Письма в ЖЭТФ, том 112, вып. 8, с. 554 - 561

Вихревые нити на массивах связанных осцилляторов в режиме

нелинейного резонанса

В.П.Рубан¹⁾

Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН, 142432 Черноголовка, Россия

Поступила в редакцию 16 сентября 2020 г.

После переработки 23 сентября 2020 г.

Принята к публикации 23 сентября 2020 г.

Численное моделирование указывает на возможность долговременного существования вихревых

структур в виде квантованных нитей на массивах связанных слабодиссипативных нелинейных осцилля-

торов в пределах трехмерной конечной области под резонансным внешним воздействием, приложенным

на границе области. Качественно выяснены диапазоны параметров системы и внешнего сигнала, бла-

гоприятные для формирования модуляционно устойчивого квазиоднородного энергетического фона -

решающего фактора для реализации данного явления.

DOI: 10.31857/S1234567820200100

Как известно, квантованные вихри являются ха-

можно было успеть пронаблюдать динамику взаимо-

рактерными для нелинейных комплексных волно-

действующих вихревых структур до того, как систе-

вых полей когерентными структурами - при усло-

ма перейдет в линейный режим.

вии согласования знаков дисперсии и нелинейности

Встает проблема: как ослабить столь непомерное

[1-7]. Например, уравнение Гросса-Питаевского (де-

требование высокой добротности? Возможное ее ре-

фокусирующее нелинейное уравнение Шредингера с

шение - поддерживать энергетический фон систе-

внешним потенциалом) описывает вихри в захвачен-

мы за счет монохроматической по времени накач-

ных Бозе-конденсатах холодных атомов. Эти объек-

ки. Чтобы внешнее воздействие не слишком изме-

ты стали предметом интенсивных исследований (см.,

няло динамические свойства решетки, накачку сле-

в частности, [8-17]).

дует приложить только к тем узлам, которые нахо-

В последние десятилетия в связи с развитием тех-

дятся на границе системы. А чтобы вихрям было

нологии метаматериалов (в широком смысле этого

“выгодно” сформироваться и затем продолжить су-

слова) когерентные структуры изучаются не толь-

ществование внутри массива - начальные фазы вы-

ко в сплошных средах, но и в (квази-) дискретных

нуждающих сигналов сделать плавно меняющимися

системах (дискретные солитоны и бризеры, вихри и

от одного граничного узла к другому. Такой рецепт

вихревые солитоны на решетках; см. [18-30] и ссыл-

полностью оправдал себя в работе [30], где модели-

ки там).

ровались двумерные массивы нелинейных электри-

Надо отметить, что собственно вихри как дально-

ческих колебательных контуров, объединенных ем-

действующие объекты на модуляционно устойчивом

костными связями в единую сеть, как показано на

фоне составили лишь малую долю в этих исследо-

рис. 1. Слабодиссипативные вихревые структуры в

ваниях по сравнению с локализованными структу-

такой модели наблюдались численно в течение мно-

рами, характерными для модуляционно неустойчи-

гих тысяч периодов колебаний. Энергетический фон

вых дискретных систем. В частности, традиционные

при этом был квазиоднородным в пространстве, по-

вихри в рамках дискретного нелинейного уравнения

скольку осцилляторы находились в режиме нелиней-

Шредингера (ДНУШ) рассматривались в работах

ного резонанса (на его верхней ветви), когда ампли-

[24, 27, 28], а вихри на решетках осцилляторов мо-

туда колебаний в большей степени определяется час-

делировались численно в недавних работах [29, 30].

тотой внешнего периодического воздействия, и в зна-

При этом в ходе численных экспериментов вы-

чительно меньшей степени - его амплитудой. Одна-

яснилось, что диссипация должна быть чрезвычай-

ко, благопрятные для вихрей параметрические обла-

но мала (требуемая добротность осцилляторов Q ≳

сти остались неопределенными.

≳ 10⁴), чтобы в автономной дискретной системе

В данной работе делается следующий естествен-

ный и важный шаг в изучении подобных систем -

¹⁾e-mail: ruban@itp.ac.ru

путем массированных численных экспериментов вы-

554

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 7 - 8

2020

Вихревые нити на массивах связанных осцилляторов в режиме нелинейного резонанса

555

ленному из переходов между соседними узлами, мо-

жет относительно небольшими изменениями наби-

рать приращение, кратное 2π, образуя тем самым

дискретный квантованный вихрь. Что характерно,

переменная S при этом не обязана обращаться в ноль

ни на одном из узлов в коре вихря. Таково принципи-

альное отличие дискретных вихрей от непрерывных.

Будет ли система способна поддерживать вихри,

зависит от соотношения знаков g и c_n,n′ . В простей-

шем случае одинаковых взаимодействий между бли-

жайшими соседями на правильной решетке, знаки

должны совпадать. Но одного этого условия оказы-

вается мало, чтобы в системе в течение длительного

времени существовали вихревые структуры. Пред-

Рис. 1. Идеализированная электрическая схема, соот-

ветствующая уравнениям (4)-(5). Показан лишь фраг-

положим, что у нас имеется конечная система, со-

мент полной сети (две ячейки и связь между ними)

ставленная из осцилляторов на кубической решетке

в пределах некоторой трехмерной области D. Пусть

для простоты все ненулевые параметры f_n имеют

ясняются диапазоны параметров, в пределах кото-

одинаковую амплитуду f, но различные фазы ϕ_n.

рых внешнее воздействие приводит к формированию

Даже без учета формы области, набора параметров

устойчивого фона и зарождению вихрей, причем уже

ϕ_n и амплитуды f, мы имеем два существенных ко-

в трехмерном массиве. Надо сказать, что это первые

эффициента: γ/δ и c/δ (коэффициент g/δ в рамках

результаты такого рода. Насколько известно автору,

ДНУШ можно обратить в единицу изменением мас-

ранее о долгоживущих вихревых нитях на решетках

штаба переменной A). Возникающая с течением вре-

осцилляторов в режиме нелинейного резонанса в на-

мени картина в сильной мере зависит от этих чи-

учных публикациях не сообщалось.

сел. Важно еще заметить, что в исходных полностью

Чтобы пояснить суть задачи, удобно сначала рас-

нелинейных уравнениях движения осцилляторов па-

смотреть ДНУШ как более простую модель. Слабо-

раметр δ и аналоги параметров γ и c важны каждый

диссипативное ДНУШ с монохроматической накач-

по отдельности, поскольку там могут иметь место

кой имеет вид (см., например, [31, 32]),

параметрические резонансы, не учитываемые урав-

A_n + γA_n) = (-δ + g|A_n|²)A_n +

нением (1) и разрушающие квазиоднородный энер-

∑

гетический фон. Фактически это нелинейные волно-

c_n,n′ (A_n - A_n′ ) + f_n,

(1)

вые процессы типа p → 2, где p - число распадаю-

n^′

щихся волн с нулевым квазиимпульсом. Появление

таких резонансов при увеличении параметра связи

где A_n(t) - неизвестные комплекснозначные функ-

c и соответствующие неустойчивые моды определя-

ции на узлах n = (n₁, n₂, n₃) трехмерной решетки,

γ - малый темп линейного затухания, δ - отстройка

ются спецификой системы. Например, для схемы на

рис. 1 свойства основных параметрических резонан-

частоты накачки от линейного резонанса, g - нели-

нейный коэффициент, c_n,n′ - (действительная) мат-

сов будут существенно разными в зависимости от ти-

па используемых нелинейных емкостей. Для решет-

рица связей (обычно между ближайшими соседями),

f_n - комплексные амплитуды внешнего воздействия.

ки Клейна-Гордона

∑

Хорошо известно, что имеется родственное отно-

qn + 2γ qn + q + q³ + cn,n′(qn - qn′ ) =

шение между ДНУШ и различными системами свя-

n′

занных нелинейных осцилляторов (см., например,

= Fn cos([1 + δ]t + ϕ_n)

[28, 29]), поскольку многие осцилляторные систе-

мы в слабонелинейном пределе сводятся к ДНУШ

ответ будет отличаться еще сильнее из-за качествен-

для комплексных огибающих A_n(t) канонических

но иного закона дисперсии линейных возмущений.

комплексных переменных a_n

√S_n exp(iΘ_n) =

Понятно, что пройти достаточно подробно диа-

= A_n(t)exp(-i[ω₀ + δ]t), где S_n и Θ_n - переменные

пазоны всех параметров в численных симуляциях -

действие-угол для отдельно взятого осциллятора, а

дело тяжелое. Поэтому на первом этапе исследова-

ω₀ - частота колебаний в пределе малых амплитуд.

ний имеет смысл зафиксировать, например, форму

Фаза Θ при обходе по замкнутому контуру, состав-

области, фазы ϕ_n и отстройку частоты δ. Остают-

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 7 - 8

2020

556

В.П.Рубан

ся параметры γ, c и f. Для каждого из них следует

Запасенная электростатическая энергия на кон-

взять несколько значений. Таким образом, для полу-

денсаторе (дополнительная по сравнению с состоя-

∫Vn

чения более-менее ясной картины необходимо про-

нием V_n = 0) есть W (V_n) =

C(u)udu.

вести несколько десятков численных экспериментов.

Диссипативные элементы схемы - малое актив-

√

Собственно говоря, такая работа и была проделана

ное сопротивление катушки R_L ≪

L/C₀, а также

автором, но не в рамках ДНУШ, а в рамках электри-

большое сопротивление утечки конденсатора R_C ≫

√

ческой модели, представленной на рис. 1. Тем самым

≫

L/C₀. Безразмерный коэффициент затухания

данное исследование находится в русле моделирова-

(

√

)

ния базовых нелинейных явлений на примере элек-

= R_L

C₀/L + R^-1C

L/C₀

/2 = (γ_L + γ_C)/2.

ω₀

трических сетей [33-46]. Но представленные здесь ка-

чественные результаты выходят за рамки конкрет-

Кроме того, к тем осцилляторам, которые располо-

ной модели, поскольку аналогичные вихревые струк-

жены на границе области, подведено переменное по

туры были отмечены автором и на решетке Клейна-

времени напряжение E_n(t). Соответствующая систе-

Гордона.

ма уравнений движения имеет вид

Итак, рассмотрим электрическую схему, состав-

∑

ленную из нелинейных колебательных контуров с

C(V_n)

V_n +

C_n,n′ (

V_n -

Vn′ ) + V_n/R_C = I_n,

(4)

емкостными связями между ними, как показано на

n^′

рис. 1. Связь между этой схемой и уравнением (1) об-

In + Vn + RLIn = En(t) = Fn cos([ω0 + δ]t + ϕn). (5)

суждалась в недавней работе автора [29]. Состояние

системы описывается напряжениями V_n(t), а также

В отсутствие связей и диссипации каждый осцилля-

токами I_n(t) через катушки индуктивности L. Нели-

тор обладал бы законом cохранения энергии ε_n =

нейными элементами здесь являются емкости C(V_n).

= LI²ⁿ/2 + W(V_n).

В данной работе использовались два типа функци-

При вычислениях использовались обезразмерен-

ональной зависимости емкости от напряжения. Пер-

ные переменные, соответствующие значениям L = 1,

вая имеет вид

C₀ = 1, V_∗ = 1. Частота малых колебаний при этом

ω₀ = 1, а их период T₀ = 2π. Уравнения (4) разреша-

C(V_n) = C₀(1 + V²ⁿ/V^2∗),

(2)

лись относительно

V_n подходящей итеративной про-

цедурой, а продвижение по времени осуществлялось

с некоторым параметром V_∗. Такая симметричная за-

по методу Рунге-Кутта 4-го порядка.

висимость характерна для конденсаторов с диэлек-

В качестве области D была выбрана полость эл-

трическими пленками [47, 48]. Другая зависимость

липсоида x² + y² + 2.5z² < 3, причем шаг кубической

свойственна варакторным диодам, которые (при на-

решетки h = 0.06 либо h = 0.04 определял общее ко-

личии обратного напряжения смещения V_b и в парал-

личество степеней свободы системы. Сигнал накачки

лельном соединении с обычным конденсатором) при-

подавался на те узлы решетки, которые попадают в

ближенно описываются подгоночной формулой (см.,

тонкую оболочку 0 < (3-x² -y² -2.5z²) < 2h. Фазы

например, [49])

накачки при этом определялись простой зависимо-

[

]

C(V_n) = C₀ µ + (1 - µ)/(1 + V_n/V_∗)ν ,

(3)

стью ϕn1,n2,n3 = -3.0πhn3 = -3.0πzn.

Диссипативные параметры γ_L и γ_C для простоты

где 0 < µ < 1 учитывает параллельно подключенный

брались равными, с произвольно наложенным усло-

простой конденсатор, а подгоночный параметр дио-

вием γ ≥ 0.001, что соответствует ослабленному тре-

да ν зависит от технологии изготовления и обычно

бованию по добротности в сравнении со свободно за-

лежит в диапазоне 0.3 ≲ ν ≲ 6.0. Конкретно здесь

тухающим режимом, рассмотренным в работе [29].

брались значения µ = 0.5, ν = 2.

Отстройка частоты внешнего сигнала была фик-

Разумеется, формулы (2) и (3), да и саму схему на

сирована значением δ = -0.1 при использовании

рис. 1 не следует воспринимать слишком буквально,

формулы (3). Знак отстройки отрицателен в соот-

поскольку трехмерный массив должен содержать на-

ветствии с отрицательностью нелинейного коэффи-

столько большое число узлов, что вряд ли он может

циента и констант связи c_n,n′ = -C_n,n′ /C₀ (см. по-

быть собран из обычных радиотехнических элемен-

дробности в [29, 30]). Для краткости мы далее под

тов. Это было бы слишком громоздко и дорого. Ско-

символом c будем иметь в виду положительную ве-

рее можно думать о некой миниатюрной трехмерной

личину C_n,n′ /C₀.

структуре с электрическими свойствам, близкими к

Здесь важно сказать, что, в отличие от систем

нашей идеализированной схеме.

с нелинейностью (3), где распады 1 → 2 заведомо

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 7 - 8

2020

Вихревые нити на массивах связанных осцилляторов в режиме нелинейного резонанса

557

идут при c > 1/4 в пределе слабого энергетическо-

го фона, а в существенно нелинейном режиме и при

меньших значениях c, использование симметричной

зависимости (2) приводит к отсутствию трехволно-

вых взаимодействий. Поэтому допустимы увеличен-

ные значения параметров. Например, бралась кон-

станта связи вплоть до c = 2, отстройка вплоть до

δ = -0.32, затухание вплоть до γ = 0.01. И даже

при таком относительно сильном затухании в ряде

случаев наблюдались вихревые нити.

В качестве начального бралось слегка возмущен-

ное квазиоднородное состояние. Система его “забы-

вала” через несколько сотен периодов. В течение это-

го времени (при “благоприятных” наборах парамет-

ров) на границе области зарождались вихревые нити,

часто в форме колец, которые затем перемещались в

объем и там взаимодействовали между собой. Нити в

большей или меньшей степени деформировались, их

симметрия обычно нарушалась и возникали струк-

туры с различной геометрией. Разумеется, картина

при этом не была стационарной, поскольку вблизи

оси эллипсоида вихри перемещались главным обра-

зом вниз, а на периферии - вверх. Но характерные

статистические свойства вихрей в большинстве слу-

чаев оказывались достаточно определенными и су-

щественно зависящими от параметров.

Примеры наиболее типичных вихревых структур

представлены на рис. 2-6. Общими для всех этих

рисунков являются формула (3), а также значения

параметров h = 0.06 и δ = -0.1. Различающиеся

параметры указаны в подписях к рисункам. Для до-

статочно полной визуализации мгновенного вихрево-

го состояния обычно использованы три картинки. На

одной показан энергетический профиль в сечении эл-

липсоида плоскостью y = 0. На другой картинке по-

казаны величины Φ_n = arctg(I_n/V_n), которые в каче-

ственном отношении подобны каноническим фазам

Θ_n. На третьей картинке показана форма вихревых

нитей в проекции на плоскость (x, y), причем цветом

отмечена соответствующая z-координата.

На рисунке 2 мы видим достаточно развитую и

Рис. 2. (Цветной онлайн) Вихревая конфигурация, об-

не вполне упорядоченную вихревую структуру, ин-

разовавшаяся в момент времени t = 1700T0 при значе-

тенсивно взаимодействующую с границей. Такие по-

ниях параметров γL = γC = 0.01, c = 0.1, F = 0.06.

лучаются при не слишком больших амплитудах на-

Каждый цветной квадратик-“пиксель” соответствует

качки (в данном случае это F = 0.06). При еще мень-

отдельному осциллятору на кубической решетке. По-

казаны: (a) - энергии осцилляторов в слое y = 0; (b) -

ших амплитудах требуемый энергетический фон во-

их фазы в слое y = 0; (c) - проекция вихревых ни-

обще не формируется (как, например, при F = 0.04;

тей на плоскость (x, y), причем цветом здесь указана

на рисунках не представлено).

z-координата тех узлов решетки, в которых ε < 0.125

При усилении накачки до F = 0.12 наблюдается

более “строгая” и “спокойная” конфигурация из трех

близко расположенных вихревых колец, как показа-

находятся в режиме “чехарды” (leapfrogging). Надо

но на рис. 3. Кольца значительно деформированы и

отметить, что при некоторых других наборах пара-

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 7 - 8

2020

558

В.П.Рубан

Рис. 4. (Цветной онлайн) Энергии осцилляторов в слое

y = 0 при различных значениях констант связи: (a) -

Рис. 3. (Цветной онлайн) Вихревая структура из трех

c = 0.02; (b) - c = 0.03; (c) - c = 0.06; (d) - c = 0.12.

колец, сформировавшаяся при значениях параметров

Остальные параметры: γL = γC = 0.01, F

= 0.12.

γL = γC = 0.01, c = 0.1, F = 0.12. Показаны: (a) -

При слишком малых c фон не получается квазиодно-

энергетический профиль в слое y = 0; (b) - фазы ос-

родным. В случае (b) вихри настолько тонкие, что их

цилляторов в слое y = 0; (c) - (x,y)-проекция вихревых

присутствие почти не заметно. Эти рисунки следует

нитей

сравнить с рис. 3a

метров наблюдались аналогичные структуры из че-

но два либо три сильно деформированных и подвиж-

тырех колец.

ных кольца на достаточном удалении друг от друга.

При увеличении F до значения 0.16 (этот случай

При F = 0.20 (этот случай также не представлен

не проиллюстрирован) мы наблюдали бы поперемен- на рисунках) результатом были бы два тесно распо-

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 7 - 8

2020

Вихревые нити на массивах связанных осцилляторов в режиме нелинейного резонанса

559

Рис. 6. (Цветной онлайн Когерентная диссипативная

структура, образовавшаяся при значениях параметров

γL = γC = 0.006, c = 0.1, F = 0.20: (a) - энергии ос-

цилляторов в слое y = 0; (b) - их фазы в слое y = 0. В

данном примере структура состоит из вихрей в комби-

нации с темными солитонами

с учетом диссипации “заполнить” ею всю область. За-

полнение происходит только в некотором, довольно

четко выраженном слое вблизи границы, а централь-

ная часть оказывается в режиме дефицита энергии.

Надо сказать, что толщина указанного слоя при за-

данном c зависит в основном от диссипативного па-

Рис. 5. (Цветной онлайн) Вихревая конфигурация, об-

раметра γ и в малой мере - от амплитуды накач-

разовавшаяся при значениях параметров γL = γC =

ки. Уже небольшого увеличения c оказывается доста-

= 0.002, c = 0.1, F = 0.20: (a) - энергии осцилляторов

точно, чтобы сформировать квазиоднородный фон

в слое y = 0; (b) - их фазы в слое y = 0; (c) - (x, y)-

(см. рис. 4b). Вихри при этом оказываютя “сверхдис-

проекция вихревых нитей. Видны небольшие вихревые

кретными”, так как существенного понижения энер-

колечки на периферии

гии осцилляторов вблизи оси вихря практически не

происходит. Дальнейшее усиление связей делает яд-

ложенных кольца, в целом похожих на кольца при

ра вихрей все заметнее и толще, как это видно из

F = 0.12. Дальнейшее усиление накачки начинает

рис. 4c и d, пока при c ≈ 0.14 фон не начинает пор-

портить фон (также не проиллюстрировано).

титься (не показано) за счет ранее упоминавшихся

Рисунок 4 дает представление о том, как измене-

параметрических процессов 1 → 2.

ние параметра c влияет на вихревые структуры. Из

Наконец, рисунки 5 и 6 демонстрируют, что про-

рисунка 4a видно, что слишком слабые связи не спо-

исходит с вихрями при увеличении темпа диссипа-

собны передавать достаточный поток энергии, чтобы

ции. Так, при увеличении γ вдвое по сравнению с

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 7 - 8

2020

560

В.П.Рубан

рис. 2-4, появляется новая черта в динамике - на

18.

B. A. Malomed and P. G. Kevrekidis, Phys. Rev. E 64,

периферии системы в объеме рождаются маленькие

026601 (2001).

вихревые колечки (см. рис. 5c), которые затем дрей-

19.

P. G. Kevrekidis, B. A. Malomed, and Yu. B. Gaididei,

фуют по направлению к оси и там присоединяются

Phys. Rev. E 66, 016609 (2002).

к диссипируемой основной структуре.

20.

P. G. Kevrekidis, B. A. Malomed, D. J. Frantzeskakis,

Увеличение γ до значения 0.06 кардинально ме-

and R. Carretero-Gonzalez, Phys. Rev. Lett. 93, 080403

(2004).

няет всю картину, как показано на рис. 6. Вместо

21.

P. G. Kevrekidis, B. A. Malomed, Zh. Chen, and

вихревых нитей мы имеем здесь почти стационарную

D. J. Frantzeskakis, Phys. Rev. E 70, 056612 (2004).

комбинированную структуру, в которой присутству-

22.

D. E.

Pelinovsky,

P. G.

Kevrekidis,

and

ют темные солитоны. Энергетический фон в целом

D. J. Frantzeskakis, Physica D 212, 20 (2005).

понижен и далек от однородного. Дальнейшее уси-

23.

F. Lederer, G. I. Stegeman, D. N. Christodoulides,

ление диссипации разрушает его полностью.

G. Assanto, M. Segev, and Ya. Silberberg, Phys. Rep.

Таким образом, в данной работе показан новый

463, 1 (2008).

режим существования квантованных вихревых ни-

24.

J. Cuevas, G. James, P. G. Kevrekidis, and K. J. H. Law,

тей в слабодиссипативных дискретных системах. Вы-

Physica D 238, 1422 (2009).

яснены сценарии, по которым этот режим нарушает-

25.

Ya. V. Kartashov, B. A. Malomed, and L. Torner, Rev.

ся при изменении основных параметров системы.

Mod. Phys. 83, 247 (2011).

26.

M. Lapine, I. V. Shadrivov, and Yu. S. Kivshar, Rev.

Mod. Phys. 86, 1093 (2014).

L. M. Pismen, Vortices in Nonlinear Fields, Clarendon,

27.

J. J. Bramburger, J. Cuevas-Maraver, and P. G. Kevre-

Oxford (1999).

kidis, Nonlinearity 33, 2159 (2020).

C. J. Pethick and H. Smith, Bose-Einstein Condensation

28.

V. P. Ruban, Phys. Rev. E 100, 012205 (2019).

in Dilute Gases, Cambridge University Press,

Cambridge (2002).

29.

V. P. Ruban, Phys. Rev. E 102, 012204 (2020).

L. P. Pitaevskii and S. Stringari, Bose-Einstein

30.

В. П. Рубан, Письма в ЖЭТФ 111, 455 (2020).

Condensation, Oxford University Press, Oxford (2003).

31.

I. V. Shadrivov, A. A. Zharov, N.A. Zharova, and

P. G. Kevrekidis, D. J. Frantzeskakis, and R. Carretero-

Yu. S. Kivshar, Photonics Nanostructures: Fundam.

González, The Defocusing Nonlinear Schrödinger

Appl. 4, 69 (2006).

Equation: From Dark Solitons and Vortices to Vortex

32.

Н. Н. Розанов, Н. В. Высотина, А.Н. Шацев,

Rings, SIAM, Philadelphia (2015).

И. В. Шадривов, Ю. С. Кившарь, Письма в ЖЭТФ

B. Y. Rubinstein and L. M. Pismen, Physica D 78, 1

93, 826 (2011).

(1994).

33.

R. Hirota and K. Suzuki, J. Phys. Soc. Jpn. 28, 1366

A.A. Svidzinsky and A.L. Fetter, Phys. Rev. A 62,

(1970).

063617 (2000).

34.

R. Hirota and K. Suzuki, Proc. IEEE 61, 1483 (1973).

A.L. Fetter, Rev. Mod. Phys. 81, 647 (2009).

35.

A. C. Hicks, A.K. Common, and M. I. Sobhy, Physica D

V.P. Ruban, Phys. Rev. E 64, 036305 (2001).

95, 167 (1996).

J. Garcia-Ripoll and V. Perez-Garcia, Phys. Rev. A 64,

36.

A. C. Singer and A. V. Oppenheim, International

053611 (2001).

Journal of Bifurcation and Chaos 9(4), 571 (1999).

10.

P. Rosenbusch, V. Bretin, and J. Dalibard, Phys. Rev.

37.

D. Cai, N. Gronbech-Jensen, A.R. Bishop,

Lett. 89, 200403 (2002).

A. T. Findikoglu, and D. Reagor, Physica D

123,

11.

A. Aftalion and I. Danaila, Phys. Rev. A 68, 023603

291 (1998).

(2003).

38.

T. Kofane, B. Michaux, and M. Remoissenet, J. Phys.

12.

T.-L. Horng, S.-C. Gou, and T.-C. Lin, Phys. Rev. A

C: Solid State Phys. 21, 1395 (1988).

74, 041603(R) (2006).

39.

P. Marquie, J. M. Bilbault, and M. Remoissenet, Phys.

13.

В. А. Миронов, Л. А. Смирнов, Письма в ЖЭТФ 95,

Rev. E 49, 828 (1994).

627 (2012).

40.

P. Marquie, J. M. Bilbault, and M. Remoissenet, Phys.

14.

S. Serafini, L. Galantucci, E. Iseni, T. Bienaime,

Rev. E 51, 6127 (1995).

R.N. Bisset, C. F. Barenghi, F. Dalfovo, G. Lamporesi,

41.

V. A. Makarov, E. del Rio, W. Ebeling, and

and G. Ferrari, Phys. Rev. X 7, 021031 (2017).

M. G. Velarde, Phys. Rev. E 64, 036601 (2001).

15.

C. Ticknor, W. Wang, and P. G. Kevrekidis, Phys. Rev.

42.

D. Yemele, P. Marquie, and J. M. Bilbault, Phys. Rev.

A 98, 033609 (2018).

E 68, 016605 (2003).

16.

В. П. Рубан, Письма в ЖЭТФ 108, 638 (2018).

43.

L. Q.

English,

Palmero, A. J.

Sievers,

17.

C. Ticknor, V. P. Ruban, and P. G. Kevrekidis, Phys.

P. G. Kevrekidis, and D. H. Barnak, Phys. Rev. E

Rev. A 99, 063604 (2019).

81, 046605 (2010).

Письма в ЖЭТФ том 112 вып. 7 - 8

2020