Письма в ЖЭТФ, том 114, вып. 7, с. 467 - 473

Об идентификации искаженных кристаллических кластеров

Б.А.Клумов¹⁾

Объединенный институт высоких температур РАН, 125412 Москва, Россия

Поступила в редакцию 26 августа 2021 г.

После переработки 30 августа 2021 г.

Принята к публикации 31 августа 2021 г.

Модифицированный метод вращательных инвариантов используется для идентификации искажен-

ных кристаллических кластеров в неупорядоченных средах. Предлагается новый способ определения

таких кластеров, включая трудно определяемые обычными методами искаженные ОЦК (bcc) кристал-

литы. Особенностью таких кластеров является вторая оболочка из 6 частиц, которая может при теп-

ловом искажении объединяться с первой оболочкой, что сильно усложняет идентификацию подобных

кристаллитов, однако, как показано в настоящей работе, комбинированное использование вращатель-

ных инвариантов второго рода q4 и q6 и третьего рода w4 и w6 позволяет достаточно просто решить эту

проблему.

DOI: 10.31857/S1234567821190046

Идентификация кристаллических кластеров в ве-

кулярной динамики, реализованный для канониче-

ществе - одна из важных проблем физики конден-

ского ансамбля (NVT) с термостатом Нозе-Хувера

сированного состояния. Начиная с недавней пионер-

(Nose-Hoover) и периодическими граничными усло-

ской работы [1], доступны методы эксперименталь-

виями [3]. Типичное число частиц в исследуемых

ного определения положений отдельных атомов в

системах N

∼ 10⁵. При изучении структурных

аморфных веществах (металлических стеклах). И ес-

свойств искаженных плотноупакованных кластеров

ли в [1] число наблюдаемых кластеров из атомов ис-

ГЦК (fcc) и ГПУ (hcp) парное взаимодействие час-

числялось десятками, то на сегодняшний день опре-

тиц описывалось потенциалом Леннард-Джонса (ко-

делить пространственное положение атомов стало

торый в безразмерном виде имеет вид U_LJ(r)

возможным для нескольких десятков тысяч частиц

= 4(1/r¹² - 1/r⁶)). При исследовании структуры

[2], т.е. твердые аморфные вещества уже сегодня

ОЦК (bcc) кристаллитов использовался потенциал

можно изучать на самом детальном уровне - на

Дебая-Хюккеля (Юкавы) (U(r) = (Q/r)exp(-r/λ),

уровне отдельных атомов. То же самое наблюдается

где Q - заряд частицы, а λ - длина экранирования).

и в вычислительном эксперименте, значение которо-

Известно, что для малых значений параметра экра-

го в изучении свойств конденсированного вещества

нировки κ ∼ 1 твердотельной фазе системы Юкавы

неуклонно растет. Важную роль в определении связи

соответствует bcc решетка [4]. Здесь κ ≡ D/λ, а D -

между структурой твердого вещества и его физиче-

среднее межчастичное расстояние в системе.

скими свойствами играют свойства ближнего и сред-

Особое внимание здесь уделяется поиску ОЦК-

него ориентационных порядков, которые дают наибо-

подобных (bcc-like) кластеров. Это связано с тем, что

лее полное описание пространственного расположе-

идентификация таких кластеров в веществе часто

ния атомов и их окружения. Целью настоящей рабо-

бывает затруднена вследствие тепловой деформации

ты является создание метода надежного выявления

второй координационной оболочки и ее объединения

различных кристаллических фаз в неупорядоченных

с первой. Вторая оболочка bcc кристалла состоит из

системах с учетом возможного искажения кристал-

6 атомов (в первой - находится 8 атомов) и она нахо-

√

лических кластеров, которое может быть довольно

дится рядом (на расстоянии

4/3D ≃ 1.15D) с пер-

значительным как при нагреве твердого тела, так и

вой координационной оболочкой. При нагреве и/или

при при его образовании в процессе кристаллизации

кристаллизации обе оболочки часто объединяются

из расплава.

и становятся неразличимы; такое искажение bcc ре-

Здесь основным инструментом получения конфи-

шетки требует специальных методов для ее иденти-

гураций атомов является метод классической моле-

фикации.

Для описания ближнего ориентационного поряд-

¹⁾e-mail: klumov@ihed.ras.ru

ка и определения типа различных кристаллических

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 7 - 8

2021

467

3^∗

468

Б.А.Клумов

кластеров будем использовать метод вращательных

всем индексам m_i = -l, ..., l, которые удовлетворя-

инвариантов (часто еще называемый методом BOOP

ют условию: (m₁ + m₂ + m₃) = 0. Определенные

(Bond Orientational Order Parameter)). Этот метод

таким образом вращательные инварианты и явля-

был предложен в работах [5-8] и широко использует-

ются численной характеристикой ближнего ориен-

ся для количественного описания ближнего и сред-

тационного порядка. Отметим, что при таком опре-

него ориентационных порядков в самых разных си-

делении каждый тип кристаллической решетки име-

стемах, таких как система Леннард-Джонса [9-11],

ет свой уникальный набор вращательных инвариан-

твердые сферы [12-15], коллоидная [16-18] и ком-

тов q_l и w_l. Это и дает возможность определить на-

плексная (пылевая) плазма [19-24], металлические

блюдаемую в эксперименте или численном модели-

стекла [1,25-29], гранулированные системы [30, 31],

ровании упорядоченную структуру, сравнивая зна-

жидкости с аномальными свойствами [32, 33] и др.

чения q_l, w_l, вычисленные для каждой частицы с

На сегодняшний день это один из самых использу-

величинами q^idl, w^idl для идеальных решеток. Для

емых методов для описания ближнего ориентацион-

идентификации кристаллической структуры в про-

ного порядка. Это, в частности, связано с тем, что он

стых системах обычно достаточно использовать вра-

очень чувствителен к наличию угловых корреляций

щательные инварианты второго рода q₄, q₆, инвари-

среди ближайших соседей.

анты третьего рода w₄, w₆ используются в литера-

В рамках этого метода для каждой i-й частицы

туре значительно реже. Для совершенных кристал-

сначала определяется число n_nn(i) ближайшиx со-

лических решеток вращательные инварианты q_l и w_l

седeй. Вектора r_ij, соединяющие i-частицу с бли-

могут быть достаточно легко вычислены. Они приво-

жайшими соседями (j = 1, n_nn), позволяют опре-

дятся в табл. 1 для ряда идеальных кристаллических

делить локальный ориентационный параметр q_lm(i)

решеток.

для каждого атома или частицы согласно:

Если рассматривать кристаллические кластеры с

плотной упаковкой (NN = 12), то самые высокие зна-

∑

чения q₆ ≃ 0.66 у икосаэдра - важного структурного

q_lm(i) =

Y_lm(θ_j, φ_j),

(1)

N_b(i)

элемента квазикристаллической фазы в металличе-

j=1

ских стеклах [1, 25, 34] и переохлажденных жидко-

где Y_lm(θ, φ) - сферические гармоники, θ, φ - угло-

стях. Величину q₆ часто используют для описания

вые координаты j-й частицы, определяемые векто-

степени порядка в системе частиц, поскольку для

ром r_ij .

полностью неупорядоченной системы (газовая фаза)

Отметим, что определяемый таким образом ло-

среднее значение q₆ ≃ 0.29 (для NN = 12), а все зна-

кальный ориентационный порядок зависит только от

чения параметра q₆ для твердотельных кластеров за-

двух параметров - углового распределения ближай-

метно больше.

ших соседей θ_i и φ_i, а расстояние до ближайших

В случае bcc решетки, учитывая ее важность

соседей входит только неявно при их определении.

и упомянутую выше сложность идентификации, в

Обычно ближайшими соседями считаются частицы,

табл. 1 приводятся вращательные инварианты не

которые находятся в первой координационной сфе-

только для первой координационной сферы (NN= 8)

ре данного атома. Для каждой частицы, используя

и для первых двух (NN = 14), но также и для случая,

q_lm(i), можно вычислить вращательные инварианты

когда число ближайших соседей NN = 12. Довольно

второго q_l(i) и третьего w_l(i) рода:

часто встречаются системы, в которых одновремен-

(

)_1/2

но сосуществуют несколько твердотельных фаз (на-

4π

пример, fcc, hcp, bcc). Такое наблюдается, например,

q_l(i) =

| q_lm(i)|2

(2)

(2l + 1)

в экспериментах с плазменными кристаллами [21] и

m=-l

(

)

коллоидной плазмой [18]. В плотной системе твер-

∑

дых сфер вблизи предела Бернала одновременно со-

w_l(i) =

существуют fcc и hcp кластеры [14] и т.д. В таких

m₁

m₂

m₃

m₁, m₂, m₃

случаях, удобно с практической точки зрения опре-

m₁ + m₂ + m₃ = 0

делять твердотельные кластеры в системе, вычисляя

вращательные инварианты с фиксированным числом

× qlm1(i)qlm2(i)qlm3(i),

(3)

ближайших соседей, характерным для плотной упа-

(

)

ковки атомов (NN = 12).

где

- Вигнеровские 3j-символы; в

Как легко можно показать, этому случаю для

m₁

m₂

m₃

последнем уравнении суммирование производится по

идеальной решетки bcc соответствуют только два

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 7 - 8

2021

Об идентификации искаженных кристаллических кластеров

469

Таблица 1. Вращательные инварианты q_l и w_l (l = 4, 6) ряда идеальных кристаллических структур, вычисленные для фик-

сированного числа ближайших соседей (NN), которые указаны для каждого типа симметрии. Представлены значения q₄, q₆,

w₄, w₆ для следующих решеток: гексагональная плотная упаковка (ГПУ, hcp), гранецентрированная кубическая (ГЦК, fcc),

икосаэдрическая (ico), объемноцентрированая кубическая (ОЦК, bcc)

тип кристаллической решетки

q₄

q₆

w₄

w₆

ГПУ (hcp) (NN = 12)

0.097

0.485

0.134

-0.012

ГЦК (fcc) (NN = 12)

0.19

0.575

-0.159

-0.013

Икосаэдрическая (ico) (NN = 12)

1.4 × 10^-4

0.663

-0.159

-0.169

ОЦК (bcc) (NN = 8)

0.5

0.628

-0.159

0.013

ОЦК (bcc) (NN = 14)

0.036

0.51

0.159

0.013

ОЦК (bcc_Voronoi) (14 NN)

0.224

0.567

-0.159

0.013

ОЦК (bcc₁) (NN =12)

0.137

0.559

-0.138

0.0043

ОЦК (bcc₂) (NN =12)

0.1

0.542

-0.089

0.01

набора вращательных инвариантов, в которые вы-

пределения (например, для кристаллизующегося ве-

рождаются пятнадцать возможных комбинаций по-

щества) можно сразу определить какой из типов кри-

ложений 6-ти атомов второй оболочки. Как мож-

сталлической решетки характерен для рассматрива-

но показать, вращательные инварианты с величиной

емой системы.

q₆ ≈ 0.137 присутствуют только в 3 из 15 комбина-

В работе [35] был предложен изящный способ

ций - им соответствует конфигурация атомов из 12

обойти трудности, связанные с влиянием числа бли-

частиц, в которой отсутствуют две частицы из вто-

жайших соседей n_nn на свойства вычисляемого с по-

рой оболочки, расположенные друг напротив дру-

мощью метода вращательных инвариантов, ближне-

га (см. вставку на рис. 1a, где показаны ближайшие

го ориентационного порядка. Для вычисления ин-

две координационные сферы у кластера bcc). Вра-

вариантов q_l было предложено использовать ме-

щательные инварианты с q₆ ≈ 0.1 - соответственно,

тод многогранников Вороного (МВ или VT (Voronoi

присутствуют в 12 комбинациях и, как будет показа-

Tessellation)) [36] при поиске ближайших соседей.

но ниже, они при нагреве (и кристаллизации) bcc ре-

Метод VT не содержит никаких параметров, и по-

шетки доминируют. Этот красивый эффект является

этому проблема определения n_nn снимается - число

следствием симметрии bcc решетки и сильно упро-

ближайших соседей у заданного атома просто рав-

щает поиск даже искаженных bcc-подобных кристал-

но числу граней МВ, построенного методом VT. При

литов в исследуемой системе.

этом, при вычислении инвариантов q_lm каждая ча-

На рисунке 1 показаны двумерные распределе-

стица j из ближайших соседей согласно [35] входит

ния частиц на плоскости вращательных инвариан-

с весом δ_j, определяемым площадью грани много-

тов второго (q₄-q₆) (панель (a)) и третьего рода

гранника Вороного s_j , на которую она опирается (см.

(w₄-w₆) (панель (b)), полученные для нагретых кри-

в качестве примера вставку на рис. 1a, где показан

сталлов: bcc, hcp и fcc. Все инварианты вычисле-

многогранник Вороного для идеальной bcc решетки

ны с фиксированным числом ближайших соседей

с n_nn = 14):

n_nn ≡ 12. Вращательные инварианты для идеальных

решеток fcc, hcp, bcc также показаны для сравне-

∑

ния с искаженными решетками. Отсутствие замет-

q_lm(i) =

δ_jY_lm(θ_j, φ_j).

(4)

N_b(i)

ных пересечений данных распределений позволяет

j=1

надежно идентифицировать каждый тип искажен-

ной кристаллической решетки, несмотря на значи-

Удобно определить δ_j = n_nns_j /S_tot, где S_tot - пло-

тельный тепловой разброс каждого из распределе-

щадь всех граней данного многогранника, так что

ний. На этом примере хорошо видно, что двумерные

δ_k ≡ n_nn. При этом значения q_l и w_l не меня-

распределения (и особенно, комбинация двух распре-

ются для идеальных решеток fcc, hcp, ico, посколь-

делений - на плоскостях (q₄-q₆) и (w₄-w₆)) гораздо

ку в этих решетках все 12 граней соответствующего

точнее, чем одномерные, определяют тип кристалли-

многогранника Вороного имеют одинаковые площа-

та, образовавшегося в исследуемой системе. Таким

ди. Для идеальной решетки bcc это не так (6-ти час-

образом, используя вращательные инварианты, вы-

тицам из второй оболочки соответствуют меньшие

численные с n_nn = 12 и указанные двумерные рас-

площади МВ и, соответственно, меньший вклад в ве-

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 7 - 8

2021

470

Б.А.Клумов

Рис. 1. (Цветной онлайн). Двумерные распределения частиц на плоскости вращательных инвариантов второго (q4-q6)

(панель (a)) и третьего рода (w4-w6) (панель (b)) для ряда нагретых кристаллов: ОЦК (bcc), ГПУ (hcp) и ГЦК (fcc).

Все инварианты вычислены с фиксированным числом ближайших соседей nnn ≡ 12. Вращательные инварианты для

идеальных решеток fcc, hcp, bcc также приведены для сравнения с соответствующими искаженными решетками. В

случае bcc (см. обсуждение в тексте) набор из 15-ти возможных комбинаций четырех атомов второй оболочки bcc

решетки вырождается в два набора инвариантов (bcc1 и bcc2) разной интенсивности, что хорошо видно на представ-

ленных графиках. Отсутствие заметных пересечений данных распределений позволяет надежно идентифицировать

каждый тип искаженной кристаллической решетки, несмотря на довольно значительное тепловое уширение указанных

распределений. Вставка на панели (a) показывает пространственное распределение ближайших атомов в идеальной

bcc решетке: 8 атомов из первой оболочки (выделены синим цветом) и 6 атомов из второй оболочки (красный цвет).

Дополнительно для кластера bcc построен многогранник Вороного (см. обсуждение в тексте)

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 7 - 8

2021

Об идентификации искаженных кристаллических кластеров

471

Рис. 2. (Цветной онлайн) Распределения P2D(qi, qj ) на плоскости вращательных инвариантов q4-q6 для нагретой ОЦК

(bcc) решетки. Панель (a) соответствует случаю, когда вращательные инварианты q4 и q6 вычислялись с фиксиро-

ванным nnn = 14. Цвет частиц определяется значением вращательного инварианта w4. На панели (b) использовались

те же конфигурации, но инварианты вычислялись по ближайшим соседям, определяемым методом Вороного. Допол-

нительно, на верхней панели показаны значения q4 и q6 для идеальных решеток fcc и hcp, вычисленные по nnn = 14.

Для fcc решетки это дает два набора инвариантов, а для hcp - три - они указаны на рисунке. Для нижней панели

представлены данные для наиболее распространенных кластеров в такой системе (с индексами Вороного 〈0, 6, 0, 8〉

(зеленый цвет), 〈0, 4, 4, 6〉 (красный), 〈0, 5, 2, 6〉 (черный) и 〈0, 5, 2, 8〉 (синий цвет). Хорошо виден заметный и сопо-

ставимый разброс у обоих распределений, что не дает возможности определить тип кристаллитов в рассмотренной

системе указанными методами

личину q_lm). Такие значения q_l и w_l представлены в

фаза которой имеет тип симметрии bcc. Температу-

табл. 1 с индексом - Voronoi.

ра системы T ≃ 0.3T_m, где T_m - температура плавле-

Как меняются распределения частиц по их значе-

ния. На рисунке 2a используется стандартный под-

ниям q₄ и q₆ при использовании данного подхода? На

ход, с фиксированным числом ближайших соседей:

рисунке 2, в качестве примера, приведены двумер-

n_nn = 14. Дополнительно к bcc, показаны значения

ные распределения P_2D(q_i, q_j ) частиц на плоскости

q₄ и q₆ для идеальных решеток fcc и hcp, вычислен-

(q₄-q₆) у нагретого bcc кристалла. Конфигурации

ные по n_nn = 14. Для fcc решетки это дает два на-

атомов были получены при нагреве системы Юкавы

бора инвариантов, а для hcp - три и они указаны

с параметром экранировки κ = 1, кристаллическая

на рис. 2. Видно, что все типы рассмотренных ре-

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 7 - 8

2021

472

Б.А.Клумов

шеток присутствуют в показанном распределении и

подобные (bcc-like) кластеры. Метод использует вра-

это не дает возможности, используя только эти дан-

щательные инварианты второго и третьего рода,

ные, идентифицировать тип кристаллита в рассмот-

определяемые с фиксированным числом ближайших

ренной системе.

соседей n_nn ≡ 12. Использование распределений час-

Рисунок 2b соответствует случаю, когда ближай-

тиц по их значениям q_l и w_l в двумерных простран-

шие соседи для каждого атома определялись мето-

ствах (q₄-q₆) и (w₄-w₆) позволяет надежно опре-

дом Вороного, а q_lm вычислялись по формуле (4) с

делить тип искаженной кристаллической решетки.

учетом площадей граней, соответствующих каждой

Определение bcc-подобных кластеров основано на

соседней частице. Использовались те же конфигура-

свойствах симметрии решетки bcc: использование 12

ции частиц, как и для рис. 2a. На рисунке 2b указан-

ближайших соседей при вычислении вращательных

ные распределения приведены для четырех наиболее

инвариантов вырождается только в два набора инва-

распространенных в такой системе типов кластеров,

риантов (из возможных 15-ти комбинаций), которые

топология которых характеризуется индексами Во-

заметно отличаются от плотно упакованных клас-

роного: 〈n₃, n₄, n₅, n₆〉. Здесь n_i равно числу граней

теров. При таком подходе дополнительно и сравни-

в многограннике Вороного с числом сторон 3, 4, 5 и 6

тельно легко определяются и искаженные кластеры

соответственно. Распределения для каждого тополо-

с плотной упаковкой (fcc-like, hcp-like, ico-like), что

гического типа кластеров показаны разным цветом,

делает предлагаемый метод очень удобным при ана-

который указан на рис. 2. Видно, что даже топологи-

лизе ближнего и среднего ориентационного порядка

ческие кластеры с индексами такими же, как и для

у систем, где наблюдается сосуществование различ-

идеальной bcc решетки: 〈0, 6, 0, 8〉, будучи искажен-

ных типов кристаллической решетки.

ными в результате теплового движения атомов, дают

Работа выполнена при финансовой поддержке

сильный разброс в величинах q₄ и q₆. Для остальных

Министерства науки и высшего образования РФ

кластеров разброс еще больше, что по-видимому де-

(соглашение с ОИВТ РАН

#075-15-2020-785 от

лает данный метод не очень удобным для практиче-

23 сентября 2020 г.).

ского использования. В [35] в качестве примера рабо-

ты указанного метода использовалась система твер-

1. A. Hirata, L. J. Kang, T. Fujita, B. Klumov, K. Matsue,

дых сфер при высоких плотностях упаковки φ_HS, вы-

M. Kotani, A. R. Yavari, and M. W. Chen, Science 341,

ше предела Бернала (φ_HS ≥ 0.65). Но в этом случае

376 (2013).

все кристаллиты (которыми являются кластеры fcc и

2. Y. Yang, J. Zhou, F. Zhu et al. (Collaboration), Nature

hcp) легко определяются стандартным методом вра-

592, 1 (2021).

щательных инвариантов с n_nn = 12 [14, 15].

3. S. Plimpton, J. Comput. Phys. 117(1), 1 (1995).

Выше были рассмотрены однокомпонентные ан-

4. S. Hamaguchi, R. T. Farouki, and D. H. E. Dubin,

самбли частиц, но если в рассматриваемой системе

J. Chem. Phys. 105, 7641 (1996).

присутствуют атомы разного сорта, метод VT, во-

5. P. J. Steinhardt, D. Nelson, and M. Ronchetti, Phys.

обще говоря, необходимо модифицировать с учетом

Rev. Lett. 47, 1297 (1981).

размера частиц (в mVT). Это сильно усложняет ме-

тод [35]. В [37, 38] при моделировании методом EAM

6. P. J. Steinhardt, D. R. Nelson, and M. Ronchetti, Phys.

Rev. B 28, 784 (1983).

(Embedded Atom Method) затвердевания многоком-

понентных расплавов NiZr и CuZrAl были использо-

7. A. C. Mitus and A. Z. Patashinskii, Phys. Lett. A 87,

179 (1982).

ваны стандартный метод BOOP и оба метода Воро-

ного VT и mVT. В частности, было показано, что

8. A. C. Mitus and A. Z. Patashinskii, Phys. Lett. A 88, 31

(1983).

при идентификации икосаэдрических (ico-like) клас-

теров оба подхода VT и mVT дают близкие резуль-

9. P. R. ten Wolde, R. J. Ruiz-Montero, and D. Frenkel,

таты, но завышают их число по сравнению с BOOP.

J. Chem. Phys. 104, 9932 (1996).

Это объясняется тем, что в методе VT такими кла-

10. J. R. Errington and P. G. Debenedetti, J. Chem. Phys.

стерами считаются все частицы с индексом Вороно-

118, 2256 (2003).

го 〈0, 0, 12, 0〉 (five-fold атомы) и среди них довольно

11. B. A. Klumov, JETP Lett. 98 259 (2013).

много сильно искаженных ico-like кластеров, кото-

12. S. Torquato, T. M. Truskett, and P. G. Debenedetti,

рые не проходят фильтр BOOP [39].

Phys Rev. Lett. 84, 2064 (2000).

В настоящей работе предложен новый метод

13. Y. Jin and H. A. Makse, Physica A 98, 5362 (2010).

идентификации различных искаженных нанокри-

14. B. A. Klumov, S. A. Khrapak, and G. E. Morfill, Phys.

сталлитов, включая трудно определяемые ОЦК-

Rev. B 83, 184105 (2011).

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 7 - 8

2021

Об идентификации искаженных кристаллических кластеров

473

15. B. A. Klumov, Y. Jin, and H. A. Makse, J. Phys. Chem.

M. R. Sawaya, H. Heinz, L. D. Marks, P. Ercius, and

B 118, 10761 (2014).

J. Miao, Nat. Mater. 14, 1099 (2015).

16. A. Blaaderen and P. Wiltzius, Science 270, 1177 (1995).

27. Y. Yang, C. Chen, M. C. Scottet et al. (Collaboration),

Nature 542, 75 (2017).

17. U. Gasser, E. R. Weeks, A. Schofield, P. N. Pusey, and

28. R. E. Ryltsev, B. A. Klumov, N. M. Chtchelkatchev, and

D. A. Weitz, Science 292, 5515 (2001).

K. Yu. Shunyaev, J. Chem. Phys. 145, 034506 (2016).

18. O. A. Vasilyev, B. A. Klumov, and A. V. Tkachenko,

29. H. W. Sheng, W. K. Luo, F. M. Alamgir, J. M. Bai,

Phys. Rev. E 88(1), 012302 (2013).

E. Ma, Nature 439, 419 (2006).

19. G. E. Morfill, S. A. Khrapak, A. V. Ivlev, B. A. Klumov,

30. A. Baule, F. Morone, H. J. Herrmann, and H. A. Makse,

M. Rubin-Zuzic, and H. M. Thomas, Phys. Scr. T107,

Rev. Mod. Phys. 90(1), 015006 (2018).

59 (2004).

31. M. Hanifpour, N. Francois, S. M. V. Allaei, T. Senden,

20. G. E. Morfill, A. V. Ivlev, S. A. Khrapak, B. A. Klumov,

and M. Saadatfar, Phys. Rev. Lett. 113, 148001 (2014).

M. Rubin-Zuzic, U. Konopka, and H. M. Thomas,

32. Yu. Fomin, V. N. Ryzhov, B. A. Klumov, and

Contrib. Plasma Phys. 44(5-6), 450 (2004).

E. N. Tsiok, J. Chem. Phys. 141, 034508 (2014).

21. B. A. Klumov, Phys.-Uspekhi 53, 1053 (2010) [Usp. Fiz.

33. R. M. Khusnutdinoff and A. V. Mokshin, JETP Lett.

Nauk 180, 1095 (2010)].

110(8), 557 (2019).

22. B. A. Klumov and G. Morfill, JETP Lett. 90(6), 444

34. R. Ryltsev, B. Klumov, and N. Chtchelkatchev, Soft

(2009).

Matter 11(35), 6991 (2015).

23. D. I. Zhukhovitskii, V. N. Naumkin, A. I. Khusnulgatin,

35. W. Mickel, S. C. Kapfer, G. E. Schroder-Turk, and

V.I. Molotkov, and A. M. Lipaev, JETP 130,

616

K. Mecke, J. Chem. Phys. 138(4), 044501 (2013).

(2020).

36. G. I. Voronoi, Reine Angew. Math. 134, 198 (1908).

24. V. V. Reshetnyak, O. B. Reshetnyak, and A. V. Filippov,

37. B. A. Klumov, R. E. Ryltsev, and N. M. Chtchelkatchev,

JETP 132, 277 (2021).

J. Chem. Phys. 149(13), 134501 (2018).

25. A. Hirata, P. Guan, T. Fujita, Y. Hirotsu, A. Inoue,

38. R. E. Ryltsev, B. A. Klumov, N. M. Chtchelkatchev,

A.R. Yavari, T. Sakurai, and M. Chen, Nat. Mater. 10,

and K. Yu. Shunyaev, J. Chem. Phys. 149(16), 164502

28 (2010).

(2018).

26. R. Xu, C. Chen, L. Wu, M. C. Scott, W. Theis,

39. B. A. Klumov, R. E. Ryltsev, and N. M. Chtchelkatchev,

C. Ophus, M. Bartels, Y. Yang, H. Ramezani-Dakhel,

JETP Lett. 104(8), 546 (2016).

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 7 - 8

2021