Письма в ЖЭТФ, том 114, вып. 12, с. 798 - 801
© 2021 г. 25 декабря
Закономерности в потенциалах ионизации многозарядных ионов
тяжелых элементов
Г. В. Шпатаковская1)
Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, 125047 Москва, Россия
Поступила в редакцию 1 ноября 2021 г.
После переработки 1 ноября 2021 г.
Принята к публикации 11 ноября 2021 г.
Для элементов периодической системы c атомными номерами 55 ≤ Z ≤ 95 рассмотрены имеющиеся
расчетные данные по потенциалам ионизации ионов в основном состоянии с числом электронов Ne ≤ 46.
Установлена их монотонная зависимость в приведенных координатах от атомного номера Z и числа элек-
тронов Ne. Предложена полиномиальная аппроксимация этих зависимостей, дающая достаточно точную
аналитическую оценку потенциалов ионизации всех ионов рассмотренного диапазона.
DOI: 10.31857/S1234567821240034
Введение. Многозарядные ионы, положитель-
ный вид зависимости энергий связи электронов (ор-
ные ионы с большой кратностью ионизации, игра-
битальных энергий) от атомного номера Z. Этот вид
ют существенную роль в процессах, происходящих
был подсказан квазиклассическим примером исполь-
в высокотемпературной лабораторной и астрофи-
зования условия квантования Бора-Зоммерфельда
зической плазме. Их свойства важны для рентге-
для вычисления электронных уровней энергии в мо-
новской астрономии и астрофизики, в физике тер-
дели атома Томаса-Ферми. Используемый нами ме-
моядерного синтеза, в кинетических моделях плаз-
тод [3] восстанавливает соответствующую функцию-
мы, для исследования взаимодействия ионов с веще-
коэффициент при степени атомного номера Z4/3 по
ством, в медицине и т.д. К числу важнейших харак-
имеющимся в литературе экспериментальным или
теристик ионов относятся их потенциалы (в вольтах)
теоретическим значениям орбитальных энергий. В
или совпадающие с ними численно энергии иониза-
частности, этот метод позволил проанализировать
ции (в электронвольтах). Для легких элементов экс-
орбитальные энергии в каждой подоболочке есте-
периментально измерены почти все энергии иониза-
ственных атомов в основном состоянии и продемон-
ции, но в средних и тяжелых ионах измерены лишь
стрировать закономерности в их поведении [4]. Уста-
несколько первых. Эти величины для многозаряд-
новленный в результате закон подобия по атомно-
ных ионов получают или полуэмпирическими мето-
му номеру дает возможность аппроксимировать про-
дами, или в результате применения различных тео-
стыми полиномами большое число данных по этим
ретических моделей.
энергиям.
Вся совокупность имеющихся данных по энерги-
Задача данного исследования - поиск похожих
ям ионизации атомов и ионов для элементов с атом-
закономерностей в потенциалах ионизации многоза-
ными номерами Z ≤ 110 представлена в таблицах [1]
рядных ионов в основном состоянии с числом элек-
со ссылками на источники. Большую часть этих дан-
тронов Ne ≤ 46 в элементах с атомными номерами
ных представляют результаты на основе теоретиче-
55 ≤ Z ≤ 95. Важно отметить, что в отличие от
ских расчетов [2] полных энергий связи атомов и всех
порядка заполнения электронных состояний в ней-
их ионов в основном состоянии по модели Дирака-
тральных атомах, во всех этих ионах с увеличением
Фока для элементов с Z ≤ 118. Однако использо-
числа электронов от 1 до 46 имеет место правильное
вание обширных таблиц на практике не очень удоб-
заполнение вплоть до появления 4f-состояний в обо-
но и имеется потребность в возможно более точной
лочке N с главным квантовым числом n = 4. Это
аппроксимации табличных данных, что определило
позволяет устанавливать зависимость энергий иони-
мотивацию исследования.
зации только от числа электронов Ne в ионах опреде-
Проведенный в настоящей работе анализ энергий
ленного элемента, не конкретизируя квантовые чис-
ионизации ионов некоторых элементов, взятых вы-
ла соответствующего электронного состояния.
борочно из базы данных [1], опирается на определен-
В первом разделе представлен анализ энергий
ионизации из состояний K и L (n = 1, 2) оболочек,
1)e-mail: shpagalya@yandex.ru
во втором - из состояний M и N (n = 3, 4) оболочек.
798
Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 11 - 12
2021
Закономерности в потенциалах ионизации многозарядных ионов тяжелых элементов
799
Ионизация ионов из электронных состоя-
Однако на практике требуется знать потенциа-
ний K и L оболочек. В таблицах [1] находим энер-
лы ионизации элемента с фиксированным значени-
гии ионизации ионов INe(Z) в электронвольтах. Бу-
ем атомного номера Z в зависимости от числа элек-
дем исследовать зависимость этих величин от Z при
тронов в нем Ne или заряда иона q = Z - Ne. По-
постоянном числе электронов Ne. Это соответству-
этому более удобным оказывается другое представ-
ет принятой в литературе группировке ионов разных
ление функции eNe(σ). Его можно получить, аппрок-
элементов в изоэлектронные последовательности по
симируя полиномами кусочно монотонные зависимо-
их подобию нейтральным атомам с тем же числом
сти коэффициентов ai от числа электронов Ne:
электронов.
∑
Для анализа используем вспомогательную функ-
a(Ne)i =
bikNke,
(3)
цию eNe(σ), которая строится по известной энергии
k=0
ионизации INe(Z) [1] (но в атомных единицах Харт-
ри: Eh = 27.211 386 эВ) согласно следующему алго-
∑
∑
lg eNe (σ) =
bikNkeσi.
(4)
ритму [3]:
i=0 k=0
eNe = (INe (Z)/Eh)Z-4/3, σ = πZ-1/3.
(1)
Отметим здесь, что попытка интерполяции в (2) по-
линомами более высокой степени с целью повышения
На рисунке 1 по оси абсцисс отложена величина σ, а
точности оказывается не эффективной: коэффициен-
по оси ординат десятичный логарифм соответствую-
ты ai при этом являют скачкообразную зависимость
от Ne. В данном же случае (см. рис.2) имеются три
Рис. 1. (Цветной онлайн) Ионизация состояний из K
и L оболочек. Зависимости lgeNe(σ), вычисленные по
формуле (1) для 10 ионов элементов с атомными номе-
рами Z = 55, 64, 73, 83, 92, 95 по данным из [1] (сим-
волы). Линии - квадратичные интерполяции. Разные
Рис. 2. (Цветной онлайн) Зависимость коэффициентов
цвета и типы линий и символов соответствуют разным
квадратичной интерполяции ai (разные символы и цве-
значениям числа электронов в ионе Ne. Число элек-
та) в формуле (2) от числа электронов в ионе для иони-
тронов увеличивается последовательно сверху вниз от
зации из K и L оболочек. Линии - квадратичные ин-
1 до 10. Цифры указывают начало и конец заполнения
терполяции монотонных фрагментов
электронами соответствующих оболочек
диапазона чисел электронов с монотонным поведе-
щего значения eNe, вычисленные для шести разных
нием ai (i = 0, 1, 2) от числа электронов Ne. Для K
элементов выбранного диапазона (символы). Рису-
оболочки это один диапазон Ne = 1, 2 с линейной
нок демонстрирует очень гладкие монотонные зави-
интерполяцией (kmax = 1), для L - два диапазона:
симости, которые хорошо аппроксимируются квад-
Ne = 3 - 6 и Ne = 7 - 10 с квадратичной интерпо-
ратичными полиномами (линии):
ляцией (kmax = 2). Полиномиальные коэффициенты
bik для этих трех диапазонов представлены в табл.1.
∑
Покажем, как оценить энергию ионизации много-
lg eNe (σ) =
a(Ne)iσi, imax = 2.
(2)
зарядного иона в рассмотренном диапазоне, исполь-
i=0
Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 11 - 12
2021
800
Г. В. Шпатаковская
Таблица 1. Полиномиальные коэффициенты bik в формуле (4) для Ne = 1 - 10
Ne
1 - 2
3 - 6
7 - 10
i\k
0
1
0
1
2
0
1
2
0
3.603146
-0.028412
3.219575
0.035999
-0.005938
2.477236
-0.151741
0.007355
1
-5.490431
0.076551
-5.978974
-0.081335
0.015163
-4.443053
0.408770
-0.019012
2
2.668416
-0.066836
2.932355
0.035506
-0.010631
2.144425
-0.289346
0.012122
Таблица 2. Полиномиальные коэффициенты bik в формуле (4) для Ne = 11 - 18
Ne
11 - 14
15 - 18
i\k
0
1
2
3
0
1
2
3
0
7.343443
-1.256454
0.107376
-0.003113
-32.013158
6.149787
-0.376457
0.007615
1
-15.432109
2.735254
-0.235965
0.006975
86.849904
-16.422831
1.005614
-0.020321
2
-2.443173
0.998928
-0.071537
0.001433
-60.747007
11.284362
-0.691932
0.013967
зуя формулу (4) и табл. 1, и сравним оценку с таблич-
ным значением из [1]. В качестве примера вычислим
энергии ионизации четырех ионов платины (Z = 78)
с числом электронов Ne = 7 - 10. Для этого сначала
вычисляем величину σ = πZ-1/3 = 0.73528. Затем в
третьей колонке табл. 1 находим необходимые девять
коэффициентов bik. Подставляя их в формулу (4) по-
следовательно для Ne = 7, 8, 9, 10, получаем значе-
ния lg eNe (σ) = 0.31 297, 0.30 430, 0.29 548, 0.28 653 со-
ответственно. Обращая формулу (1)
INe = Z4/310lgeNe (σ)Eh,
(5)
получаем для энергий ионизации INe в эВ соответ-
ственно: 18 642 (18 630)60, 18 273 (18 280)60, 17 906
(17 890)50, 17 541 (17540)50. Здесь в скобках приво-
Рис. 3. (Цветной онлайн) Ионизация состояний из M
дятся табличные значения энергий ионизации из [1].
оболочки. Зависимости lg eNe (σ) по данным из [1] для
Число рядом со скобкой в верхнем регистре характе-
18 ионов элементов Z = 55, 60, 70, 80, 90, 95 (симво-
ризует неопределенность этих данных. Налицо прак-
лы). Обозначения аналогичны используемым на рис. 1.
тическое совпадение с нашими оценками.
Цифрами указано число электронов Ne в некоторых
Энергии ионизации из состояний M и N
ионных сериях
оболочек. Аналогичный анализ проведен для по-
тенциалов ионизации ионов нескольких элементов из
оболочек M и N. Соответствующие результаты пред-
оказывается пять, причем все с линейной зависимо-
ставлены на рис. 3 и 4 символами и аппроксимирова-
стью: Ne = 29 - 32, Ne = 33 - 36, Ne = 37 - 41,
ны квадратичными полиномами по σ согласно вы-
Ne = 42-44 и Ne = 45-46. Соответствующие коэф-
ражению (2) (линии). Как уже упоминалось во Вве-
фициенты bik помещены в табл. 2, 3 и 4.
дении, в оболочке N мы рассматриваем ионизацию
Проиллюстрируем точность предложенной ап-
только из 4s, 4p и 4d состояний, в которых для всех
проксимации несколькими примерами. Вычислим
рассматриваемых элементов имеет место правиль-
энергии ионизации INe из оболочек M и N для неко-
ный порядок заполнения. Зависимость коэффициен-
торых ионов, используя формулы (4), (5) с коэффи-
тов ai (i = 0, 1, 2) от числа электронов Ne, подобная
циентами bik из соответствующих частей табл. 2-4. В
изображенной на рис. 2, позволяет для M оболочки
скобках даны для сравнения соответствующие таб-
выделить четыре диапазона монотонного их поведе-
личные значения из базы [1] с указанием их неопре-
ния: Ne = 11-14 и Ne = 15-18 с кубической аппрок-
деленности (число в верхнем регистре). Для ионов
симацией по Ne (kmax = 3), Ne = 19 - 22 с линейной
зависимостью (kmax = 1) и Ne = 23 - 28 - с квадра-
тичной (kmax = 2). В оболочке N таких диапазонов
• неодима (Z = 60) с Ne = 23 - 28:
Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 11 - 12
2021
Закономерности в потенциалах ионизации многозарядных ионов тяжелых элементов
801
Таблица 3. Полиномиальные коэффициенты bik в формуле (4) для Ne = 19 - 32
Ne
19 - 22
23 - 28
29 - 32
i\k
0
1
0
1
2
0
1
0
2.370049
-0.073248
2.409356
-0.050056
-0.001447
6.676696
-0.208925
1
-5.344290
0.228391
-5.528195
0.157211
0.004278
-18.145058
0.623294
2
2.959552
-0.195754
3.054579
-0.135053
-0.003309
12.293592
-0.492152
Таблица 4. Полиномиальные коэффициенты bik в формуле (4) для Ne = 33 - 46
Ne
33 - 36
37 - 41
42 - 44
45 - 46
i\k
0
1
0
1
0
1
0
1
0
6.451602
-0.224719
13.924293
-0.446098
24.133866
-0.704916
10.670545
-0.415019
1
-17.779059
0.664419
-38.444742
1.280443
-67.957131
2.026628
-31.684153
1.246300
2
11.855503
-0.508948
26.331729
-0.944194
47.599662
-1.480698
23.229246
-0.956947
В худшем случае (для иона Bi39+) относительная по-
грешность нашей оценки 1.4 %.
Заключение. На основе квазиклассического ме-
тода [3] выделения зависимости от атомного номера
Z проведен анализ представленных в базе данных [1]
энергий ионизации многозарядных положительных
ионов с числом электронов Ne ≤ 46 для нескольких
элементов в диапазоне 55 ≤ Z ≤ 95. Анализ выявил
определенные закономерности в зависимости энер-
гий ионизации от атомного номера и числа электро-
нов во всем этом диапазоне. Использование обнару-
женных закономерностей позволяет на основе четы-
рех небольших таблиц с хорошей точностью аппрок-
симировать все данные по потенциалам ионизации
1886 = 46 × 41 ионов. Предложенные аналитические
оценки могут быть полезны, например, при модели-
ровании современных энергетических проектов ла-
Рис. 4. (Цветной онлайн) Ионизация состояний из N
зерного и ионного термоядерного синтеза, в расчетах
сечения ионизации ионами нейтральных атомов [5].
оболочки. Зависимости lg eNe (σ) по данным из [1] для
18 ионов элементов Z = 55, 65, 75, 85, 95 (символы).
Обозначения аналогичны используемым на рис. 1 и 3
1. A. Kramida, Yu. Ralchenko, J. Reader, and NIST ASD
Team (2020). NIST Atomic Spectra Database (ver. 5.8)
2625.4 (2627)4, 2520.7 (2525)4, 2418.6 (2425)4,
[Online].
Available:
2319.0 (2321)5, 2222.1 (2224)5, 2127.8 (2134)4;
[2021,
November
1].
National Institute of
Standards and Technology, Gaithersburg, MD;
• диспрозия (Z = 66) с Ne = 33 - 36:
1366.6 (1371)5, 1317.9 (1325)4, 1270.9 (1275)4,
2. G. C. Rodrigues, P. Indelicato, J. P. Santos, P. Patte,
1225.6 (1232)5;
and F. Parente, At. Data Nucl. Data Tables 86, 117
(2004).
• вольфрама (Z = 74) с Ne = 45 - 46:
3. Г. В. Шпатаковская, УФН
189,
195
(2019)
1185.8 (1180.0)1.4, 1137.0 (1132.2)1.4;
[G. V. Shpatakovskaya, Phys. Usp. 62, 186 (2019)].
4. Тезисы
доклада на XXXVI International
• висмута (Z = 83) с Ne = 42 - 44:
Conference on Interaction of Intense Energy
2055.7 (2029)4, 1993.4 (1967)4, 1933.1 (1902)4;
Fluxes with Matter (ELBRUS
//ihed.ras.ru/elbrus21/program/restore.php?id=10.
• нептуния (Z = 93) с Ne = 15 - 18:
5. I. Yu. Tolstikhina, I. I. Tupitsyn, S. N. Andreev and
10464
(10470)120,
10302
(10300)120,
10126
V. P. Shevelko, ЖЭТФ 146, 5 (2014).
(10130)120, 9969.4 (9970)100.
6
Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 11 - 12
2021
