Письма в ЖЭТФ, том 114, вып. 1, с. 6 - 12

Теоретическое исследование реакций в трехчастичной e^-e⁺ p

системе и сечения образования антиводорода

В.А.Градусов¹⁾, В.А.Руднев¹⁾, Е.А.Яревский¹⁾, С.Л.Яковлев¹⁾

Кафедра вычислительной физики, Санкт-Петербургский государственный университет,

199034 С.-Петербург, Россия

Поступила в редакцию 25 апреля 2021 г.

После переработки 10 июня 2021 г.

Принята к публикации 10 июня 2021 г.

Мы применяем новый высокоэффективный метод решения уравнений Фаддеева-Меркурьева для

многоканальных расчетов сечения образования антиводорода при рассеянии антипротонов на основном

и возбужденных состояниях позитрония. Наши результаты демонстрируют хорошее согласие с извест-

ными данными по полным и парциальным сечениям для всех каналов реакции. Используя умеренные

вычислительные ресурсы, мы достигли очень высокого энергетического разрешения.

DOI: 10.31857/S1234567821130036

В ЦЕРН планируются и проводятся несколь-

которые возникают из-за дальнодействующего ди-

ко экспериментов с антивеществом, использующих

польного взаимодействия между возбужденным ней-

установку замедления антипротонов. Два из них, на-

тральным атомом (либо H, либо Ps) и заряженной

целенные на гравитационное поведение антивеще-

частицей (e^- или p). Все эти особенности системы де-

ства - AEgIS [1] и GBAR [2] - используют, среди

лают снижение размерности проблематичным и тре-

прочего, трехтельную реакцию

буют подхода, который учитывал бы динамику си-

стемы в полной размерности.

p+ Ps → H + e^-

(1)

Из-за такой сложной природы системы количе-

ство надежных теоретических результатов остается

образования антиводорода H в процессе рассеяния

ограниченным: известные результаты имеют недо-

антипротона p на газе ридберговского позитрония

статочное разрешение либо по энергии, либо по сече-

(Ps) для получения частиц антивещества. Несмотря

нию, либо по обеим характеристикам. Имеется опре-

на то, что реакции перезарядки имеют долгую ис-

деленный недостаток данных о сечениях низкоэнер-

торию экспериментального и теоретического изуче-

гетического рассеяния e^-e⁺ p, полученных независи-

ния, лишь некоторые подходы продемонстрировали

мыми подходами.

определенный успех в изучении e^-e⁺ p рассеяния в

Мы предложили и реализовали подход к реше-

многоканальном глубоконеупругом режиме [3-8]. В

нию квантовой задачи трех тел, который сочетает в

частности, авторы [7, 8] обсуждали рост сечений об-

себе как теоретически обоснованную технику, так и

разования антиводорода, происходящий прямо над

вычислительно эффективный алгоритм [11]. Он ос-

порогами высоковозбужденных состояний позитро-

нован на решении уравнений Фаддеева-Меркурьева

ния, что представляет особый интерес как механизм

(ФМ) [12], которые в представлении полного орби-

увеличения скорости реакции образования антиводо-

тального момента [13] сводятся к конечной систе-

рода при производстве атомов антивещества.

ме трехмерных уравнений в частных производных.

Однако, теоретическое и вычислительное иссле-

Это выгодно отличает наш подход от подхода работ

дование этой реакции осложняется наличием множе-

[3-5], где разложение по биполярным гармоникам

ства околопороговых резонансов, дальнодействую-

приводит к бесконечной системе двумерных интегро-

щих поляризационных взаимодействий во многих ка-

дифференциальных уравнений. Наши более ранние

налах, сложных вкладов множественных виртуаль-

расчеты [11] показали, что такой подход позволяет

ных возбуждений различной геометрии. В качестве

с высокой точностью вычислять энергии связи для

примера чувствительной природы системы можно

состояний с высоким полным орбитальным момен-

упомянуть осцилляции Гайлитиса-Дамбурга [9, 10],

том. Здесь мы применяем его к задачам рассеяния и

¹⁾e-mail: v.gradusov@spbu.ru; v.rudnev@spbu.ru;

выполняем серию расчетов сечений образования ан-

e.yarevsky@spbu.ru; s.yakovlev@spbu.ru

тиводорода для реакции (1). Мы сравниваем наши

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 1 - 2

2021

Теоретическое исследование реакций в трехчастичной e^-e⁺ p системе . . .

∑

результаты для сечений, обладающие высоким раз-

Ψ =α ψ_α, где ψ_α - компоненты волновой функции,

решением, с доступными данными для сечений обра-

заданные решением уравнений (3).

зования антиводорода из работ [3-5,14-16] для рас-

Расщепление

(4)

выполняется согласно

сеяния антипротонов на основном и первом возбуж-

α (xα, yα) = χα(xα, yα)Vα(xα), где функция срезки

денном состояниях позитрония как для полных, так

Меркурьева χ_α ограничивает короткодействую-

и для парциальных сечений. В обоих случаях наши

щую часть потенциала областями в трехчастичном

данные расширяют и подтверждают более ранние ре-

конфигурационном пространстве, соответствующи-

зультаты.

ми точке трехчастичного столкновения и парной

Рассматривается система трех бесспиновых нере-

конфигурации (x_α

≪ y_α, когда y_α

→ ∞) [12].

лятивистских заряженных частиц с массами m_α и

Следуя [18, 19], мы используем функцию срезки

зарядами Z_α, α = 1, 2, 3. В дальнейшем, множество

в двухчастичном конфигурационном пространстве

индексов {α, β, γ} пробегает множество {1, 2, 3}, ну-

пары α:

мерующее частицы. Парой α называется пара частиц

{

}

βγ, дополнительная к частице α. Положение частиц

χ_α(x_α, y_α) = χ_α(x_α) = 2/

1 + exp[(x_α/x_0α)^2.01]

описывается набором координат. В системе коорди-

(5)

нат центра масс стандартным выбором является на-

Параметр x_0α в принципе может быть выбран про-

бор координат Якоби. Для разбиения α(βγ) они опре-

извольно, но его выбор изменяет свойства компонент

делены как векторы относительного положения меж-

ψ_α, которые важны как с теоретической, так и с вы-

ду частицами пары α и между их центром масс и

числительной точек зрения [20]. Его можно эффек-

частицей α. Удобно использовать приведенные коор-

тивно выбрать с помощью простого практического

динаты Якоби (x_α, y_α), которые являются вектора-

алгоритма, представленного в [19].

ми Якоби, масштабируемыми множителями

√2µ_α и

Процедура расщепления делает свойства урав-

√2µ_α(βγ) соответственно. Здесь приведенные массы

нений ФМ для кулоновских потенциалов так же

равны

подходящими для задач рассеяния, как стандарт-

ные уравнения Фаддеева в случае короткодейству-

m_βm_γ

m_α(m_β + m_γ)

µ_α =

µ_α(βγ) =

(2)

ющих потенциалов [21]. Ключевым свойством урав-

m_β + m_γ

m_α + m_β + m_γ

нений ФМ (3) является то, что правая часть каждого

Для разных значений α приведенные векторы Яко-

уравнения ограничена окрестностью точки тройного

би связаны ортогональным преобразованием xβ =

столкновения [20]. Это приводит к асимптотическо-

= c_βαx_α + s_βαy_α, y_β = -s_βαx_α + c_βαy_α [12]. В даль-

му расщеплению системы уравнений ФМ и, следова-

нейшем, где необходимо, предполагается, что векто-

тельно, асимптота каждой компоненты ψ_α для энер-

ры Якоби β представлены через α.

гий ниже порога развала содержит только члены, со-

В приведенных координатах Якоби уравнения

ответствующие бинарным конфигурациям в паре α

ФМ для трех заряженных частиц [12, 17] могут быть

[20, 21]. Для полной энергии системы E ниже порога

записаны как (полужирный шрифт используется для

трехчастичной ионизации асимптота имеет вид

векторов):

ψ_α(x_α, y_α) = χA0(x_α, y_α)δAA0 + Ξ_α(x_α, y_α),

(6)

{T_α + V_α(x_α) + V^(l)β(x_β, y_β) + V₃(x₃, y₃) - E} ×

где рассеянная волна имеет вид

×ψ_α(x_α, y_α) = -

α (xα, yα)ψβ (xβ , yβ ),

∑

φ_A(x_α)

α = β = 1,2.

(3)

Ξ_α(x_α, y_α) =

Y_ℓm(x_α)√pn0 ×

x_α

p_n

nℓm

Здесь T_α ≡ -Δxα - Δyα - операторы кинетической

энергии. Потенциалы V_α представляют собой парное

×ÃA,A0(ŷ_α,pn0)ei(pny^α-ηn log(2pny^α)).

(7)

y_α

кулоновское взаимодействие V_α(x_α) =

√2µ_αZ_β Z_γ /x_α

(β, γ

= α). Предполагается, что потенциал V3 -

Здесь Y_ℓm обозначает стандартную сферическую гар-

отталкивающий. Потенциалы V_α расщепляются на

монику. Мультииндекс A = {Am} = {αnℓm} за-

внутреннюю (короткодействующую)

α и хвосто-

дает каналы рассеяния, т.е. различные связанные

вую (дальнодействующую) части

кулоновские состояния двух тел в паре α с вол-

новой функцией φ_A(x_α)Y_ℓm(x_α)/x_α и энергией ε_n.

V_α(x_α) = V^(s)α(x_α, y_α) + V^(l)α(x_α, y_α).

(4)

Импульс p_n улетающей частицы определяется усло-

Уравнения (3) можно просуммировать, что приво-

вием сохранения энергии E

= p²ⁿ + ε_n, а пара-

дит к уравнению Шредингера для волновой функции

метр Зоммерфельда определяется как η_n ≡ Z_α(Z_β +

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 1 - 2

2021

В.А.Градусов, В.А.Руднев, Е.А.Яревский, С.Л.Яковлев

+Z_γ)√2mα(βγ)/(2pn). Начальный канал задается па-

√

F^LτMM′(Ωα) =

дающей волной

2 + 2δ_M′₀

(

)

^′D^L

(Ω_α)

(12)

× D^LMM′(Ωα) + τ(-1)^M

M,-M^′

φA0(x_α)

χA0 (x_α, y_α) =

Yℓ0m0 (xα)ei(pn0,yα)e-πηn0 /2 ×

x_α

являются линейными комбинациями D-функций

× Γ(1 + iηn0)₁F₁(-iηn0, 1, i(pn0 y_α - (pn0 , y_α))),

(8)

Вигнера D^LMM′ [24, 25]. Функция F^LτMM′ является

общей собственной функцией квадрата полного

где₁F₁ - конфлюэнтная гипергеометрическая функ-

орбитального момента, его проекции и операторов

ция [22]. Амплитуда бинарного рассеяния

пространственной инверсии

[13,

25] с собствен-

ными значениями L(L + 1), M и τ. Множитель

AAA0(ŷ_α, pn0 ) = A_C(ŷ_α, pn0 ) +

AA,A0 (ŷ_α, pn0 )

(9)

(1 - z^2α)M′ /2 в (11) вводится, чтобы сделать пар-

циальные компоненты ψ^LταMM′ и их производные

соответствует переходу от начального бинарного ка-

неособыми в z_α = ±1 [11, 26]. Теперь, подставляя

нала A₀ к бинарному каналу A. Здесь A_C - стан-

ряд (11) в уравнения ФМ (3), записанные в новых

дартная двухчастичная кулоновская амплитуда рас-

координатах (X_α, Ω_α), и проецируя полученные

сеяния [23]. Сечение рассеяния определяется выра-

уравнения на функции F^LτMM′ , получаем конечный

жением

набор трехмерных уравнений для парциальных

компонент ψ^LταMM′ (Xα)

σAA0 =

2m_α

[

0(βγ)(2ℓ0⁺¹⁾

(l)

T^LταMM′ + Vα(xα) + V_β

(x_β , y_β) +

∑

∑ ∫

]

dŷα |AAA0(ŷ_α, pA0)|2 .

(10)

+ V₃(x₃, y₃) - E

ψ^LταMM′(Xα) +

m=-ℓ m0=-ℓ0

+ T^Lτ-αM,M′_-1ψαM ,M′_-1(Xα) +

Добавляя граничные условия (6)-(8) к уравнени-

T^Lτ+αM,M′₊₁ψ^αM,M′₊₁(Xα) =

ям ФМ (3), получаем краевую задачу, которую мож-

∑

α (xα, yα)

(-1)M′′-M′ 2

но решить численно. Однако каждое уравнение (3)

√

(1 - z^2α) 2′

x_βy_β

2 + 2δ_M′′₀

является шестимерным уравнением в частных про-

M^′′=M0

изводных. Чтобы сделать вычисления возможными,

(13)

×F^LτM′′_M′ (0, wβα, 0)(1 - z^β )

ψ^LτβMM′′ (Xβ).

уравнения упрощаются путем проецирования (3) на

подпространство с заданным полным орбитальным

Операторы кинетической энергии имеют вид

моментом [13], который является интегралом дви-

∂²

(

)

∂²

жения для рассматриваемых здесь процессов. Для

T^LταMM′ = -

L(L + 1) - 2M^′2

∂y^2α

y^2α

∂x²

этого вводятся более подходящие кинематические

(

)(

∂²

∂

координаты (X_α, Ω_α) в шестимерном конфигура-

(1 - z^2α)

- 2(M^′

+ 1)z_α

y^2α

x^2α

∂z^2α

∂z_α

ционном пространстве задачи. Координаты X_α

)

= {x_α, y_α, z_α = cosθ_α ≡ (x_α, y_α)/(x_αy_α)} определяют

- M^′(M^′ + 1) ,

(14)

положение частиц в содержащей их плоскости. Три

остальные координаты Ω_α = {φ_α, ϑ_α, ϕ_α} определя-

√

ют положение плоскости в пространстве. Это стан-

T^Lτ+αM,M′₊₁ =

λL,M′

1+δ_M′₀ ×

дартные углы Эйлера поворота некоторой лабора-

y²

[

]

торной системы координат в связанную с частицами

∂

× -(1 - z^2α)

+ 2(M^′

+ 1)z_α

систему координат [24], в которой вектор x_α распо-

∂z_α

ложен вдоль оси z, а вектор y_α лежит в правой по-

√

∂

T^Lτ-αM,M′_-1 =

λL,-M′

1+δ_M′₁

(15)

ловине плоскости xz. Компоненты ФМ в новых ко-

y^2α

∂z_α

ординатах раскладываются как

√

Здесь λLM′ =

L(L + 1) - M^′(M^′ + 1). Кинематиче-

∑

ский угол w_βα связан с преобразованием координат

ψ_α(X_α, Ω_α) =

(1 - z^2α)M′/2

(X_α, Ω_α) с разными α. Он дается выражением

L=0 τ =±1 M=-L M^′=M0





arccos-sβαy^αz^α+cβαx^α ,_x

ψ^LταMM′(Xα)

F^LτMM′(Ωα).

(11)



x_αy_α

если (β - α) mod 3 = 2,

w_βα =

(16)





Здесь M₀ = (1 - τ)/2, а функции

2π - arccos-sβαy^αz^α+cβαx^α , иначе,_x

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 1 - 2

2021

Теоретическое исследование реакций в трехчастичной e^-e⁺ p системе . . .

в котором подразумевается, что областью значений

Парциальная амплитуда

A^Lλ связана с коэффици-_AA

arccos является интервал [0, π]. Полученные уравне-

ентами разложения амплитуды

AAA0(ŷ_α) в ряд по

ния называются (3D) уравнениями ФМ в представ-

сферическим гармоникам. Можно показать, что се-

лении полного орбитального момента. Важнейшим

чение рассеяния σAA0 , определенное равенством (10),

свойством системы (13) является тот факт, что урав-

может быть выражено формулами

нения на парциальные компоненты ψ^LταMM′ с раз-

∑

личающимися индексами L, M и τ образуют неза-

σAA0 =

σ^L

AA0

висимые системы уравнений. Это непосредственное

L=0

следствие того, что для рассматриваемых нами трех-

∑

∑ 



частичных систем полный орбитальный момент, его

σ^LAA

A^Lλ

² ,

(20)

AA0

2m_α

проекция и пространственная четность сохраняют-

0(βγ) 2ℓ0⁺¹

m0=-ℓ0 λ=|L-ℓ|

ся. При данных L, M и τ система (13) состоит из

где σ^L

- парциальные сечения рассеяния, через

3(L - M₀ + 1) трехмерных уравнений в частных про-

AA0

парциальные компоненты полной амплитуды

изводных. Парциальные компоненты ψ^LταMM′ долж-

ны удовлетворять нулевым граничным условиям ти-

A^LλAA

=Ã^LλAA

+δAA0 ×

па Дирихле на прямых x_α = 0, y_α = 0.

√

)

π(2λ + 1)(

Асимптотические граничные условия на парци-

(21)

ipn0

,0,ℓ0,-m0

альные компоненты ψ^LταMM′ принимают вид суммы

Вычитая падающую волну из компонент ФМ, по-

(17)

ψ^LταMM′(Xα) = χAτ0MM′(Xα)δAA0 + ΞαMM′(Xα)

лучаем неоднородные уравнения (13). Их решение

должно удовлетворять нулевым граничным услови-

парциальных компонент падающей и рассеянной

ям типа Дирихле на прямых x_α = 0, y_α = 0 и быть

волн, определенных равенствами (6)-(8). Они могут

асимптотически равным расходящейся волне (19).

быть получены проецированием (7) и (8) на функции

Полученная таким образом граничная задача реша-

F^LτMM′. Если лабораторная система координат выбра-

ется численно методом сплайн-коллокации. Числен-

на таким образом, что вектор pn0 расположен в ней

ная схема описана в работе [11], где заинтересован-

вдоль оси z, парциальная компонента падающей вол-

ный читатель может найти ее детальное описание.

ны дается выражением

Для постановки граничного условия в виде расходя-

√

щихся волн мы используем гибридный базис, кото-

(-1)^M

(2ℓ₀ + 1)

рый получается добавлением расходящихся волн в

χ^L

(X_α) = δ-M,m0

√

φA0(x_α)×

A0MM^′

pn0

2 + 2δ_M′₀

набор базисных сплайнов по переменной y_α. Каждая

∑

√

дополнительная базисная функция имеет вид нере-

2λ + 1i^λeiσλ(ηn0⁾F_λ(ηn0 , pn0 y_α)×

гулярной кулоновской функции [23] u^+ℓ(η_n, p_ny_α) в

λ=|L-ℓ0|

асимптотической области, а в остальной части ин-

Y_λM′(θ_α, 0)

(

)

тервала решения является полиномом, подобранным

C^L,Mλ,0,ℓ

1 + τ(-1)λ+ℓ0-L

0,M

,M^′,ℓ0,0

таким образом, что он удовлетворяет нулевым гра-

(1 - z^2α) 2′

ничным условиям типа Дирихле в начале координат

(18)

и обеспечивает требуемую непрерывность базисной

где кулоновский фазовый сдвиг σ_λ(ηn0 ) = arg Γ(1 +

функции. Использование гибридного базиса, с одной

+ λ + iηn0), F_λ - регулярная кулоновская функ-

стороны, обеспечивает выполнение граничного усло-

ция [23], а C^{j,mj1,m1,j2,m2} обозначают коэффициенты

вия в виде расходящихся волн. С другой стороны,

Клебша-Гордана. Парциальная компонента рассеян-

это уменьшает требуемое для получения решения с

ной волны имеет вид

заданной точностью количество базисных функций,

поскольку дополнительные функции достаточно хо-

∑√

рошо описывают поведение решения при больших

(-1)

√

2ℓ + 1×

Ξ^LταMM′(Xα) = δM,-m0

y_α.

4π(2 + 2δ_M′₀)_nℓ

Для получения представленных в статье резуль-

∑

Y_λM′(θ_α, 0)

татов мы вычисляли сечения рассеяния с точностью

× φ_A(x_α)ei(pny^α-ηn log(2pny^α))

M′

не хуже 1 %. Бинарные процессы рассеяния обозна-

(1 - z^2α) 2

λ=|L-ℓ|

чаются начальным и конечным состояниями атома.

√pn0

(

)

Например, Ps(1) → H(2) означает процесс образова-

A^LλAA

1 + τ(-1)^λ+ℓ-L

(19)

,M^′,ℓ,0

p_n

ния возбужденного антиводорода с n = 2 (s и p

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 1 - 2

2021

В.А.Градусов, В.А.Руднев, Е.А.Яревский, С.Л.Яковлев

состояния) при рассеянии антипротона на основном

(n = 1) состоянии позитрония. В энергетической

области интервала Оре (между порогами состояний

Ps(1) и H(2)), в которой возможны прямой процесс и

перестройка с атомами антиводорода и позитрония

в начальном и конечном состояниях, мы рассчитали

парциальные сечения рассеяния с L = 0-9. Парци-

альные и суммарное сечения рассеяния представле-

ны в табл. 1, на рис. 1 и 2. Значения сравниваются с

результатами, полученными другими авторами.

Таблица 1. Полные сечения рассеяния (в единицах πa²⁰), по-

лученные суммированием парциальных сечений до указанного

значения полного момента L в энергетической области Ps(1)-

H(2) в сравнении с результатами других авторов

E, а.е.

-0.22947

-0.21832

-0.17955

-0.13828

Рис. 2. Парциальные и полное сечения (в единицах πa²⁰)

σL≤4

22.1

20.6

18.8

17.4

образования антиводорода в энергетической области

Ps(1)→Ps(1)

[14]

21.95

20.64

18.88

17.23

Ps(1)-H(2). Полное сечение рассеяния получено сум-

[15]

22.00

20.57

19.16

18.20

мированием парциальных сечений с L = 0-9. Типы

σL≤4

3.31

3.81

4.02

линий и парциальные/полные сечения рассеяния: тон-

Ps(1)→H(1)

кая пунктирная - L = 0; штриховая - L = 1; разрежен-

[16]

3.2943

3.7858

4.0551

ная штриховая - L = 2; пунктирная - L = 3; штрих-

[15]

3.250

3.779

4.076

пунктирная - L = 5; разреженная штрихпунктирная -

σL≤9

3.31

3.82

4.07

Ps(1)→H(1)

L = 7; сплошная - полное

[16]

3.2949

3.9795

4.1043

ся в табл. 2 и 3. Хотя в целом совпадение результатов

Таблица 2. Парциальные сечения расссеяния (в единицах

πa²⁰) в области энергий H(2)-Ps(2) в сравнении с результатами

других авторов

E, а.е.

-0.11473

-0.09973

-0.08473

-0.07973

σ⁰

7.10

6.44

5.82

5.63

Ps(1)→Ps(1)

[14]

7.09

6.44

5.83

5.63

[27]

6.45

σ¹

2.26

2.53

2.79

2.87

Ps(1)→Ps(1)

[14]

2.28

2.54

2.64

2.87

[27]

2.51

σ²

1.24

1.03

0.862

0.817

Ps(1)→Ps(1)

[14]

1.16

1.01

0.929

0.790

[27]

1.02

σ⁰

0.00801

0.00758

0.00719

0.00704

Ps(1)→H(1)

[14]

0.00815

0.00780

0.00729

0.00715

Рис. 1. Парциальные и полное упругие сечения рас-

σ¹

0.860

0.807

0.757

0.741

Ps(1)→H(1)

сеяния (в единицах πa²⁰) антипротона на позитронии

[14]

0.858

0.805

0.742

0.739

в области энергий Ps(1)-H(2). Полное сечение рассея-

σ²

1.76

1.67

1.59

1.56

Ps(1)→H(1)

ния получено суммированием парциальных сечений с

[14]

1.77

1.69

1.57

1.58

L = 0-9. Типы линий и парциальные/полные сечения

σ⁰

0.0844

0.0952

0.107

0.113

рассеяния: тонкая пунктирная - L = 0; штриховая -

Ps(1)→H(2)

L = 1; разреженная штриховая - L = 2; пунктирная -

[14]

0.0884

0.0927

0.105

0.114

L = 3; штрихпунктирная - L = 5; разреженная штрих-

σ¹

0.273

0.630

0.854

0.908

Ps(1)→H(2)

пунктирная - L = 7; сплошная - полное

[14]

0.268

0.632

1.05

0.910

Сравнение наших результатов с результатами

других авторов в области энергий выше порога воз-

хорошее, наблюдаются некоторые достаточно значи-

бужденного состояния антиводорода H(2) приводит-

тельные расхождения значений сечений, связанных

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 1 - 2

2021

Теоретическое исследование реакций в трехчастичной e^-e⁺ p системе . . .

Таблица 3. Парциальные сечения рассеяния (в единицах πa²⁰)

в области энергий Ps(2)-H(3) в сравнении с результатами дру-

гих авторов

E, а.е.

-0.06228

-0.06198

-0.06123

-0.05978

σ⁰

0.169

0.078

0.037

0.022

Ps(1,2)→H(1)

[3]

0.282

0.097

0.047

0.030

σ¹

3.67

1.98

1.20

0.944

Ps(1,2)→H(1)

[3]

3.373

1.783

1.130

0.886

σ⁰

0.106

0.105

0.104

0.103

Ps(1)→H(2)

[3]

0.125

0.116

0.112

0.107

σ¹

0.999

0.995

0.993

0.992

Ps(1)→H(2)

[3]

1.041

1.042

1.015

1.040

σ⁰

184

79.9

34.0

16.9

Ps(2)→H(2)

[16]

218.84

76.701

32.481

17.201

Рис. 3. Сечение образования антиводорода σ¹

Ps(1)→H(2)

σ¹

479

229

102

50.1

Ps(2)→H(2)

Вертикальными штриховыми линиями показаны поло-

[16]

482.65

226.62

101.91

50.73

жения резонансов [28-31]

с возбужденным позитронием, особенно при энерги-

ях чуть выше порога Ps(2). Можно сделать вывод,

что получение с хорошей точностью сечений рассея-

ния с возбужденным позитронием в начальном или

конечном состояниях является достаточно сложной

задачей как с теоретической, так и вычислительной

точек зрения. Сложность связана с тем обстоятель-

ством, что область взаимодействия позитрония и ан-

типротона в этом случае увеличена как за счет мед-

ленно убывающей волновой функции возбужденного

позитрония, так и за счет дальнодействующего ди-

польного взаимодействия между позитронием и ан-

типротоном [14].

Рис. 4.

Сечение

образования

антиводорода

На рисунках 3 и 4 представлены некоторые пар-

σ⁰

Черными треугольниками отмечены

Ps(2)→H(1,2)

циальные сечения образования антиводорода. На них

точки, соответствующие работе

[5] (получены в

в сечении σ¹

можно обнаружить несколько

частном порядке от доктора Р. Лазаускаса)

Ps(1)→H(2)

резонансов Фешбаха.

Резюмируя, мы рассчитали сечения рассеяния

2. P. Pérez, D. Banerjee, F. Biraben et al. (Collaboration),

процесса образования антиводорода посредством ре-

Hyperfine Interactions 233, 21 (2015).

акции (1) в области энергий как ниже, так и выше по-

3. C.-Y. Hu and D. Caballero, J. Phys. B: At. Mol. Opt.

Phys. 35, 3879 (2002).

рога первого возбужденного состояния позитрония.

В будущем мы планируем распространить наши вы-

4. C.-Y. Hu, D. Caballero, and Z. Papp, Phys. Rev. Lett.

88, 063401 (2002).

числения на области энергии, в которых возможны

более высокие возбужденные состояния позитрония.

5. M. Valdes, M. Dufour, R. Lazauskas, and P.-A.

Hervieux, Phys. Rev. A 97, 012709 (2018).

Работа В. А. Градусова поддержана Российским

6. C. M. Rawlins, A. S. Kadyrov, A. T. Stelbovics, I. Bray,

научным фондом (проект номер 19-72-00076).

and M. Charlton, Phys. Rev. A 93, 012709 (2016).

Исследования были проведены с использованием

7. A. S. Kadyrov, I. Bray, M. Charlton, and I. I. Fabrikant,

вычислительных ресурсов Ресурсного Центра “Вы-

Nat. Commun. 8, 1544 (2017).

числительный центр СПбГУ” (http://cc.spbu.ru).

8. D. Krasnicky, G. Testera, and N. Zurlo, J. Phys. B: At.

Mol. Opt. Phys. 52, 115202 (2019).

9. М. Гайлитис, Р. Дамбург, ЖЭТФ 44, 1644 (1963).

1. G. Testera, S. Aghion, C. Amsler, et al. (AEgIS

10. M. Gailitis and R. Damburg, Proc. Phys. Soc. 82, 192

Collaboration), Hyperfine Interactions 233, 13 (2015).

(1963).

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 1 - 2

2021

В.А.Градусов, В.А.Руднев, Е.А.Яревский, С.Л.Яковлев

11. V. A. Gradusov, V. A. Roudnev, E. A. Yarevsky, and

22. NIST Digital Library of Mathematical Functions

S. L. Yakovlev, Commun. Comput. Phys. 30, 255 (2021).

(http://dlmf.nist.gov/, 2019).

12. С. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддеев, Квантовая теория

23. А. Мессиа, Квантовая механика, Наука, М. (1978),

рассеяния для систем нескольких частиц, Наука, М.

т. 1.

(1985).

24. Д. А. Варшалович, В. К. Херсонский, Е. В. Орленко,

13. V. V. Kostrykin, A. A. Kvitsinsky, and S. P. Merkuriev,

А. Н. Москалев, Квантовая теория углового момен-

Few Body Syst. 6, 97 (1989).

та и ее приложения, Физматлит, М. (2017), т. 1.

14. C.-Y. Hu, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 32, 3077

25. Л. Биденхарн, Дж. Лаук, Угловой момент в кван-

(1999).

товой физике, Мир, М. (1984), т. 1.

15. T. T. Gien, Phys. Rev. A 56, 1332 (1997).

26. A. Scrinzi, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 29, 6055

16. C.-Y. Hu, D. Caballero, and Z. Hlousek, J. Phys. B: At.

(1996).

Mol. Opt. Phys. 34, 331 (2001).

27. J. Mitroy and K. Ratnavelu, J. Phys. B: At. Mol. Opt.

17. S. P. Merkuriev, Ann. Phys. 130, 395 (1980).

Phys. 28, 287 (1995).

18. V. A. Gradusov, V. A. Roudnev, and S. L. Yakovlev,

28. Y. K. Ho and Z.-C. Yan, Phys. Rev. A 70, 032716

Atoms 4, 9 (2016).

(2004).

19. V. A. Gradusov, V. A. Roudnev, E. A. Yarevsky, and

29. K. Varga, J. Mitroy, J. Zs. Mezei, and A. T. Kruppa,

S. L. Yakovlev, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 52,

Phys. Rev. A 77, 044502 (2008).

055202 (2019).

30. R.-M. Yu, Y.-J. Cheng, L.-G. Jiao, and Y.-J. Zhou,

20. С. Л. Яковлев, З. Папп, ТМФ 163, 314 (2010).

Chin. Phys. Lett. 29, 053401 (2012).

21. Z. Papp, C.-Y. Hu, Z. T. Hlousek, B. Kónya, and

31. M. Umair and S. Jonsell, J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys.

S. L. Yakovlev, Phys. Rev. A 63, 062721 (2001).

47, 225001 (2014).

Письма в ЖЭТФ том 114 вып. 1 - 2

2021