Письма в ЖЭТФ, том 114, вып. 6, с. 383 - 390

Спин-флуктуационный переход в неупорядоченной модели Изинга

Н.А.Богословский, П.В.Петров¹⁾ Н.С.Аверкиев

Физико-технический институт им. А. Ф. Иоффе, 194021 С.-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 9 июля 2021 года

После переработки 27 августа 2021 г.

Принята к публикации 27 августа 2021 г.

В работе исследуется модель примесной системы в полупроводниках, состоящая из случайно распо-

ложенных в пространстве спинов с водородоподобной зависимостью обменной энергии от расстояния в

гамильтониане Изинга. Рассчитаны функция распределения обменной энергии и средний квадрат маг-

нитного момента в зависимости от концентрации. Показано, что при концентрации, близкой к концен-

трации перехода металл-диэлектрик в полупроводниках, в системе спинов происходит так называемый

спин-флуктуационный переход, связанный с изменением среднего квадрата магнитного момента.

DOI: 10.31857/S1234567821180117

В настоящей работе исследуются свойства неупо-

за существует не только при низких концентрациях,

рядоченной модели Изинга с водородоподобной за-

но и при концентрациях примесей, намного превосхо-

висимостью обменной энергии от расстояния. Ин-

дящих концентрацию перехода металл-диэлектрик в

терес к этой теме вызван, главным образом, пуб-

полупроводниках. При таких концентрациях модель

ликацией новых экспериментальных данных, полу-

прямого водородоподобного обмена неприменима, из

ченных при исследовании полупроводниковых ге-

чего следовал вывод, что спиновое упорядочение в

тероструктур [1], компенсированных полупроводни-

полупроводниковых системах невозможно.

ков [2, 3], а также материалов с сильными электрон-

Главное отличие представленного ниже подхода

ными корреляциями [4, 5]. При интерпретации ре-

от работы Бхатта и Ли заключается в использова-

зультатов вычислений принципиально важной оказа-

нии более корректной зависимости обменной энергии

лась идея спин-флуктуационного перехода, недавно

J как функции расстояния r_ij между примесными

предложенная Демишевым [4, 6].

центрами i и j, вычисленной в работах [10, 11]

Магнитные свойства модели Изинга для полно-

J (r_ij ) = ±J₀ (r_ij /a)^5/2 exp (-2r_ij /a) .

(1)

стью случайно расположенных спинов изучены недо-

статочно. В основном модель Изинга исследуется на

Неучтенный Бхаттом и Ли степенной префактор в

регулярных решетках [7], или на решетках с различ-

(1) существенно влияет на величину обмена, прене-

ным образом введенными фрустрациями (см., напри-

брежение им недооценивает обмен в (r/a)^5/2 раз, что

мер, [8]). По причине сложности прямой задачи часто

на расстоянии 10 боровских радиусов a дает ≈ 300

изучаются нефизичные модели, такие как решетка

(см. рис. 1). Кроме того, мы рассматриваем не толь-

Бете или спиновое стекло в модели Шеррингтона-

ко антиферромагнитный, но и ферромагнитный вид

Киркпатрика. Одним из основных результатов для

взаимодействия. В предыдущей работе нами числен-

модели случайно расположенных спинов до сих пор

но исследовалась температурная зависимость маг-

является численный расчет Бхатта и Ли 1982 г., де-

нитной восприимчивости в такой модели с использо-

монстрирующий отсутствие дальнего антиферромаг-

ванием метода Метрополиса при концентрации вбли-

нитного порядка в системе примесей, взаимодейству-

зи перехода металл-диэлектрик [12]. Было показано,

ющих в рамках как гамильтониана Изинга, так и

что наличие префактора значительно изменяет по-

Гайзенберга [9]. Отсутствие дальнего порядка объяс-

ведение восприимчивости для ферромагнитного ви-

няется возникновением так называемой синглетной

да взаимодействия. В зависимости восприимчивости

фазы, в которой близко расположенные примеси свя-

от температуры префактор приводил к возникнове-

зываются в состояния с нулевым полным моментом

нию максимума, соответствующего наиболее вероят-

и перестают взаимодействовать с остальным окруже-

ной энергии взаимодействия, т.е. максимуму функ-

нием. В работе [9] было показано, что синглетная фа-

ции 4π(r/a)²J(r/a). В антиферромагнитном случае

влияние префактора на температурную зависимость

¹⁾e-mail: pavel.petrov@gmail.com

оказалось незначительным.

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 5 - 6

2021

383

384

Н.А.Богословский, П.В.Петров, Н.С.Аверкиев

нов спонтанной намагниченности в местах скопления

примесей. В антиферромагнитном случае, наоборот,

в процессе перехода происходит уменьшение флук-

туаций из-за образования антипараллельно ориенти-

рованных пар, которые взаимодействуют друг с дру-

гом слабее, нежели случайно ориентированные цен-

тры. Таким образом, возникает физическая карти-

на спин-флуктуационного перехода, которую и пред-

лагает Демишев: спонтанное изменение амплитуды

флуктуаций намагниченности под воздействием из-

Рис. 1. (Цветной онлайн) Вид функции J(r/a) с учетом

менения управляющего параметра при том, что са-

(1) и без учета (2) степенного предэкспоненциального

множителя

ма средняя намагниченность остается равной нулю.

Примечательно то, что эта физическая картина воз-

никает в весьма простой модели, параметрами ко-

Идея существования спин-флуктуационного пе-

торой являются только безразмерные концентрация

рехода была недавно высказана Демишевым на ос-

na³ и температура kT/J₀.

новании анализа экспериментальных данных, полу-

Гамильтониан изучаемой системы имеет вид:

ченных методом электронного-парамагнитного резо-

1∑

нанса в материалах с сильными электронными кор-

H =

J (r_ij )S_iS_j ,

(2)

реляциями [4, 6]. Суть ее состоит в том, что пара-

i=j

метр, управляющий фазовым переходом, влияет не

где S_i,j

= ±1 - безразмерные спиновые перемен-

на средний магнитный момент 〈S〉, а только на его

ные, соответствующие направлению магнитных мо-

средний квадрат 〈S²〉. Главное отличие от описаний,

ментов примесных центров. Суммирование ведется

основанных на теории фазовых переходов Ландау и

по всем случайно расположенным спинам примесных

разнообразных вариантов ее развития, состоит в том,

атомов, а функция J(r_ij) определена согласно (1).

что средний спин здесь равен нулю по обе стороны от

Аналитические решения для систем с гамильтони-

перехода, тогда как изменения происходят только с

аном Изинга могут быть получены только для от-

амплитудой спиновых флуктуаций. Таким образом,

дельных случаев, поэтому для исследования подоб-

в качестве параметра порядка выступает не 〈S〉, а

√

ных задач широко используются приближенные ме-

〈S²〉. В моделях с регулярным расположением спи-

тоды. Мы будем использовать так называемый метод

нов усреднение обычно производится по элементар-

эффективного поля [7, 13], широко применяющийся

ной ячейке, магнитной подрешетке, либо, в случае

при исследовании спиновых свойств в рамках модели

наличия беспорядка, по одной или нескольким коор-

Изинга. В рамках этого метода магнитные свойства

динационным сферам. Здесь рассматриваются флук-

спиновой системы вычисляются при помощи функ-

туации полного спина системы из N спинов случайно

ции распределения обменного поля, действующего на

расположенных в трехмерном пространстве.

случайно взятый спин S_j . При этом в данном случае

В представленной здесь модели управляющим па-

удобнее оказалось вычислять функцию распределе-

раметром является концентрация примесных цен-

ния не поля, а обменной энергии W (JS).

тров. При малой концентрации примесей взаимодей-

Гамильтониан системы взаимодействующих спи-

ствие их незначительно и приводит только к обра-

нов формально можно переписать в следующем виде:

зованию небольшого числа попарно взаимодейству-

ющих центров в синглетном состоянии. Амплитуда

1∑

H =

J (r_ij )S_iS_j =

J_iS_i,

(3)

спиновых флуктуаций в синглетной фазе слабо за-

i=j

висит от концентрации. Согласно [9], магнитная вос-

∑

приимчивость в этой фазе при высоких температу-

где J_iS_i = S_ij=i J(r_ij )S_j - обменная энергия, пред-

рах соответствует закону Кюри, а при понижении

ставленная в виде суммы взаимодействий спина S_i

температуры отклоняется от него в сторону умень-

со всеми остальными спинами. Покажем, что зная

шения восприимчивости. Как будет показано ниже

функцию распределения обменной энергии W(JS),

при увеличении концентрации примесных центров,

можно рассчитать магнитную восприимчивость ма-

в случае ферромагнитного взаимодействия, флук-

териала.

туации магнитного момента резко возрастают из-

Рассмотрим локализованный на центре i спин,

за возникновения случайно ориентированных доме-

имеющий модуль магнитного момента µ, и находя-

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 5 - 6

2021

Спин-флуктуационный переход в неупорядоченной модели Изинга

385

щийся в слабом, таком, чтобы эффект Зеемана оста-

спинов, находящихся в состоянии минимума обмен-

вался линейным, магнитном поле B. Тогда, исполь-

ной энергии. Это связано с большой вычислитель-

зуя традиционный термодинамический подход, его

ной сложностью расчетов для конечных температур.

средний магнитный момент можно записать как

Расчет для неупорядоченного случая весьма прост,

это усреднение по системе случайно ориентирован-

(J_i + µB)S_i

M_i = µ tanh

(4)

ных спинов. Для вычисления W (JS) в случае со-

стояния с минимумом энергии нами был разработан

Магнитная восприимчивость одного спина в зависи-

эффективно работающий алгоритм минимизации об-

мости от температуры в этом случае есть

менной энергии путем последовательного переворота

спинов с применением техники параллельного про-

∂M_i

(J_i + µB)S_i

χ_i =

cosh^-2

(5)

граммирования. Число частиц в расчете составляло

∂B

от 6 до 10 тыс., при этом учитывалось взаимодей-

Зная распределение обменной энергии W (JS) для

ствие каждого спина с каждым.

конкретных температуры и магнитного поля, можно

Для поиска состояния с минимумом энергии ис-

получить выражение для магнитной восприимчиво-

пользуется метод численного моделирования соглас-

сти всей системы просто через усреднение по обмен-

но следующей схеме. Вначале генерируется система

ной энергии:

случайно расположенных центров со случайно ори-

ентированными спинами. Далее, посредством после-

∞

∫

Nµ

(J + µB)S

довательных переворотов спинов, имеющих в дан-

χ=

W (JS) cosh^-2

d(JS),

(6)

ной конфигурации максимальную обменную энер-

−∞

гию, производится минимизация полной обменной

где под N нужно понимать полное число спинов. По-

энергии системы, вычисленной по формуле (2). Ми-

ясним немного необычный выбор переменной инте-

нимизация производится до тех пор, пока такой пе-

грирования. Традиционно принято описывать систе-

реворот возможен. В результате система случайно

му спинов как две подсистемы со спинами вверх и

расположенных спинов приводится в так называе-

вниз, и работать с ними раздельно. В нашем слу-

мое псевдоосновное состояние, которое в подобных

чае построение функции распределения в зависимо-

системах стекольного типа обычно принимается за

сти от JS удобно, так как позволяет объединить эти

основное. Для полученной в итоге процесса миними-

две подсистемы в одну. Понять, как эта схема со-

зации конфигурации спинов производилось вычис-

относится с традиционным описанием, можно, пред-

ление распределения обменной энергии, после чего

ставив себе, что система спинов находится в состо-

процесс повторялся K = 10⁴-10⁶ раз для заново сге-

янии минимума энергии, когда переворот спина S_i

нерированного случайного расположения центров.

может только повысить ее на энергию J_i. В этом слу-

Будет уместным кратко сравнить наши вычисле-

чае состояния со спинами, ориентированными вверх

ния с методикой, использованной в работе Бхатта и

и вниз, разделятся на две половины. Состояния со

Ли. В их расчете, как и у нас, исследовалась систе-

спином -1 в координатах JS будут находиться спра-

ма, состоящая из 10 тыс. случайно расположенных

ва от нуля, а энергия для них будет направлена в

спинов. По причине ограниченных возможостей ком-

отрицательную сторону. Состояния со спином +1 бу-

пьютеров того времени ими учитывалось взаимодей-

дут находиться слева от нуля и энергия для них бу-

ствие не каждого спина с каждым, а только взаимо-

дет как обычно направлена вверх. В точке JS = 0

действие внутри небольших кластеров из нескольких

будет находиться в этом случае химический потенци-

десятков спинов. Для каждого такого кластера рас-

ал для обоих подсистем. Можно провести аналогию

считывался энергетический спектр, после чего оце-

между функцией W (JS) и электронной плотностью

нивалась ширина функции распределения обменной

состояний в полупроводнике. В этом случае состоя-

энергии. Пары примесных атомов, для которых об-

ния со спинами ±1 будут соответствовать электро-

менная энергия превышала температуру, считались

нам и дыркам, которые при нулевой температуре бу-

перешедшими в синглетное состояние и не дающими

дут располагаться по разные стороны от уровня хи-

вклад в магнитную восприимчивость. Наш подход

мического потенциала, и иметь противоположно на-

качественно похож на подход Бхатта и Ли. Разница

правленные оси энергии.

состоит в том, что во-первых, вместо ширины рас-

В данной работе рассчитывается распределение

пределения мы вычисляем все распределение цели-

обменной энергии только для двух случаев: систе-

ком. Во-вторых, вместо простого отбрасывания пар,

мы полностью неупорядоченных спинов и системы

перешедших в синглетное состояние, мы использу-

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 5 - 6

2021

386

Н.А.Богословский, П.В.Петров, Н.С.Аверкиев

ем формулу (6), в которой эту роль выполняет до-

висит от концентрации. Спиновые состояния, нахо-

множение на функцию cosh^-2(J_i + µB)S/kT . Это ко-

дящиеся в максимумах, - это и есть та самая син-

локолообразная функция, ширина которой сужается

глетная фаза Бхатта и Ли, возникающая в резуль-

при понижении температуры, переставая учитывать

тате обменного взаимодействия при малых концен-

тем самым состояния с обменной энергией большей,

трациях. Количество спинов в синглетной фазе при

чем kT . Но, как уже говорилось во введении, наи-

увеличении концентрации постепенно возрастает, но

более существенную разницу с точки зрения физи-

общий вид функции не изменяется до тех пор, пока

ческого описания системы составляет учет предэкс-

концентрация не приблизится к концентрации пере-

поненциального степенного множителя в зависимо-

хода металл-диэлектрик na³ ≈ 0.01.

сти J(r/a). Магнитное поле в дальнейшем считается

При подходе концентрации к критической для

равным нулю, т.е. вычисляется дифференциальная

обменной энергии J_iS_i произвольного спина, явля-

магнитная восприимчивость в слабых полях. Это со-

ющейся согласно (3) просто суммой последователь-

ответствует обычным экспериментальным условиям

ности случайных величин, начинают выполняться

при измерении электронного парамагнитного резо-

условия центральной предельной теоремы. В сумме

нанса. На рисунке 2 представлены результаты вы-

случайных величин накапливается необходимое чис-

ло слагаемых и общий вид распределения W (JS) ста-

новится гауссовым. Дальнейшее увеличение концен-

трации вида распределения не изменяет и приводит

лишь к увеличению его дисперсии, которую легко

можно вычислить аналитически, пользуясь тем, что

(J_iS_i)2 = J2i. Средний квадрат энергии обменного

взаимодействия со спином, который находится внут-

ри сферы радиуса R:

∫

3J²⁰a

σ² =

4πr²J²(r)dr =

t⁷ exp(-4t)dt.

4πR³

R³

(7)

При R → ∞, интеграл в (7) равен

∫

t⁷ exp(-4t)dt =

(8)

4⁸

Рис. 2. (Цветной онлайн) Функция распределения об-

менной энергии W (JS), вычисленная для системы

неупорядоченных спинов при различных концентраци-

Количество спинов внутри сферы радиуса R равно

ях примесных центров. Концентрация указана на ри-

N = 4/3πR³n, откуда получаем выражение для сред-

сунке в единицах na³

неквадратичного отклонения обменной энергии:

числений функции W (JS) для системы неупорядо-

σ² =

πJ²⁰na³.

(9)

ченных спинов при различных концентрациях. При

4⁷

малых концентрациях функция распределения пред-

Результаты численного моделирования для случая

ставляет собой острый максимум вблизи нуля, что

неупорядоченных спинов при высоких концентраци-

объясняется быстрым затуханием функции J(r/a)

ях идеально описываются гауссовым распределением

с расстоянием. Справа и слева от основного в рас-

с дисперсией, вычисленной согласно (9). Несложно

пределении присутствуют боковые максимумы, соот-

вычислить и магнитную восприимчивость для систе-

ветствующие оптимальной энергии взаимодействия.

мы неупорядоченных спинов с концентрацией, соот-

Как было нами уже показано в [12], их энергия со-

ветствующей этой, как мы будем ее называть, гауссо-

ответствует максимуму функции 4π(r/a)²J(r/a), что

вой фазе. Функция распределения обменной энергии

для показателя степени предэкспоненциального мно-

в гауссовой фазе записывается в виде нормального

жителя 5/2 дает для оптимального расстояния зна-

распределения.

чение r = 5/4a, а для оптимальной энергии J_s =

(

)

= J(5/4a) = J₀(5/4)5/2 exp(-2 · 5/4) ≈ 0.143J₀. При-

J²

W (JS) =

√

exp

(10)

мечательно то, что энергия этих максимумов не за-

2πσ

-2σ2

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 5 - 6

2021

Спин-флуктуационный переход в неупорядоченной модели Изинга

387

Тогда, в соответствии с (6), магнитная восприимчи-

вость будет равна:

∫

∞

(

)

Nµ

J²

(JS)

χ=

√

exp

cosh^-2

d(JS).

2πσkT

2σ²

−∞

(11)

Этот интеграл несложно взять численно, но для по-

нимания того, как устроен ответ, полезно рассмот-

реть два предельных случая. В случае низких темпе-

ратур основной вклад в магнитную восприимчивость

дают состояния с близкой к 0 обменной энергией. По-

скольку J ≪ σ,

∫

∞

√

Nµ²

d(JS)

2Nµ²

χ=

√

(12)

2πσkT

cosh² (JS/kT)

π σ

Рис. 3. (Цветной онлайн) Функция W (JS) вычисленная

−∞

для системы с антиферромагнитным взаимодействием

в состоянии минимума энергии при различных концен-

Таким образом, при низких температурах магнит-

трациях примесных центров

ная восприимчивость не зависит от температуры

и обратно пропорциональна стандартному отклоне-

нию обменной энергии σ. При высоких температурах

cosh² (JS/kT) ≈ 1, тогда для магнитной восприим-

чивости получаем

∫

∞

(

)

Nµ

J²

Nµ²

χ=

√

exp

d(JS) =

(13)

2πσkT

2σ²

−∞

Таким образом, при высоких температурах для маг-

нитной восприимчивости в гауссовой фазе получа-

ем закон Кюри. Следует отметить, что для системы

полностью неупорядоченных спинов знак взаимодей-

ствия не важен так как ориентация спинов случай-

на. Но, как будет показано ниже, поведение ферро-

и антиферромагнитной системы спинов в состоянии

минимума энергии резко различается.

На рисунках 3 и 4 приведены функции W(JS),

Рис. 4. (Цветной онлайн) Функция W (JS), вычислен-

ная для системы с ферромагнитным взаимодействием

вычисленные для спиновой системы в состоянии

в состоянии минимума энергии при различных концен-

с минимумом энергии для ферромагнитного и ан-

трациях примесных центров

тиферромагнитного случаев. При малых концентра-

циях, т.е. в синглетной фазе, общий вид функции

распределения, по сравнению со случаем полностью

ромагнитного. Зависимость положения этих макси-

неупорядоченной системы, изменяется не очень силь-

мумов от концентрации для разных знаков взаимо-

но. Из качественных изменений можно отметить

действия различная. В случае антиферромагнитно-

лишь появление по обеим сторонам от максимума до-

го взаимодействия положение максимумов ведет себя

полнительных особенностей с энергией, равной 2J_s,

схоже со стандарнтым отклонением σ, т.е. растет как

связанных, скорее всего, с образованием трехспино-

корень из концентрации, в согласии с (9). Несложно

вых комплексов. При больших концентрациях, т.е. в

установить характер изменения положения максиму-

гауссовой фазе, с функцией W (JS) происходят каче-

ма обменной энергии и для ферромагнитного слу-

ственные изменения. Распределение в виде сцентри-

чая. Пренебрежем границами между ферромагнит-

рованной на ноль энергии гауссианы распадается на

но ориентированными кластерами и предположим,

два смещенных в разные стороны максимума, как

что внутри одного кластера спины ориентированы

для ферромагнитного случая, так и для антифер-

в одну сторону, т.е., например, J_iS_i = +1J_i. Тогда

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 5 - 6

2021

7^∗

388

Н.А.Богословский, П.В.Петров, Н.С.Аверкиев

флуктуации обменной энергии будут вызваны толь-

ко случайным расположением спинов, а не их перево-

ротами и среднее значение обменной энергии можно

вычислить следующим образом.

∫

J =

4πr²J(r)dr =

4πR³

∫

3J₀a

t^9/2 exp(-2t)dt.

(14)

R³

При R → ∞ интеграл можно представить как

∫

Γ (11/2)

945

√π

t^9/2 exp(-2t)dt =

(15)

2^11/2

2¹⁰

Рис. 5. (Цветной онлайн) Значение среднеквадратич-

√

ного отклонения магнитного момента

〈S²〉 системы

В интеграле мы рассматривали взаимодействие с од-

из N спинов в состоянии минимума энергии для фер-

ним спином. Учтем то, что внутри сферы радиуса

ромагнитного (1) и антиферромагнитного (2) типов

R находится N = 4/3πR³n спинов, тогда для сред-

взаимодействия как функция концентрации примесей.

√

него значения энергии обменного взаимодействия

Величина

〈S²〉 отнормирована на ее значение для

√

неупорядоченной системы спинов, равное

получаем

945π

√π

J =

J₀na³.

(16)

2⁸

флуктуаций, ограниченное лишь размерами систе-

Вычисленные по этой формуле энергии хорошо сов-

мы. Для исследуемой системы из 6000 спинов в вы-

√

падают с положением максимумов обменной энер-

бранной нормировке это N/

N =

6000 ≈ 77.5). В

гии, вычисленных методом численного моделирова-

антиферромагнитном случае величина среднеквад-

ния. Зависимость положения максимума обменной

ратичного момента в синглетной фазе немного мень-

√

энергии от концентрации в этом случае линейная.

ше

N. При переходе в гауссову фазу амплиту-

Для того, чтобы убедится в том, что переход

да магнитных флуктуаций уменьшается по зако-

√

от синглетной к гауссовой фазе носит именно спин-

ну

〈S²〉 ∼ 1/(1 + na3/nca3). Значение критиче-

флуктуационный характер в рамках той же мето-

ской концентрации для антиферромагнетика n_ca³ ≈

дики нами были вычислены значения среднеквадра-

≈ 0.035, а для ферромагнетика n_ca³ ≈ 0.025, т.е. по

тичного отклонения магнитного момента системы в

порядку величины совпадает с критической концен-

состоянии минимума обменной энергии для ферро- и

трацией перехода металл-диэлектрик. Еще раз отме-

антиферромагнитного случаев в зависимости от кон-

тим, что значение среднего магнитного момента во

центрации примесей согласно формуле

всех случаях равно нулю и не меняется в течение

√

√D(∑

)₂E

всего спин-флуктуационного перехода при измене-

〈S²〉 =

S_i

(17)

нии концентрации как управляющего параметра.

Вычисление магнитной восприимчивости в зави-

Индекс K соответствует усреднению по реализаци-

симости от температуры в виде (6) с использова-

ям. Результаты этих вычислений вместе с приведен-

нием вычисленных нами функций W (JS) на самом

ными ниже подгоночными функциями представле-

деле не вполне корректно. Для получения точного

ны на рис. 5. В обоих случаях наблюдается ярко вы-

вида магнитной восприимчивости необходимо знать

раженная картина изменения амплитуды спиновых

функцию W(JS) при любой температуре. Вычисле-

флуктуаций при изменении концентрации. Для фер-

ния для случая полностью неупорядоченной системы

ромагнитного случая величина среднеквадратичного

спинов соответствуют бесконечной температуре, то-

отклонения в синглетной фазе немного превышает

гда как состояние минимума обменной энергии соот-

√

значение

N, равное среднеквадратичному откло-

ветствует температуре, равной нулю. Но если пред-

нению для системы неупорядоченных спинов. При

положить, что при температурах, меньших, чем ха-

переходе в гауссову фазу происходит экспоненциаль-

рактерная энергия флуктуаций обменной энергии,

√

ное

〈S²〉 ∼ exp (na³/n_ca³) увеличение магнитных

функция распределения обменного взаимодействия

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 5 - 6

2021

Спин-флуктуационный переход в неупорядоченной модели Изинга

389

равен нулю по обе стороны фазового перехода. Та-

кой переход не может быть описан в рамках теории

фазовых переходов Ландау или других теорий, яв-

ляющихся ее развитием. Причиной этого, как нам

кажется, является то, что теория Ландау тесно увя-

зана с изменением симметрии системы. Фазовый пе-

реход в этой теории происходит из высокосиммет-

ричной фазы в фазу пониженной симметрии. Та-

ким образом такая теория применима для систем

с относительно высокой степенью симметрии, когда

можно четко указать на ее изменение. Рассматрива-

емая система, состоящая из неупорядоченных в про-

странстве спинов, симметрична только относитель-

но тождественного преобразования и не меняет эту

симметрию при любой ориентации спинов. Однако,

Рис. 6. (Цветной онлайн) Зависимости магнитной вос-

как показано в данной работе, если рассматривать

приимчивости, вычисленные для спиновой системы,

в качестве параметра порядка флуктуации магнит-

находящейся в состоянии минимума энергии. Пунктир-

ного момента, даже в такой неупорядоченной систе-

ные линии соответствуют системе с неупорядоченными

ме можно выделить различные фазовые состояния

спинами, штрихованные линии антиферромагнит-

и указать на фазовый переход между ними. Пред-

ное упорядочение, сплошные линии ферромагнит-

ставляется важным то, что переход в представлен-

ное. Концентрация в единицах na³ указана на графике

ной модели происходит при концентрациях, близких

к наблюдаемым в экспериментах концентрациях пе-

изменяется слабо, расчет с использованием функции

рехода металл-диэлектрик в полупроводниках [14].

распределения, полученной для состояния в мини-

В этом случае большое значение приобретают де-

муме потенциальной энергии, можно использовать

тали обменного взаимодействия, выходящие за рам-

в качестве приближенного описания поведения маг-

ки водородоподобного приближения и связанные с

нитной восприимчивости.

конкретным видом примесных волновых функций

На рисунке 6 приведены результаты этих вычис-

[15-17]. Тогда, в зависимости от того, как устроено

лений. Как и следовало ожидать, при малых кон-

их обменное взаимодействие на микроскопическом

центрациях, т.е. в синглетной фазе поведение маг-

уровне, спиновое упорядочение в полупроводниках

нитной восприимчивости для обоих знаков обменно-

может как наступать, так и не наступать. Вопрос о

го взаимодействия качественно согласуется с расче-

возможности спинового упорядочения с учетом сте-

тами, выполненными в работе Бхатта и Ли. В гаус-

пенного префактора в модели Гайзенберга пока оста-

совой фазе магнитная восприимчивость систем обо-

ется открытым.

их знаков взаимодействия имеет максимум, что для

Работа поддержана грантом Российского фонда

неупорядоченных спиновых систем обычно считает-

фундаментальных исследований #19-02-00283.

ся признаком фазового перехода. В ферромагнитном

случае магнитная восприимчивость заметно меньше,

а температура максимума, заметно выше, чем в ан-

1. Н. В. Агринская Н. Ю. Михайлин Д. В. Шамшур

А. В. Шумилин, В. И. Козуб, ЖЭТФ 159(5), 1 (2021).

тиферромагнитном, что связано с большей средней

обменной энергией ферромагнитных флуктуаций.

2. A. Zabrodskii, A. Veinger, and P. Semenikhin, Appl.

Magn. Reson. 51(4), 327 (2020).

Итак, в работе исследованы магнитные свойства

неупорядоченной системы примесных атомов, обмен-

3. A. Zabrodskii, A. Veinger, and P. Semenikhin, Phys.

Status Solidi B 257(1), 1900249 (2020).

но взаимодействующих в рамках модели Изинга. Об-

наружено, что при увеличении концентрации при-

4. S. V. Demishev, Appl. Magn. Reson. 51, 473 (2020).

месных атомов в такой системе происходит, так на-

5. A. V. Semeno, M. I. Gil’manov, N. E. Sluchanko,

зываемый, спин-флуктуационный переход, т.е. такой

N. Yu. Shitsevalova, V. B. Filipov, and S.V. Demishev,

фазовый переход, в котором под воздействием управ-

JETP Lett. 108(4), 237 (2018).

ляющего параметра изменяется не средний магнит-

6. С. В. Демишев, II Конференция “Квантовые ма-

ный момент, а амплитуда флуктуаций магнитного

териалы и технологии на нанометровой шкале”,

момента. Средний же магнитный момент системы

Тезисы докладов, 21, ИОФ РАН, М. (2020).

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 5 - 6

2021