаци-

ку через полосчатую и треугольную, ε = -0.2. (a) - На-

ей дополнительной кинетической переменной. Такая

чальный этап кристаллизации t = 100. Рамками выде-

зависимость от τ наблюдается и при росте кубиче-

лены (сверху вниз) однородная жидкость, полосчатая,

ских решеток [19, 25]. Предельная величина τ_m =

треугольная и сотовидная структуры соответственно.

= 8v/ã², определяющая малость вклада второй про-

(b) - Границы фронта сотовидной решетки на проме-

изводной в кинетику фронта, может быть получена

жуточном этапе кристаллизации t = 1500

из разложения V при малых ε [19].

Для проверки верности аналитических решений

фронта сотовидной структуры ур. (24) соответству-

в виде бегущих волн КФП-уравнение (6) с двухмо-

ет результатам численных расчетов, см. рис.3. При

довым оператором (4) решалось численно. Модели-

этом скорость роста первичной треугольной решетки

рование выполнялось методом конечных элементов

в численных расчетах совпадает с кривой роста двух-

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022

784

В.Е.Анкудинов, П.К.Галенко

модовой треугольной, обозначенной “Triangle two-

K. R. Elder, M. Katakowski, M. Haataja, and M. Grant,

mode”. Несмотря на значительно более высокую ско-

Phys. Rev. Lett. 88, 245701 (2002).

рость формирования первичной треугольной решет-

С. А. Бразовский, ЖЭТФ 68, 175 (1975).

ки, для данных движущих сил равновесной являет-

A. J. Archer, D.J. Ratliff, A. M. Rucklidge, and

ся именно сотовидная, что может быть определено

P. Subramanian, Phys. Rev. E 100, 022140 (2019).

с помощью термодинамического подхода [23]. Сопо-

В. В. Лебедев, А. Р. Муратов, ФТТ 32, 837 (1990).

ставление решений в виде бегущей волны с числен-

E. I. Kats, V. V. Lebedev, and A. R. Muratov, Phys.

ным решением уравнения КФП показывает приме-

Rep. 228, 1 (1993).

нимость принятых приближений и аналитического

П. К. Галенко, В. Е. Анкудинов, И. О. Стародумов,

решения (24) для оценки кинетики формирования

Высокоскоростная динамика в методе фазового по-

сложных решеток с дополнительным базисом (реше-

ля: микроскопика, ИКИ, М.-Ижевск (2021).

ток не Браве).

H. Emmerich, H. Löwen, R. Wittkowski, T. Gruhn,

G. I. Tóth, G. Tegze, and L. Gránásy, Adv. Phys. 61,

Выводы. Исследовано формирование двумерной

665 (2012).

сотовидной решетки в модели кристаллического фа-

P. K. Galenko and K. R. Elder, Phys. Rev. B 83, 064113

зового поля (КФП). В приближении малой анизотро-

(2011).

пии вклады амплитуд КФП приняты одинаковыми

D. M. Herlach, Mater. Sci. Eng. Rep. R 12, 177 (1994).

и усреднены в пределах соответствующих подреше-

10.

S. K. Mkhonta, K.R. Elder, and Z. F. Huang, Phys. Rev.

ток. Полученное с помощью численной минимизации

Lett. 111, 35501 (2013).

соотношение для амплитуд первой и второй подре-

11.

N. Osterman, D. Babič, I. Poberaj, J. Dobnikar, and

шеток позволяет воспроизвести сотовидную струк-

P. Ziherl, Phys. Rev. Lett. 99, 248301 (2007).

туру. Динамика формирования сотовидной решетки

12.

G. B. Jo, J. Guzman, C. K. Thomas, P. Hosur,

описывается амплитудными уравнениями движения

A. Vishwanath, and D. M. Stamper-Kurn, Phys. Rev.

фронта кристаллизации в длинноволновом прибли-

Lett. 108, 045305 (2012).

жении. Аналитическое решение этих уравнений по-

13.

K. L. Elder, M. Seymour, M. Lee, M. Hilke, and

лучено в виде бегущей волны. Прямыми численными

N. Provatas, Phil Trans. A 376, 1 (2018).

расчетами двухмодового уравнения КФП выполнена

14.

R. Kondo, Phys. Rev. B 104, 014112 (2021).

проверка этих решений.

15.

M. Seymour and N. Provatas, Phys. Rev. B 93, 035447

Получено соответствие между наблюдаемыми

(2016).

скоростями роста промежуточной метастабильной

16.

R. Lifshitz and D.M. Petrich, Phys. Rev. Lett. 79, 1261

треугольной и конечной сотовидной структурами.

(1997).

Кинетика формирования структур соответствует

17.

А. Н. Ипатов, Д.А. Паршин, Д. А. Конюх, ЖЭТФ 4,

предсказаниям теории кристаллизации изотроп-

534 (2021).

ной жидкости. В трехмерном случае формальное

18.

P. K. Galenko, F. Iunes Sanches, and K. R. Elder, Phys.

описание гексагональных не Браве решеток может

D 308, 1 (2015).

привести к проявлению существенной анизотропии

19.

V. Ankudinov, K. R. Elder, and P. K. Galenko, Phys.

из-за значительного расстояния при укладке слоев

Rev. E 102, 062802 (2020).

атомной плотности. Тогда коэффициент оператора

20.

V. N. Ryzhov and E. E. Tareyeva, Phys. Lett. A 75, 88

B^x0, определяющего модуль упругости кристалла,

(1979).

может оказаться значительно анизотропным, а

21.

В. Н. Рыжов, Е. Е. Тареева, ТМФ 92, 331 (1992).

принятое допущение о равенстве величин ампли-

22.

T. V. Ramakrishnan and M. Yussouff, Phys. Rev. B 19,

туд в каждой из подрешеток может оказаться не

2775 (1979).

применимым и потребует учета анизотропии.

23.

В. Е. Анкудинов, П. К. Галенко, Н. В. Кропотин,

Сформулированная методика, полученные реше-

М. Д. Кривилев, ЖЭТФ 149, 343 (2016).

ния и результаты настоящего исследования могут

24.

A. Emdadi, M. A. Zaeem, and E. Asadi, Comput. Mater.

быть применены для анализа формирования мета-

Sci. 123, 139 (2016).

стабильных и равновесных фаз с гексагональной син-

25.

P. K. Galenko and D. Jou, Phys. Rep. 818, 1 (2019).

гонией (нитрид бора), сотовидной структурой (гра-

26.

P. Galenko, D. Danilov, and V. Lebedev, Phys. Rev. E

фен), а также двумерного плавления.

79, 51110 (2009).

Исследование выполнено при поддержке гран-

27.

P. K. Galenko, H. Gomez, N. V. Kropotin, and

та Российского научного фонда

#21-73-00263,

K. R. Elder, Phys. Rev. E 88, 13310 (2013).

https://rscf.ru/project/21-73-00263/.

28.

P. Stefanovic, M. Haataja, and N. Provatas, Phys. Rev.

Lett. 96, 225504 (2006).

Письма в ЖЭТФ том 115 вып. 11 - 12

2022