Письма в ЖЭТФ, том 113, вып. 6, с. 392 - 398
© 2021 г. 25 марта
Диссоциация экситонных состояний в разогретом плотном водороде
И.Д.Федоров+∗, В.В.Стегайлов+∗×1)
+Объединенный институт высоких температур РАН, 125412 Москва, Россия
∗Московский физико-технический институт (НИУ), 141701 Долгопрудный, Россия
×Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики, 101000 Москва, Россия
Поступила в редакцию 31 декабря 2020 г.
После переработки 22 февраля 2021 г.
Принята к публикации 25 февраля 2021 г.
Переход из молекулярного в атомарное состояние в разогретом плотном флюиде водорода является
предметом активных научных исследований в последние несколько десятилетий. Использование различ-
ных экспериментальных методик до сих пор не привело к получению надежных согласующихся между
собой результатов. Несмотря на многочисленные попытки, теоретические методы пока не смогли объ-
яснить имеющиеся расхождения в экспериментальных данных и микроскопическую природу механизма
перехода флюида водорода в проводящее состояние. В работе [I. D. Fedorov, N. D. Orekhov, V. V. Stegailov,
Phys. Rev. B 101, 100101(R) (2020)] была показана важность учета неравновесных неадиабатических про-
цессов при анализе механизмов рассматриваемого перехода. В данной работе представлены результаты
расчетов свойств экситонных состояний, образующихся в результате спонтанных вибронных возбуж-
дений. Показано, что диссоциация подобных экситонов при высоких температурах может объяснить
экспериментально детектируемые характеристики рассматриваемого перехода.
DOI: 10.31857/S1234567821060070
Природа перехода из молекулярного в атомарное
молекулярная динамика (МД), основанная на тео-
состояние во флюидном водороде и дейтерии - одна
рии функционала плотности, и методы квантово-
из тех фундаментальных проблем [1-3], которые при-
го Монте-Карло, считаются наиболее точными тео-
тягивают к себе много внимания на протяжении по-
ретическими инструментами для исследования дан-
следних двух десятилетий, начиная с первого деталь-
ного перехода в плотном флюиде водорода (на-
ного эксперимента по изучению электрической про-
пример, см.
[31, 33-48]). Эти методы могут учи-
водимости флюида H2/D2 при ударном сжатии [4]. В
тывать корреляции электронов и ядер в кванто-
последующих динамических и статических экспери-
вом Монте-Карло [39], ядерные квантовые эффек-
ментах было собрано большое количество экспери-
ты [35], дисперсионные взаимодействия [35, 36], вли-
ментальных данных (например, см. [5-14]). Однако
яние выбора обменного-корреляционного функцио-
до настоящего времени не существует теории этого
нала в теории функционала плотности [37, 38] и
перехода, с единых позиций описывающей динами-
зависимость обменно-корреляционного функциона-
ческие и статические эксперименты и объясняющей
ла от электронной температуры [49]. Однако учет
отличия в их результатах.
этих эффектов в рамках квантовой МД до сих
Первые теоретические подходы к описанию пе-
пор не дал возможность описать совокупность экс-
рехода из молекулярного в атомарное состояние в
периментальных данных, характеризующих данный
разогретом плотном водороде были основаны на хи-
переход.
мических моделях [15-28]. Возможность плазмен-
Двумя общими чертами для указанных методов
ного фазового перехода была предсказана в рабо-
являются предположение о термодинамическом рав-
тах [15, 29] и, получив поддержку недавних резуль-
новесии ядерной и электронной подсистем и адиа-
татов первопринципных расчетов, рассматривается
батическое Борн-Оппенгеймеровское приближение.
как возможный механизм данного перехода [30, 31].
В методе квантового Монте-Карло основное состоя-
Позже концепция перехода металл-диэлектрик по-
ние многоэлектронной системы рассчитывается для
лучила широкое распространение для интерпрета-
независимых ядерных конфигураций, составляющих
ции результатов ab initio расчетов [32]. Квантовая
канонический ансамбль [39]. Квантовая МД основа-
на на конечно-температурной формулировке теории
1)e-mail: stegailov.vv@phystech.edu
функционала плотности, предполагающей распреде-
392
Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 5 - 6
2021
Диссоциация экситонных состояний в разогретом плотном водороде
393
ление Ферми-Дирака чисел заполнения электронных
В методе ROKS рассматривается система 2N
состояний [50, 51]. Важным следствием этих предпо-
электронов, основное состояние S0 которой соответ-
ложений является то, что эксперименты по рассмат-
ствует N двукратно заполненным оболочкам (моле-
риваемому переходу из молекулярного в атомарное
кулярным орбиталям).
состояние во флюидном водороде интерпретируются
При переходе электрона из верхней полностью за-
в рамках предположения о термодинамическом рав-
полненной молекулярной орбитали (Highest Occupied
новесии.
Molecular Orbital - HOMO) на нижнюю незапол-
В работе [52] мы обратили внимание на нерав-
ненную молекулярную орбиталь (Lowest Unoccupied
новесные неадиабатические процессы, сопровожда-
Molecular Orbital - LUMO) возможно 4 комбина-
ющие данный переход при нагреве в динамических
ции спинов электрона на двух однократно заполнен-
и статических экспериментах. Было показано, что
ных орбиталях (Singly Occupied Molecular Orbital -
при быстром нагреве плотного флюида молекуляр-
SOMO) (рис. 1). Первые два вырожденных состояния
ного водорода возникают вибронные возбуждения
электронной подсистемы при неизменном молеку-
лярном составе. Использование полуклассического
метода переключений Тулли для описания переско-
ков между поверхностями основного состояния и
первого возбужденного синглетного состояния позво-
лило показать существование экситонных состояний
со значительными временами жизни, что говорит
о недостаточности равновесного описания данного
перехода. Неадиабатическая природа перехода поз-
воляет объяснить, во-первых, достаточно большой
изотопический эффект [13] и, во-вторых, большую
Рис. 1. (Цветной онлайн) Различные варианты состо-
наблюдаемую удельную теплоту перехода [53, 54].
яний при переходе электрона с верхней заполненной
Подчеркнем, что речь идет о моделировании нерав-
молекулярной орбитали (HOMO) на нижнюю незапол-
ненную молекулярную орбиталь (LUMO): t1, t2 - три-
новесного процесса, который может затруднять ин-
плетные состояния, m1, m2 - смешанные состояния
терпретацию импульсных экспериментов в рамках
равновесных представлений об уравнении состоя-
формируют триплетное состояние, а два оставшиеся
ния вещества, использующихся, например, в моделях
не являются собственными состояниями оператора
планет-гигантов [3].
полного спина, но из них при помощи разложения
Таким образом, вибронный механизм образова-
Клебша-Гордона можно выделить одно синглетное
ния экситонов в разогретом плотном молекулярном
и одно триплетное состояние
флюиде водорода является принципиально новым
подходом к описанию результатов импульсных экспе-
1
t3 =
√
(m1 - m2),
(1)
риментов, в которых исследуется переход из молеку-
2
лярного в атомарное состояние во флюидном водоро-
де. Целью данной работы является применение кван-
1
s1 =
√
(m1 + m2).
(2)
товой МД для расчета свойств, выявленных в [52],
2
экситонных состояний, их количественная характе-
При этом энергия такого синглетного состояния
ризация и определение их роли в механизме данного
рассчитывается как разница между энергией сме-
перехода при нагреве молекулярной фазы.
шанного состояния и энергией триплетного состоя-
Описание возбужденного состояния элек-
ния:
тронной подсистемы. Для описания первого
E(s) = 2E(m) - E(t).
(3)
возбужденного состояния в данной работе исполь-
зуется ограниченный метод открытых оболочек
Таким образом, в рамках ROKS можно прово-
Кона-Шэма (Restricted Open-shell Kohn-Sham
-
дить квантовую МД на поверхности потенциальной
ROKS) [55]
- один из наименее вычислительно
энергии первого синглетного состояния S1, на каж-
затратных методов описания возбужденных состо-
дом шаге рассчитывая электронную структуру S1,
яний в рамках теории функционала плотности,
энергию E(s) и соответствующие градиенты. Подоб-
позволяющий проводить расчеты квантовой МД для
ные расчеты дают возможность проанализировать
многоатомных систем [56, 57].
отклик многоатомной и многоэлектронной системы
Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 5 - 6
2021
394
И.Д.Федоров, В.В.Стегайлов
на электронное возбуждение. При этом мы не рас-
сматриваем более высоколежащие возбужденные со-
стояния электронов и полностью делокализованные
электронные состояния в непрерывном спектре. Ис-
пользование более универсальных методов расчета
возбужденных состояний в рамках теории функци-
онала плотности сопряжено с существенно больши-
ми вычислительными затратами (например, расчеты
в рамках зависящей от времени формулировки дан-
ной теории TDDFT требуют в 100-1000 раз больших
времен расчета на один шаг квантовой МД, кроме то-
го, метод ROKS основан на орбитальном представле-
нии волновой функции системы, что облегчает ана-
лиз структуры экситона).
Анализ структуры экситона. Следующим
шагом в описании экситонного состояния в модели
Рис. 2. (Цветной онлайн) Распределение электронной
плотного водородного флюида является анализ про-
плотности последних двух однократно заполненных
странственного распределения орбиталей с целью
орбиталей SOMO-1 (серый цвет) и SOMO-2 (черный
выявления пространственных корреляций между
цвет), построенное для одной из конфигураций кванто-
дыркой (SOMO-1, h) и электроном (SOMO-2, e).
вой МД системы из 480 атомов водорода при плотности
Для этого в работе используется метод максимально
0.6 г/см3 и температуре 1700 K. Показаны изоповерх-
локализованных орбиталей Ванье. (Менее строгим с
ности электронной плотности 0.001 a-30 (a0 - радиус
теоретической точки зрения аналогом локализации
Бора). Красной стрелкой обозначено расстояние меж-
электронов с помощью орбиталей Ванье может
ду соответствующими центрами Ванье. Для выделения
считаться метод электронных волновых пакетов,
молекул H2 центры атомов представлены в виде крас-
который используется для описания плотного во-
ных шаров, соединенных черными линиями с синими
шарами, показывающими центры Ванье электронов на
дорода при высоких температурах и давлениях
двукратно заполненных орбиталях
[58-60].)
В данной работе интерес представляют центры
орбиталей SOMO-1/2, которые (для случая замены
ператур от 1000 до 2800 К, что соответствует дав-
сумм по зоне Бриллюэна значениями в Γ-точке) за-
лениям порядка 70-80 ГПа [62]. Расчеты проведе-
писываются в следующем виде [61, 57]:
ны в программном пакете CPMD [63]. Использовал-
(
)
ся обменно-корреляционный функционал BLYP. Для
∑
hβα
〈r〉αi = -
Im ln Zβ
,
(4)
моделирования первого синглетного возбужденного
ii
2π
β
состояния использовался метод ROKS. Шаг кванто-
вой МД составлял 0.1 фс. Использовался базис плос-
где hα,β (α, β = x, y, z) - матричные элементы h =
ких волн с обрезкой в 70 Ry. Cуммирование по зоне
= [a1, a2, a3], где ai - вектора расчетной ячейки.
Бриллюэна заменялось значениями в Γ-точке.
Матричный элемент Zij определяется следующим
Для каждой из температур предварительно про-
образом по орбиталям Кона-Шэма |φi〉:
изводилась квантовая МД с использованием термо-
∫
стата Нозе-Гувера для вывода на равновесие в ос-
Zαij = drexp(igα · r)φ∗i(r)φj(r),
(5)
новном состоянии S0 электронной подсистемы. За-
Ω
тем производилось моделирование в S1 без термо-
где gα - вектора трансляции обратной решетки.
стата с выводом Ванье центров на каждом шаге
На рисунке 2 проиллюстрирована форма орбита-
квантовой МД. Для каждой температуры длитель-
лей SOMO-1 и SOMO-2 и показаны их центры Ва-
ность МД траектории составляла 1 пс. Для расчета
нье в рассматриваемой модели плотного водородного
средней энергии вертикального возбуждения прово-
флюида.
дились расчеты квантовой МД на поверхности по-
Детали вычислений. В данной работе для изу-
тенциальной энергии S0 с расчетом энергии S1 на
чения динамики экситона рассматривается модель
каждом шаге.
480 атомов водорода в периодических граничных
Результаты и обсуждение. Анализ простран-
условиях при плотности в 0.6 г/см3 в диапазоне тем-
ственного распределения между центрами Ванье для
Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 5 - 6
2021
Диссоциация экситонных состояний в разогретом плотном водороде
395
При температурах выше
2000 K наблюдается
быстрое уменьшение числа конфигураций с малым
расстоянием в электрон-дырочной паре. Характер-
ное межчастичное расстояние в e-h паре становится
больше размера молекулы H2, и можно сказать, что
динамика e - h пары приобретает черты экситона
Ванье-Мотта. Подобная диссоциация экситонных
состояний должна уменьшать вероятность безыз-
лучательной релаксации S1 → S0 возбужденного
состояния, появившегося в результате спонтанного
вибронного возбуждения S0 → S1.
Анализ радиальной функции распределения для
центров атомов водорода (рис. 4) показывает, что во
Рис. 3. (Цветной онлайн) Радиальная функция рас-
пределения электрон-дырочной пары, построенная для
центров Ванье однократно заполненных орбиталей
для системы из 480 атомов водорода при плотности
0.6 г/см3 и диапазоне температур 1000-2800 К
электрона (SOMO-1) и дырки (SOMO-2) (рис. 3) по-
казывает, что в диапазоне температур от 1000 К до
примерно 2000 К вид радиальной функции распреде-
ления меняется незначительно. При этих температу-
рах расстояние между электроном и дыркой сильно
локализовано на 0.1-0.2Å, что соответствует эксито-
ну Френкелевского типа. При этом, однако, центры
Рис. 4. (Цветной онлайн) Радиальная функция распре-
Ванье SOMO-1/2 могут перескакивать с молекулы на
деления ионов для системы из 480 атомов водорода при
молекулу и геометрический центр e - h пары време-
плотности 0.6 г/см3. Видно сохранение молекулярного
нами может не быть локализован между парой цен-
состава во всем диапазоне температур от 1000 до 2800 К
тров атомов (что имеет место для центров Ванье, со-
ответствующих двукратно заполненным орбиталям).
всем рассмотренном диапазоне температур система
Если бы расчеты квантовой МД включали в себя
соответствует молекулярной фазе. При этом вско-
возможность безызлучательной релаксации возбуж-
ре после перехода из основного состояния в возбуж-
денного состояния в основное состояние, то подобное
денное в системе образуется пара атомных центров
близкое расположение электрона и дырки обуславли-
H, которые движутся на расстоянии нескольких раз-
вало бы быструю безызлучательную рекомбинацию
меров молекулы H2. Вместе с e/h центрами подоб-
экситона. Поэтому согласно расчетам экситонные со-
ную пару атомов в разные моменты времени можно
стояния, образующиеся в результате вибронных воз-
охарактеризовать как возбужденную молекулу водо-
буждений, переносящих тепловую энергию колеба-
рода или же как почти диссоциировавшую молеку-
ний молекул водорода в энергию электронного воз-
лу. Подобные типы короткоживущих связанных воз-
буждения, не оказывают влияния на свойства флю-
бужденных электрон-ионных состояний были описа-
ида водорода плотности 0.6 г/см3 при T < 2000 K.
ны и в МД расчетах классической неидеальной плаз-
Пара электрона и дырки в среде с конечной ди-
мы [64].
электрической проницаемостью всегда будет связа-
Очевидной количественной мерой скоррелиро-
на кулоновской энергией притяжения. В то же вре-
ванности пространственного расположения электро-
мя тепловые флуктуации могут разрушать возника-
на и дырки служит высота максимума радиальной
ющую пространственную корреляцию. Поэтому для
функции распределения gmax (рис.3). Если постро-
достаточно большой температуры мы можем гово-
ить зависимость этой величины от температуры си-
рить о “диссоциации экситона”, т.е. о состоянии, в
стемы, то (см. рис.5) с ростом температуры наблю-
котором тепловые флуктуации полностью разруша-
дается заметное ослабление пространственной кор-
ют кулоновскую корреляцию электрона и дырки.
реляции между электроном и дыркой.
Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 5 - 6
2021
396
И.Д.Федоров, В.В.Стегайлов
объяснить различия в моментах начала поглощения
и начала отражения в экспериментах (см., напри-
мер, [13, 8]).
На основе проведенных расчетов можно опре-
делить температуру полной диссоциации экситона
при 0.6 г/см3, используя в качестве критерия условие
gmax = 1. Полученная температура порядка 2700 K
и давление порядка 70-80 ГПа хорошо соответству-
ют экспериментально детектируемым температурам
и давлениям, при которых фиксируется “плато тем-
пературы” при нагреве плотного водорода [11, 13, 8].
Заметим, что полученные результаты могут сви-
детельствовать о возможности формирования экси-
Рис. 5. (Цветной онлайн) Красные точки (левая ось ор-
тонов и в твердом водороде [65-71]. Например, по-
динат) - зависимость от температуры максимальной
глощение черной фазы, обнаруженной в эксперимен-
величины радиальной функции распределения меж-
тах [67], может быть связано с образованием эксито-
ду центрами Ванье для электрона (SOMO-1) и дырки
нов.
(SOMO-2). Синие точки (правая ось ординат) раз-
ница между энергией первого возбужденного состоя-
Выводы. Предложен метод анализа экситонных
ния S1 и энергией основного состояния S0, усреднен-
состояний в разогретом плотном водороде на осно-
ная вдоль траектории КМД системы в основном состо-
ве 1) квантовой молекулярной динамики многоатом-
янии S0 (“усами” показаны значения дисперсии величи-
ной системы в периодических граничных условиях
ны щели ES1-ES0). Оба графика представлены для си-
на поверхности потенциальной энергии первого син-
стемы из 480 атомов водорода при плотности 0.6 г/см3
глетного возбужденного состояния и 2) анализа про-
странственной корреляции электрон-дырочной пары
Таким образом, с одной стороны, как было пока-
на основе расчета центров Ванье двух верхних одно-
зано в [52], с ростом температуры возрастает вероят-
кратно заполненных Кон-Шэмовских орбиталей.
ность возникновения неадиабатических вибронных
Охарактеризовано влияние температуры на
возбуждений в плотном флюиде водорода. С дру-
устойчивость экситонных состояний в разогретом
гой стороны, как показывает данная работа, с рос-
плотном водороде. Показано, что диссоциация
том температуры увеличивается вероятность быст-
экситонов происходит до начала термической дис-
рой диссоциации образующихся экситонов. В резуль-
социации молекулярной фазы разогретого плотного
тате подобной диссоциации в молекулярном флюиде
водородного флюида. Результаты расчетов свиде-
возникают относительно слабо связанные комплексы
тельствуют, что диссоциация экситонов приводит
из электрона, дырки и двух протонов.
к образованию слабосвязанных комплексов двух
Образование подобных комплексов в результате
протонов и двух электронов, возникновением кото-
спонтанного вибронного возбуждения S0 → S1 пе-
рых в молекулярной фазе можно объяснить начало
реносит из колебательных степеней свободы в элек-
поглощения пробного излучения. Полученная для
тронные энергию порядка 1-2 эВ на один экситон
одной плотности флюида температура перехода хо-
(на рис. 5 показана средняя энергия вертикально-
рошо соответствует экспериментальным данным по
го возбуждения при различных температурах для
началу поглощения пробного излучения в плотном
0.6 г/см3). Подобным переносом энергии можно объ-
флюиде водорода [11, 13, 8].
яснить большую величину удельной теплоты перехо-
Авторы благодарят профессора Г. Э. Нормана за
да, детектируемую в экспериментах с алмазными на-
интерес к данной работе и профессора Н. Долцити-
ковальнями как “плато температуры” [54]. Возникно-
са за советы по использованию орбиталей Ванье для
вение подобных комплексов может объяснить и рост
анализа электронной структуры.
поглощения пробного излучения.
Исследование выполнено с использованием
Последующее объединение подобных комплексов
суперкомпьютерного центра ОИВТ РАН. Работа
в кластеры с размером в несколько сот наномет-
выполнена при финансовой поддержке Министер-
ров может объяснить детектируемый рост коэффи-
ства науки и высшего образования РФ (соглашение
циента отражения плотного водорода в процессе пе-
с ОИВТ РАН #075-15-2020-785 от
23
сентября
рехода из молекулярного в атомарное состояние. А
2020 г.).
различие в кинетике подобной кластеризации может
Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 5 - 6
2021
Диссоциация экситонных состояний в разогретом плотном водороде
397
1.
J. M. McMahon, M. A. Morales, C. Pierleoni, and
22.
D. Saumon and G. Chabrier, Phys. Rev. A 44, 5122
D. M. Ceperley, Rev. Mod. Phys. 84(4), 1607 (2012).
(1991).
2.
A.N. Utyuzh and A.V. Mikheyenkov, Physics-Uspekhi
23.
H. Reinholz, R. Redmer, and S. Nagel, Phys. Rev. E 52,
60(9), 886 (2017).
5368 (1995).
3.
R. Helled, G. Mazzola, and R. Redmer, Nature Reviews
24.
W. Ebeling and G. Norman, J. Stat. Phys. 110, 861
Physics 2(10), 562 (2020).
(2003).
4.
S. T. Weir, A.C. Mitchell, and W. J. Nellis, Phys. Rev.
25.
G. E. Norman, J. Phys. A: Math. Gen. 39, 4579 (2006).
Lett. 76, 1860 (1996).
26.
A. L. Khomkin and A. S. Shumikhin, Plasma Phys. Rep.
5.
V.E. Fortov, R. I. Ilkaev, V.A. Arinin, V. V. Burtzev,
39, 857 (2013).
V.A. Golubev, I. L. Iosilevskiy, V. V. Khrustalev,
27.
A. N. Starostin, V. K. Gryaznov, and A. V. Filippov,
A.L. Mikhailov, M. A. Mochalov, V. Ya. Ternovoi, and
JETP Lett. 104, 696 (2016).
M. V. Zhernokletov, Phys. Rev. Lett. 99, 185001 (2007).
28.
W. Ebeling, V. Fortov, and V. Filinov, Quantum
6.
M. D. Knudson, M. P. Desjarlais, A. Becker,
Statistics of Dense Gases and Nonideal Plasmas,
R.W. Lemke, K. R. Cochrane, M. E. Savage, D. E. Bliss,
Springer, Cham (2017).
T. R. Mattsson, and R. Redmer, Science 348(6242),
29.
V. S. Filinov and G. E. Norman, Phys. Lett. A 55(4),
1455 (2015).
219 (1975).
7.
M. A. Mochalov, R. I. Il’kaev, V. E. Fortov,
30.
G. E. Norman and I. M. Saitov, Contributions to Plasma
A.L. Mikhailov, A.O. Blikov, V. A. Ogorodnikov,
Physics 59(6), e201800182 (2019).
V.K. Gryaznov, and I. L. Iosilevskii, JETP 124(3), 505
(2017).
31.
H. Y. Geng, Q. Wu, M. Marqués, and G. J. Ackland,
8.
P. M. Celliers, M. Millot, S. Brygoo, R. S. McWilliams,
Phys. Rev. B 100, 134109 (2019).
D. E. Fratanduono, J. R. Rygg, A. F. Goncharov,
32.
R. Redmer and B. Holst, Metal-to-Nonmetal
P. Loubeyre, J. H. Eggert, J. L. Peterson, N. B. Meezan,
Transitions, Springer Berlin Heidelberg, Berlin,
S. Le Pape, G. W. Collins, R. Jeanloz, and R.J. Hemley,
Heidelberg (2010), p. 63.
Science 361(6403), 677 (2018).
33.
S. Scandolo, Proceedings of the National Academy of
9.
P. Loubeyre, P. M. Celliers, D. G. Hicks et al.
Sciences 100(6), 3051 (2003).
(Collaboration), High Pressure Research
24(1),
25
34.
I. Tamblyn and S. A. Bonev, Phys. Rev. Lett. 104,
(2004).
065702 (2010).
10.
V. Dzyabura, M. Zaghoo, and I. F. Silvera, Proceedings
35.
M. A. Morales, J. M. McMahon, C. Pierleoni, and
of the National Academy of Sciences 110(20),
8040
D. M. Ceperley, Phys. Rev. Lett. 110, 065702 (2013).
(2013).
36.
G. Mazzola and S. Sorella, Phys. Rev. Lett. 118, 015703
11.
K. Ohta, K. Ichimaru, M. Einaga, S. Kawaguchi,
(2017).
K. Shimizu, T. Matsuoka, N. Hirao, and Y. Ohishi, Sci.
37.
M. D. Knudson and M. P. Desjarlais, Phys. Rev. Lett.
Rep. 5, 16560 (2015).
118, 035501 (2017).
12.
R.S. McWilliams, D. A. Dalton, M. F. Mahmood, and
38.
M. D. Knudson, M. P. Desjarlais, M. Preising, and
A.F. Goncharov, Phys. Rev. Lett. 116, 255501 (2016).
R. Redmer, Phys. Rev. B 98, 174110 (2018).
13.
M. Zaghoo, R. J. Husband, and I. F. Silvera, Phys. Rev.
39.
K. T. Delaney, C. Pierleoni, and D.M. Ceperley, Phys.
B 98, 104102 (2018).
Rev. Lett. 97, 235702 (2006).
14.
S. Jiang, N. Holtgrewe, Z. M. Geballe, S.S. Lobanov,
40.
N. M. Tubman, E. Liberatore, C. Pierleoni,
M. F.
Mahmood, R. S.
McWilliams,
and
M. Holzmann, and D. M. Ceperley, Phys. Rev.
A.F. Goncharov, Adv. Sci. 7(2), 1901668 (2020).
Lett. 115, 045301 (2015).
15.
G. E. Norman and A. N. Starostin, High Temp. 6, 394
41.
G. Mazzola and S. Sorella, Phys. Rev. Lett. 114, 105701
(1968).
(2015).
16.
L. M. Biberman and G. E. Norman, High Temp. 7(5),
822 (1969).
42.
G. Mazzola, R. Helled, and S. Sorella, Phys. Rev. Lett.
120, 025701 (2018).
17.
J. L. Lebowitz and E. H. Lieb, Phys. Rev. Lett. 22, 631
(1969).
43.
G. Rillo, M. A. Morales, D. M. Ceperley, and
C. Pierleoni, Proceedings of the National Academy of
18.
G.
É. Norman and A. N. Starostin, J. Appl. Spectrosc.
13, 965 (1970).
Sciences 116, 9770 (2019).
19.
G. E. Norman and A. N. Starostin, High Temp. 8(2), 381
44.
V. Gorelov, D. M. Ceperley, M. Holzmann, and
(1970).
C. Pierleoni, Phys. Rev. B 102, 195133 (2020).
20.
W. Ebeling, Phys. Stat. Sol. B 46, 243 (1971).
45.
Ch. Tian, F. Liu, H. Yuan, H. Chen, and Y. Gan,
21.
W. Kraeft, D. Kremp, W. Ebeling, and G. Röpke,
J. Phys. Condens. Matter 33(1), 015401 (2020).
Quantum statistics of charged particle systems,
46.
K. Ramakrishna, T. Dornheim, and J. Vorberger, Phys.
Akademie-Verlag, Berlin (1986).
Rev. B 101, 195129 (2020).
Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 5 - 6
2021
398
И.Д.Федоров, В.В.Стегайлов
47. M. Ruggeri, M. Holzmann, D. M. Ceperley, and
59. J. T. Su and W. A. Goddard, Phys. Rev. Lett. 99,
C. Pierleoni, Phys. Rev. B 102, 144108 (2020).
185003 (2007).
48. S. van de Bund, H. Wiebe, and G. J. Ackland,
60. Y. S. Lavrinenko, I. V. Morozov, and I. A. Valuev,
arXiv preprint arXiv:2009.05491 (2020).
Contributions to Plasma Physics 59(4-5), e201800179
49. V. V. Karasiev, J. W. Dufty, and S. B. Trickey, Phys.
(2019).
Rev. Lett. 120, 076401 (2018).
61. P. L. Silvestrelli, Phys. Rev. B 59(15), 9703 (1999).
50. N. D. Mermin, Phys. Rev. 137, A1441 (1965).
62. W. Lorenzen, B. Holst, and R. Redmer, Phys. Rev. B
51. V. V. Stegailov and P. A. Zhilyaev, Mol. Phys. 114(3-4),
82(19), 195107 (2010).
509 (2016).
52. I. D. Fedorov, N. D. Orekhov, and V. V. Stegailov, Phys.
64. A. V. Lankin and G. E. Norman, Journal of Physics A:
Rev. B 101(10), 100101 (2020).
Mathematical and Theoretical 42(21), 214032 (2009).
53. N. C. Holmes, M. Ross, and W. J. Nellis, Phys. Rev. B
65. Ch. J. Pickard and R. J. Needs, Nat. Phys. 3(7), 473
52, 15835 (1995).
(2007).
54. M. Houtput, J. Tempere, and I. F. Silvera, Phys. Rev.
66. J. M. McMahon and D. M. Ceperley, Phys. Rev. Lett.
B 100, 134106 (2019).
106, 165302 (2011).
55. I. Frank, J. Hutter, D. Marx, and M. Parrinello,
67. R. P. Dias and I. F. Silvera, Science 355(6326),
715
J. Chem. Phys. 108(10), 4060 (1998).
(2017).
56. N. L. Doltsinis and D. Marx, Phys. Rev. Lett. 88, 166402
68. N. N. Degtyarenko, E. A. Mazur, and K. S. Grishakov,
(2002).
JETP Lett. 105(10), 664 (2017).
57. Ch. Schwermann and N. L. Doltsinis, Phys. Chem.
69. N. A. Kudryashov, A. A. Kutukov, and E. A. Mazur,
Chem. Phys. 22(19), 10526 (2020).
JETP Lett. 105(7), 430 (2017).
58. B. Jakob, P.-G. Reinhard, C. Toepffer, and
70. I. M. Saitov, JETP Lett. 110(3), 206 (2019).
G. Zwicknagel, Journal of Physics A: Mathematical
71. G. E. Norman and I. M. Saitov, JETP Lett. 111, 162
and Theoretical 42(21), 214055 (2009).
(2020).
Письма в ЖЭТФ том 113 вып. 5 - 6
2021