Письма в ЖЭТФ, том 112, вып. 9, с. 591 - 597

Ударное акустическое излучение при столкновении капли

изменяющейся формы с поверхностью воды

В.Е.Прохоров¹⁾

Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, 119526 Москва, Россия

Поступила в редакцию 26 июня 2020 г.

После переработки 17 сентября 2020 г.

Принята к публикации 29 сентября 2020 г.

Излучение звука на стадии сверхзвукового расширения контактного пятна при столкновении кап-

ли с водной поверхностью рассматривается в теоретической и экспериментальной постановке. Измере-

ния акустических сигналов проведены с одновременной видеорегистрацией падающей капли. Амплитуда

ударного импульса не зависит от формы подводного сегмента капли, она определяется только скоростью

соударения и текущими геометрическими параметрами надводного сегмента, форма которого фикси-

руется на момент последнего перед столкновением видеокадра. Огибающая формы аппроксимируется

непрерывной функцией, с помощью которой моделируется сверхзвуковое расширение контактного пят-

на, рассчитывается амплитуда ударного импульса. Близость расчетных и экспериментальных данных

подтверждают стабильность формы надводного сегмента капли во время излучения ударного импульса.

DOI: 10.31857/S123456782021003X

Акустическое излучение при столкновении кап-

ния лежит в области существенно более низких час-

ли с поверхностью воды исследуется на протяжении

тот. Данный тип излучения не отличается высокой

многих десятилетий как фундаментальная проблема,

повторяемостью и стабильностью - размеры отры-

а также в рамках прикладных наук - метеорологии

вающихся пузырей, а также их количество, заметно

(неконтактное измерение интенсивности осадков на

разнятся от опыта к опыту, и в результате сильно

удаленных акваториях [1-3], акустики океана (мо-

различаются параметры излучаемых звуковых паке-

дель шумового фона океана [4, 5]), в интересах флота

тов - частота, амплитуда, длительность [14].

(малошумность испытательных полигонов [6]), эко-

Первые комплексные измерения акустического

логии (защита морских животных [7]).

излучения одиночных капель в полосе частот 0.1-

Практический интерес представляют эффекты,

100 кГц с одновременной киносъемкой (80 к/с) про-

создаваемые множеством капель, однако наибольшее

ведены в 1959 г. [8]. В экспериментах выделены удар-

количество работ посвящено именно одиночным кап-

ная и резонансная компоненты, вычислены спектры

лям, так как данная постановка позволяет детализи-

излучаемого звука и сопоставлены с аналогичны-

ровать физические механизмы излучения.

ми спектрами акустического излучения, генерируе-

Природа излучения двояка - в начальной ста-

мого искусственным дождем на водной поверхности.

дии (несколько наносекунд) излучается ударный зву-

Аналогичные эксперименты проводились и впослед-

ковой импульс, основной спектр которой находит-

ствии [13,15], однако их общая особенность - ограни-

ся в высокочастотной области. Механизм ударного

ченность полосы акустических измерений (не выше

излучения - сверхзвуковое расширение контактно-

200 кГц) в пользу ее равномерности, что обеспечива-

го пятна, образуемого каплей с поверхностью [8-10].

ло качественное воспроизведение амплитуды во всей

Ударный импульс устойчиво появляется при каждом

полосе, но было явно недостаточно для восстановле-

столкновении при условии, что конечная скорость

ния фронта ударного импульса.

капли превышает пороговое значение, определяемое

Аналитическое описание ударного излучения зву-

поверхностным натяжением и вязкостью [11].

ка при столкновении капли с жидкостью построено

На последующих стадиях (десятки миллисекунд

на основе заимствований из теории, разработанной

после контакта) вступает в действие резонансное зву-

для твердой сферы, соударяющейся с поверхностью

чание воздушных пузырей, отрывающихся от под-

жидкости [8, 16]. В развитие аналогии рассматрива-

водных каверн [12, 13]. Спектр резонансного излуче-

ется капля правильной формы - сферической [9],

или сфероидальной [10]; последующий анализ осно-

¹⁾e-mail: prohorov@ipmnet.ru

ван на том, что форма капли сохраняется неизмен-

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 9 - 10

2020

591

592

В.Е.Прохоров

ной (включая ее подводный сегмент) в течение ста-

сверхзвуковой стадии временным разрешением. Вы-

дии сверхзвукового расширения контактного пятна.

ходные данные моделирования - геометрические па-

Благодаря этому получаются простые формулы па-

раметры контактного контура используются для рас-

раметров контактного пятна - радиуса и скорости

чета амплитуд ударного давления, которые сравни-

расширения, которые входят в конечное выражение

вается с измеренными в эксперименте. Метод не ли-

для ударного импульса [9, 17].

шен недостатка: временной промежуток от послед-

Однако форма капли обычно далека от идеаль-

него кадра до столкновения меняется случайным об-

ной - во время падения капля осциллирует [18], при

разом, что снижает степень соответствия модельного

подлете к поверхности дополнительно деформирует-

профиля его реальному виду и приводит к случай-

ся ее донный сегмент [19, 20], и на момент контакта

ным отклонениям вычисляемого ударного давления.

она превращается в неправильный сфероид [21]. В

Рассматривается случай с осевой симметрией, ко-

серии повторяющихся опытов конечная форма кап-

гда ударное излучение принимается в точке на про-

ли меняется случайным образом, а сопутствующие

должении линии падения капли (рис. 1). Выбор про-

ударные акустические импульсы столь же случайно

стой геометрии позволяет провести эксперименталь-

меняются по амплитуде от опыта к опыту [21], не

ную проверку с помощью единственного гидрофона.

имея видимой связи с теорией.

Результаты теории и эксперимента удается сбли-

зить, если в расчетах вместо исходного интегрально-

го радиуса взять локальный радиус плоского изоб-

ражения капли. Локальный радиус можно измерить

одним из возможных способов - путем осреднения

по множеству радиусов эквивалентной (т.е. восста-

новленной по трем точкам) окружности [11], или

по кривизне профиля вертикального сечения кап-

ли. Для обеспечения точности требуется высокая

степень дискретизации контактной зоны на времен-

ном интервале порядка 10 нс. Однако инструменты,

способные обеспечить такое разрешение, пока отсут-

ствуют.

Идеализации капли не позволяет эксперимен-

тально обосновать теорию: сложно создать условия,

в которых капля к моменту столкновения имеет пра-

Рис. 1. Геометрия задачи при соударении капли с по-

вильную форму. С другой стороны, для реальной

верхностью. Y - свободная поверхность капли; L - кон-

капли с произвольной формой невозможно в тече-

тур сечения капли поверхностью жидкости; M - точка

ние наносекундного интервала осуществить доста-

приема излучения

точное пространственное разрешение, позволяющее

выделить геометрические параметры, определяющие

Форма и скорость капли принимаются фиксиро-

ударное излучение.

ванными на момент съемки последнего перед при-

В настоящей работе предложена конечная фор-

воднением кадра. Форма донного сегмента - одновы-

мула ударного импульса, в которую вместо харак-

пуклая, в отличие от случая высокоскоростного со-

терных размеров капли входят текущие параметры

ударения капли с твердой поверхностью, где отчет-

контактного контура и показатель формы капли на

ливо наблюдается двугорбая форма [22].

сверхзвуковой стадии. Проверка формулы проводит-

Излучение звука при радиальном расширение

ся методом математического моделирования, в кото-

контура L со сверхзвуковой скоростью эквивалент-

ром исходными данными являются зарегистрирован-

но суммарному действию распределенных по конту-

ные в эксперименте ударный импульс и видеокадры

ру элементарных источников объемом dV и плотно-

капли.

стью q, так что каждый из них характеризуется объ-

Оцифрованная огибающая капли, зафиксирован-

емной скоростью dQ = q · dV .

ной на последнем перед приводнением видеокадре,

Уравнение распространения звука возьмем в виде

аппроксимируется непрерывной функцией, посред-

[23]

ством которой в аналитическом виде моделируется

1 ∂²p

∂q

расширение контактного контура с достаточным для

Δp -

= -ρ

c² ∂t²

∂t

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 9 - 10

2020

Ударное акустическое излучение при столкновении капли изменяющейся формы с поверхностью воды 593

Рис. 2. Вид (а) капли непосредственно перед приводнением; контур (черный) вокруг бинарного изображения капли

(b), контур в координатах r, y (c) с выделенным участком, аппроксимирующая кривая выделенного участка (d) вблизи

точки контакта r0. Деления в мм

стандартное решение которого

и r = 0 при τ = 0. Для разрешения неопределен-

∫

ности локальный радиус капли R_d в точке касания

dQ(τ)

p(R, t) = ρ

должен быть конечной величиной (для этого доста-

4πR

точно отличной от нуля второй производной кри-

вой Y на рис.1 в точке касания). Поскольку в те-

где τ = t - R/c, c - скорость звука в воде.

чение всей сверхзвуковой стадии выполняется α ≈ 0,

При заданной геометрии (рис. 1) h

= const и

то r = R_d · sinα и rr = U · Rd cosα ≈ URd. При

r · dr = R · dR, поэтому dQ = U · dS = U · 2πr · dr =

R_d ≪ h · c/U (4) переходит в

2πUR · dR и

ρU²r

∫

p(r, t) =

ctg α.

(5)

ρ d

ρU dR(τ)

p(R, t) =

U · dR =

(1)

2 dt

Входящие в (5) локальные геометрические парамет-

ры r(τ) и α(τ) относятся к надводному сегменту кап-

Далее,

ли, примыкающему к поверхности со стороны воз-

(

)

dR(τ)

dR(τ) dτ

dR(τ)

1 dR(τ)

душной среды. В формуле отсутствуют параметры

неконтролируемого подводного сегмента - при до-

dτ dt

dτ

c dt

звуковой скорости капли он не может влиять на

откуда, обозначив dR(τ)/dτ =

R(τ),

уходящий под воду ударный фронт, так как отста-

ет от фронта на расстояние (c - U)t; приняв фор-

dR(τ)

(2)

му подводного сегмента неизменной, мы не наруша-

1 + c/

R(τ)

ем условий распространения ударной волны. Кроме

Подстановка (2) в (1) дает

того, на временном отрезке t < t_c граница надвод-

ного сегмента остается невозмущенной, так как воз-

ρU

бужденные элементарные волны не поспевают за ней

p(R, t) =

(3)

1 + c/

R(τ)

(r > c). Другими словами, можно считать, что на

сверхзвуковой стадии форма капли неизменна, и, ес-

Сделав замену

rr/R, и, учитывая R

√

ли каплю заменить на твердое тело, скорость и фор-

h² + r² ≈ h ввиду r ≪ h (размер излучающе-

ма которого такие же, как и у капли на момент кон-

го контура исчезающе мал в сравнении с любым из

такта, то амплитуда ударного излучения не изме-

характерных размеров задачи), получим из (3)

нится.

(

)_-1

Радиус контура r(t), ограничивающего окруж-

ρUc

p(r, t) =

(4)

ность сечения капли поверхностью, определяется ре-

шением y(r) - Ut = 0, где y(r) - участок огибаю-

Из геометрии задачи (рис. 1) следует r = U ctg α,

щей Y (r) плоского изображения (видеокадра) кап-

ctg α = (dy/dr)^-1, где α - угол между касательной

ли. Сама огибающая Y получена специальной ком-

к профилю вертикального сечения капли и осью r.

пьютерной обработкой, выделяющей на видеокад-

Произведение rr в момент контакта представляет со-

ре (рис. 2а) высокоградиентную границу изображе-

бой неопределенность вида ∞ · 0, так как ctgα = ∞

ния капли (рис. 2b, c) согласно методике [24, 25]. Уча-

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 9 - 10

2020

594

В.Е.Прохоров

Рис. 3. Ударное давление: 1 - по формуле (5); 2 и 3 - на выходе синтезированного и реального гидрофонов. Вставка:

развернутый начальный участок кривой 1. U = 3.9 м/с, h = 1.5 см

сток y(r) выделялся таким образом, чтобы точка

Ширина полосы гидрофона 0.1-1 МГц, неравно-

(рис. 2c, d) контакта r₀ находилась внутри него. Уча-

мерность 6 дБ, чувствительность на верхнем преде-

сток аппроксимировался аналитической функцией

ле полосы около 0.04 Па/мкВ. Так как спектр фронта

(полиномом 5-й степени, рис. 2d), после чего моде-

ударного импульса лежит существенно выше полосы

лировалось его движение вниз со скоростью U на

гидрофона, выходной сигнал корректировался с по-

временном интервале 0.1-10 нс с шагом 0.1 нс. Таким

мощью математической модели гидрофона, которая

образом было получено 100 значений радиуса r кон-

была синтезирована по его реальным характеристи-

тактного контура, его временной производной r = U_e

кам в виде фильтра Чебышева I рода 2-го порядка.

и показателя формы ctg α.

В качестве входного сигнала модели служил импульс

По скорости приводнения U (вычислялась по по-

давления (5), рассчитанный на временном интервале

следним пяти видеокадрам) и начальным значениям

[0, t_c] по данным U, r и ctg α в конкретном опыте.

r, ctg α определялась амплитуда ударного импульса

Рассчитанный импульс (рис. 3, сплошная кри-

(5). Расчетное значение сравнивалось с измеренным

вая 1 на основном поле графика и вставке) про-

давлением.

длевался аналитически аппроксимирующей функци-

Капля воды отрывалась под собственным весом

ей (штриховая) далеко за пределы сверхзвуковой

от сопла диаметром 4 мм и падала на водную по-

стадии. Тем самым имитировался длительный спад

верхность.

ударного импульса в первые несколько микросекунд,

Видеосъемка производилась камерой “Optronis

что позволяло получить отклик (кривая 2) синтези-

CR3000x2” на скорости 10000 к/с пространственным

рованного гидрофона, пригодный для сопоставления

разрешением 0.04 мм.

с выходом (кривая 3) реального гидрофона. По ам-

Ударный импульс измерялся гидрофоном ГИ800

плитудам расчетного ударного импульса p_i, откликов

[26] с цилиндрическим пьезоэлементом диаметром

синтезированного и реального гидрофонов (p_s и p_e)

0.5 см. Глубина установки гидрофона - h = 1.5 см.

вычислялась величина p_m = p_i · p_e/p_s, которой при-

Специальный интерфейс обеспечивал синхрони-

сваивалось значение амплитуды ударного импульса

зацию видеосъемки и акустических измерений, а

на входе реального гидрофона.

также дискретизацию выхода гидрофона с шагом

Из всего экспериментального материала отбира-

0.2 мкс.

лись опыты, в которых дистанция z между дном кап-

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 9 - 10

2020

Ударное акустическое излучение при столкновении капли изменяющейся формы с поверхностью воды 595

ли и его отражением на последнем видеокадре соот-

В отмеченный на рис.4 момент t_b (пересечение

ветствовала условию z_min < z < z_max, где z_max =

кривой r(t) с прямой r = ct) первичная ударная

= 0.4 мм (считалось, что при z > 0.4 мм форма дон-

волна, возникшая при начальном контакте (t = 0),

ного сегмента недостаточно близка к конечной на мо-

настигает расширяющуюся границу капли. С это-

мент столкновения), z_min - минимально различимый

го момента прекращается свободное распростране-

зазор между каплей и отражением - принимался рав-

ние ударной волны и нарушается целостность гра-

ным удвоенному разрешению видеокамеры 0.08 мм.

ницы поверхностного сегмента капли.

При U ≈ 4 м/с расхождение в фиксации момента

У капель с визуально правильной формой

столкновения составляло z/2U = 10-50 мкс.

(рис. 5a, b) отличия в размерах правого и левого

Всего отобрано 47 опытов, из которых 22 - при

двух фиксированных значениях высоты отрыва H =

= 112 и 122 см (по 11 на каждой), и 25 опытов при

изменяющейся высоте H = 96-144 см с шагом 2 см.

В случае, когда форма капли далека от правиль-

ной (рис. 4, вставка 1), профиль y(r) заметно асим-

Рис. 5. Сплюснутая ((а), U = 4.1 м/с) и вытянутая ((b),

U = 3.9м/с) капли непосредственно перед приводне-

нием. H = 122 см. 1 и 2 - соответствующие временные

зависимости ударного давления (c), скорости расши-

рения (d) и радиуса (e) контактного контура, и ctg α

Рис. 4. Горизонтальные размеры контура слева r1 (

)и

(f). Масштаб - двойной логарифмический. Штриховые

справа r2 (•) от точки контакта, вид приводняющейся

вертикали - время завершения сверхзвуковой стадии

капли (вставка 1) и разность δr = r1 - r2 (вставка 2).

tc = 2 (1) и 1.5 (2) нс. Деление на фото 2 мм

Штриховая линия - зависимость r = ct. Деление на

фото - 2 мм. U = 4.2,м/с, H = 102 см

радиусов имеют порядок 10^-5 мкм, что в сравне-

метричен, и при его перемещении со скоростью U

нии с абсолютным размером пренебрежимо мало.

точки его пересечения с поверхностью воды будут

На рисунке 5 у обеих капель конечные скорости

располагаться несимметрично относительно точки

U близки, однако звуковое давление, исходящее

контакта r₀. Однако в наносекундном временном ин-

от сплюснутой капли, примерно в 1.5 раза выше

тервале эта разница весьма незначительна: на рис.4

(рис. 5c). Превышение обеспечено за счет высоких

размеры контура слева и справа от точки контакта -

значений радиуса (рис. 5d) и скорости U_e (рис. 5e)

соответственно, r₁ и r₂ - неразличимы в масштабе

контактного контура, развиваемой благодаря более

графика. Разность δr = |r₂ - r₁| составляет около

пологому углу касания α (рис. 5f). На рисунке 5d

0.1 % от текущего среднего значения r_m = (r₁ + r₂)/2

отмечены моменты t_c окончания сверхзвуковых

и линейно растет со временем (рис. 4, вставка 2), до-

стадий согласно условию U_e

= c. Начиная с t_c,

стигая всего лишь 0.01 мкм за 5 нс.

излучение звука прекращается, горизонтальное

Следовательно, на интервале сверхзвукового рас-

расстояние между первичным фронтом ударной

ширения контактный контур с высокой точностью

волны и границей капли начинает сокращаться,

можно считать окружностью с радиусом r = r_m, а

исчезая при t = t_b (рис. 4).

лежащий под ней участок донного сегмента - поверх-

Во время сверхзвуковой стадии текущий линей-

ностью вращения.

ный размер r и угол α меняются в соответствии

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 9 - 10

2020

2^∗

596

В.Е.Прохоров

с формой поверхностного сегмента, которую кап-

тальных данных p_m от прямой (5) составляет µ =

ля принимает случайным образом от опыта к опы-

= 〈|p_m - p|/p_m〉 = 0.18.

ту. Начальные значения r и ctg α вместе со ско-

Кривая 2 на рис. 6 - амплитуда P_s ударного дав-

ростью столкновения U определяют расчетную (со-

ления, рассчитанная согласно [10] по формуле P_s =

гласно (5)) амплитуду p_i ударного импульса - на-

= ρU²a²b/(2h) для капли в форме правильного сфе-

чальные максимумы кривой p(t) (рис. 3, кривая 1,

роида, где a и b - горизонтальная и вертикальная

рис. 5c). Последовательности форм, реализуемых в

полуоси капли, в качестве которых взяты высота и

серии опытов, соответствует последовательность па-

поперечный размер, взятые из конечного видеокад-

раметра χ = U²r ctg α. Отметим, что значения пере-

ра. Кривая 2 лежит значительно выше прямой 1 и

менных r и α относятся к поверхностному сегменту

реально измеренных данных, и это не только мас-

и не зависят от возможной деформации подводного

штабное отличие - видно, что в поведении экспери-

сегмента. Если в каждом опыте форма поверхност-

ментальных данных и кривой 2 мало подобия.

ного сегмента, зафиксированная на момент столкно-

При постоянной высоте отрыва нестабильность

вения, остается неизменной в течение сверхзвуковой

скорости приводнения обусловлена изменяющейся в

стадии, то экспериментальная зависимость амплиту-

процессе падения формой капли. В опытах с изме-

ды ударного давления от χ в серии опытов должна

няющейся высотой отрыва скорость дополнительно

быть линейной.

меняется за счет гравитационной компоненты: на

На рисунке 6 приведены амплитуды ударного

рис. 7а конечная скорость растет с высотой (кри-

давления, измеренные в повторяющихся опытах при

вая 1, рис.7а), совершая колебания большой (до 25 %

падении капли с двух различных высот. Прямая 1

текущего значения) амплитуды, оставаясь ниже гра-

получена подстановкой в (5) измеренной скорости

витационной кривой

√2gH.

приводнения U и начальных значений r и ctg α =

Однако даже в этом случае экспериментальные

= (dy/dr)^-1, рассчитанных по профилю формы Y .

данные ударного давления укладываются вдоль за-

висимости p(χ) (рис. 7b, прямая 1) при средней ве-

личине отклонения µ = 0.15. Нарастание амплитуды

давления не коррелировано с ростом высоты отрыва

H - как высокие, так и низкие давления распреде-

лены во всем диапазоне высот. Расчет по интеграль-

ным параметрам капли-сфероида [10] дает, как и в

предыдущем опыте (рис. 6), кривую 2 (рис. 7b), рез-

ко отличающуюся по амплитуде и форме от экспери-

ментальной кривой.

В работе предложена и проверена эксперимен-

тально теоретическая формулировка ударного аку-

стического излучения при столкновении капли про-

извольной формы с поверхностью воды. Амплиту-

Рис. 6. Амплитуда pm ударного давления в повторяю-

щихся опытах при фиксированной высоте отрыва кап-

да излучения - функция скорости и параметров

ли в зависимости от χ = U²r ctgα. Эксперимент: H =

формы капли, которые она приобретает к моменту

112 (точки) и 122 (кружки) см. 1 - теория (5), 2 - рас-

столкновения. В контексте сказанного, замена кап-

чет по интегральным параметрам капли-сфероида [10]

ли на твердое тело, форма которого идентична фор-

ме капли, не приведет к изменению ударного излу-

Обе серии экспериментальных точек группиру-

чения. В связи с этим теоретические представления

ются вблизи теоретической зависимости (5), кото-

ударного импульса, в основе которых лежит анало-

рая является линейной функцией аргумента χ =

гия с твердым телом правильной формы формаль-

= U²rctg α.

но не противоречивы, однако непригодны для расче-

Отклонение измеренного давления от прямой 1

тов.

вызвано, предположительно, неточным соответстви-

Эксперименты выполнены на Гидрофизическом

ем зависимости (5) реальным значениям давления.

комплексе для моделирования гидродинамических

Причина - неопределенность момента контакта, из-

процессов в окружающей среде и их воздействия на

за чего фиксируемая форма капли не вполне сов-

подводные технические объекты, а также распро-

падает с действительной формой на момент при-

странения примесей в океане и атмосфере (“ГФК

воднения. Среднее значение отклонения эксперимен-

ИПМех РАН”) [27].

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 9 - 10

2020

Ударное акустическое излучение при столкновении капли изменяющейся формы с поверхностью воды 597

Рис. 7. (а) - Скорость приводнения капли в диапазоне высоты отрыва H = 96-144 см, 1 - измерение по видеокадрам,

2 - U =

√2gH. (b) - Амплитуда ударного импульса в зависимости от χ = U²r ctg α (масштаб - двойной логарифми-

ческий). Точки - эксперимент (числа указывают выборочно высоту H отрыва капли), 1 - теория (5), 2 - расчет Ps по

интегральным параметрам капли-сфероида [10]

Работа выполнена при финансовой поддержке

15.

G. Gillot, C. Derec, J.-M. Génevaux, and L. Benyahia,

Российского научного фонда (проект

19-19-00598

Phys. Fluids 32, 062004 (2020).

“Гидродинамика и энергетика капли и капельных

16.

M. Lee, R. G. Longoria, and D. E. Wilson, J. of Fluid

струй: формирование, движение, распад, взаимодей-

and Structures 11, 819 (1997).

ствие с контактной поверхностью”).

17.

J. E. Field, Phys. Med. Biol. 36 (1), 1475 (1991).

18.

В. Е. Прохоров, Ю. Д. Чашечкин, Изв. РАН. Меха-

ника жидкости и газа 4, 109 (2014).

1. J. Scrimger, Nature 318, 647 (1985).

19.

T. Tran, H. de Maleprade, C. Sun, and D. Lohse,

2. L. Bjorno, J. De Physique IV. Colloque C5, Supplement

J. Fluid Mech. 726, R3-1 (2013).

de J. De Physique 3 4, C5-1023 (1994).

20.

M. H. W. Hendrix, W. Bouwhuis, D. van der Meer,

3. M. Ashokan, G. Latha, and R. Ramesh, Applied

D. Lohse, and J. H. Snoeijer, J. Fluid Mech. 789, 708

Acoustics 88, 114 (2015).

(2016).

4. T. Heindsmann, R. Smith, and Arneson, J. Acoust. Soc.

21.

Ю. Д. Чашечкин, В. Е. Прохоров, ЖЭТФ 149(4), 864

Am. 27, 378 (1955).

(2016).

5. J. A. Nystuen, S. E. Moore, and P. J. Stabeno, J. Acoust.

22.

С. W. Visser, P. E. Frommhold, S. Wildeman, R. Mettin,

Soc. Am. 128(1), 58 (2010).

D. Lohse, and C. Sun, Soft Matter 11, 1708 (2015).

6. С. Г. Цыганков, Г. В. Теверовский, Национальная

23.

P. Morse, Vibration and Sound, McGraw-Hill Book

оборона 6, 64 (2011).

Company Inc., N.Y. (1948).

7. E. R. Gerstein, American Scientist 90, 154 (2002).

24.

R. C. Gonzalez, R. E. Woods, and S. L. Eddins, Digital

8. G. J. Franz, J. Acoust. Soc. Am. 31(8), 1080 (1959).

Image Processing Using MATLAB, Pearson Prentice

9. Y. P. Guo and J. E. Ffowcs Williams, J. Fluid Mech.

Hall, New Jersey (2004).

227, 345 (1991).

25.

P. Soille, Morphological Image Analysis: Principles and

10. M. S. Howe and N. A. Hagen, J. Sound Vib. 330, 625

Applications, Springer-Verlag, Berlin (1999).

(2011).

26.

Гидрофон ГИ800, https://all-pribors.ru/docs/48796-

11. В. Е. Прохоров, ЖЭТФ 153(4), 584 (2018).

11.pdf.

12. A. Prosperetti and H. N. Oguz, Annu. Rev. Fluid Mech.

27.

Гидрофизический комплекс для моделирования гид-

25, 577 (1993).

родинамических процессов в окружающей сре-

13. S. Phillips, A. Agarwal, and P. Jordan, Sci. Rep. 8, 9515

де и их воздействия на подводные техниче-

(2018).

ские объекты, а также распространения приме-

14. В. Е. Прохоров, Ю. Д. Чашечкин, ДАН 443(6), 686

сей в океане и атмосфере (“ГФК ИПМех РАН”).

(2012).

http://www.ipmnet.ru/uniqequip/gfk/.

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 9 - 10

2020