Письма в ЖЭТФ, том 110, вып. 9, с. 607 - 613

Сложная динамика каскада кинк-антикинковых взаимодействий

в линейном дефекте электроконвективной структуры нематика

В.А.Делев⁺¹⁾, В.Н.Назаров^+∗, О.А.Скалдин⁺, Э.С.Батыршин^×, Е.Г.Екомасов^◦∇×

⁺Институт физики молекул и кристаллов - обособленное структурное подразделение Федерального государственного

бюджетного научного учреждения Уфимского федерального исследовательского центра РАН, 450075 Уфа, Россия

^∗Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

“Башкирский государственный медицинский университет”, 450008 Уфа, Россия

^×Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

“Башкирский государственный университет”, 450076 Уфа, Россия

^◦Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

“Тюменский государственный университет”, 625003 Тюмень, Россия

^∇Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования “Южно-Уральский

государственный университет (национальный исследовательский университет)”, 454080 Челябинск, Россия

Поступила в редакцию 8 июля 2019 г.

После переработки 7 октября 2019 г.

Принята к публикации 8 октября 2019 г.

Изучена сложная динамика ансамбля дислокаций в линейном дефекте, возникающем в одномерной

электроконвективной структуре закрученного на π/2 нематического жидкого кристалла. Исследуемый

тип дефектов характеризуется достаточно протяженным полем деформации или степенью “диссоци-

ации”. Гидродинамические потоки в доменах закрученного нематика наряду с тангенциальной ком-

понентой скорости имеют и аксиальную составляющую, направление которой противоположно в со-

седних доменах. Под воздействием приложенного напряжения линейный дефект с топологическим за-

рядом S = -1 начинает осциллировать и распадается на нечетное число дислокаций, так что сум-

марный топологический заряд сохраняется. Дальнейшая динамика дислокаций в ядре дефекта уста-

навливается таким образом, чтобы обеспечивалась непрерывность потока анизотропной жидкости в

доменах. Пространственно-временная динамика каскада взаимодействующих дислокаций качественно

хорошо описывается мультикинковым решением уравнения синус-Гордона. Показана принципиальная

возможность создания новых модельных объектов с заданным числом взаимодействующих дислокаций.

DOI: 10.1134/S0370274X19210070

Переход от упорядоченного состояния к

Для того, чтобы понять сложную динамику ан-

пространственно-временному хаосу в неравно-

самбля взаимодействующих дислокаций, необходи-

весных системах часто сопровождается появлением

мо сначала исследовать свойства и поведение от-

дефектов [1, 2]. Несмотря на существенные раз-

дельных дефектов. Однако экспериментально полу-

личия в физических свойствах систем (конвекция

чить отдельные дефекты и исследовать их свойства

Бенара-Марангони, течение Куэтта-Тэйлора, элек-

в изотропных жидкостях представляется достаточ-

троконвекция в жидких кристаллах и др.), динамика

но сложной задачей. Подходящей модельной систе-

топологических дефектов, которые являются анало-

мой может служить электроконвекция в нематиче-

гом краевых дислокаций в кристаллах, имеет много

ском жидком кристалле (НЖК), так как наличие

общего. В частности, показано, что при превышении

в нем осевой анизотропии, характеризуемой единич-

надкритичности количество дефектов увеличи-

ным вектором - директором n, позволяет достичь

вается, дефекты могут образовывать связанные

этого [4-6].

состояния, доменные стенки и т.д.

[3]. Поэтому

Дефекты в жидких кристаллах при определен-

изучение динамических характеристик дефектов,

ных условиях могут возникать как на микроскопи-

их роли в возникновении турбулентности в неравно-

ческом (молекулярном), так и на макроскопическом

весных системах является одной из важных задач

(период структуры) масштабе. Их топологические

физики конденсированного состояния.

(статические) свойства очень похожи и подробно изу-

чены [7-11], тогда как динамические характеристики

¹⁾e-mail: delev@anrb.ru

остаются мало исследованными. Имеющиеся работы

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 9 - 10

2019

607

608

В.А.Делев, В.Н.Назаров, О.А.Скалдин, Э.С.Батыршин, Е.Г.Екомасов

в основном посвящены дефектам электроконвектив-

ры [18, 20]. При быстром включении напряжения в

ных структур в НЖК с планарной ориентацией по-

квазистационарных линейных образованиях вначале

ля директора n [12-17]. Результаты этих работ сви-

возникают доменные zig-zag осцилляции и уже затем

детельствуют о важной роли дефектов при услож-

появляются дислокации, которые разделяют между

нении пространственно-временной динамики элек-

собой zig и zag области.

троконвективных структур и в процессах их турбу-

В зависимости от длины и типа локализованных

лизации с увеличением приложенного напряжения.

образований в них наблюдается различная динами-

Установлено, что наиболее общими механизмами при

ка дислокаций. В частности, в линии скачка фазы

формировании двумерных решеток являются про-

длиной L = 8λ, где λ - поперечный размер доме-

цессы рождения и аннигиляции дислокаций. Поведе-

на, наблюдается периодическое рождение и анниги-

ние дислокаций в приближении слабой надкритич-

ляция двух дислокаций c топологическими заряда-

ности хорошо описывается уравнением Гинзбурга-

ми S = ±1 [22]. В другом случае, когда длина ли-

Ландау [15-17].

нии составляет L = 14λ, после возникновения в ней

Как показано в [17], при определенной скорости

осцилляций, генерация дипольной пары дислокаций

увеличения приложенного напряжения дислокации

наблюдается на одном краю линии, а их аннигиля-

могут образовывать в пространстве новое локализо-

ция на другом. Такая осцилляционная динамика дис-

ванное квазистационарное состояние с более низкой

локаций качественно хорошо описывается решением

симметрией. Как правило, такое состояние зарож-

уравнения синус-Гордона (УСГ) в виде локализован-

дается вблизи ядра дислокации и распространяется

ного бризера [23].

вдоль линии, нормальной к доменам Вильямса. Воз-

Однако ситуация существенным образом меняет-

никающий линейный дефект с диссоциированным

ся, если экспериментально реализовать линейный де-

(“размытым”) ядром имеет такой же топологический

фект с достаточно протяженным полем деформации.

заряд, как и исходная дислокация. Кроме того, лока-

С одной стороны, здесь можно говорить о квазисво-

лизованное состояние может возникать спонтанно в

бодном характере движения дислокаций и, соответ-

результате развития модуляционной неустойчивости

ственно, в модельных представлениях - топологиче-

как простой сдвиг доменов вдоль линий (нормаль-

ских солитонов. С другой стороны, возникает вопрос

ных доменам Вильямса) на половину пространствен-

о характере и типе их взаимодействия. Так, в [24] по-

ного периода π без образования дислокаций. Поэто-

казано, что столкновение дислокаций в протяженном

му такое искажение доменной структуры не является

дефекте можно рассматривать как связанное состо-

дефектом в топологическом смысле и получило на-

яние кинка и антикинка УСГ.

звание линии скачка фазы [17].

В настоящей работе анализируется более сложное

В электроконвективных структурах НЖК с пла-

движение и взаимодействие дислокаций, когда ди-

нарной ориентацией директора n указанные ти-

польные пары дислокаций периодически рождаются

пы линейных образований теряют устойчивость при

на обоих краях протяженного дефекта электрокон-

быстром изменении приложенного напряжения [17].

вективной структуры НЖК с исходной закрученной

При этом линейные дефекты распадаются на нечет-

на π/2 ориентацией поля директора n.

ное число (не менее трех) дислокаций, а линии скач-

В качестве НЖК использовался 4-n-метоксибен-

ка фазы - на четное число (не менее двух) дислока-

зилиден-n-бутила нилин (МББА), который помещал-

ций с противоположными топологическими заряда-

ся в ЖК-ячейку между двумя стеклянными под-

ми S = ±1. В обоих случаях суммарный топологиче-

ложками с проводящим покрытием из SnO₂. Поверх-

ский заряд сохраняется.

ность подложек с электродами покрывалась слоем

Подобные линейные локализованные дефомации

ориентанта полиимида AL1254 (JSR Corp., Japan),

наблюдаются и в электроконвективных структурах

который затем натирался в одном направлении для

закрученных НЖК [18-21]. Однако из-за особенно-

создания однородной планарной ориентации дирек-

стей гидродинамики течений, которые будут рас-

тора n. Толщина ЖК-ячейки размером 16 × 12 мм

смотрены ниже, они являются достаточно устойчи-

задавалась майларовыми прокладками d ≃ 20 мкм.

выми образованиями. При медленном увеличении

После ее заполнения нематиком и формирования од-

приложенного напряжения их длина L увеличивает-

нородной планарной ориентации верхняя подложка

ся и может достигать размеров ЖК-образца. В этом

медленно поворачивалась относительно нижней по

случае суперпозиция доменов Вильямса и нормаль-

часовой стрелке на угол π/2, так что во всем слое

ных к ним линейных образований приводит к фор-

НЖК возникала однородно закрученная ориентация

мированию квазистационарной двумерной структу-

директора n. К ЖК-слою прикладывалось перемен-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 9 - 10

2019

Сложная динамика каскада кинк-антикинковых взаимодействий в линейном дефекте

609

ное напряжение U с частотой f_U = 30 Гц. Порого-

ную составляющую v_a, направление которой проти-

вое напряжение возникновения доменов Вильямса

воположно в соседних доменах [25]. Поэтому поток

составляло U_c = 5.6 В. При этом их ось ориентиро-

анизотропной жидкости в доменах приобретает ге-

вана перпендикулярно директору n в середине слоя

ликоидальный характер, а пространственный пери-

НЖК и составляет углы -45^◦ и 45^◦, соответственно,

од структуры определяется как T = 2λ. Наблюде-

с ориентацией директора на верхней и нижней под-

ния за пробными частицами показали, что непрерыв-

ложках. Направления гидродинамических потоков

ность потоков в дефекте обеспечивается как замыка-

в доменах определялись путем анализа движений

нием сонаправленных аксиальных компонент скоро-

пробных частиц диаметром 2÷3 мкм, добавленных в

сти v_a через ядро, так и их замыканием с противопо-

НЖК. Доменные структуры и их дефекты наблюда-

ложно направленными потоками в соседних доменах

лись в поляризационный микроскоп Axiolab (Zeiss,

(рис. 1). При напряжениях U ≲ 7.4 В потоки конвек-

Germany), а их изображения регистрировались ви-

тивного течения в доменах являются стационарны-

деокамерой VX44 (PCO Inc., Germany) с разрешени-

ми.

ем 720 × 576 пикселей и оцифровывались внешней

С увеличением приложенного напряжения обе

платой Pinnacle 700-USB (USA).

компоненты скорости потока анизотропной жидко-

Доменами одномерной электроконвективной

сти в доменах v_t и v_a возрастают и при U > 7.4 В

структуры в НЖК являются цилиндрические вих-

линейный дефект теряет устойчивость. Однако в от-

ревые образования - валы (или роллы), аналогичные

личие от планарно ориентированного НЖК [17] ядро

тем, что образуются в изотропной термоконвекции.

дефекта не распадается на отдельные дислокации, а

Дефект с топологическим зарядом S = ±1 (дислока-

сначала начинает осциллировать. При этом наблюда-

ция) соответствует скачку фазы на ±2π в структуре

ется поочередное (периодическое по времени) переза-

доменов Вильямса, т.е. его сингулярность определя-

мыкание доменов с сонаправленными потоками ани-

ется лишним (или недостающим) пространственным

зотропной жидкости то влево (zig), то вправо (zag)

периодом при обходе замкнутого контура вокруг его

и движение жидкости в ядре дефекта приобретает

ядра [12].

пульсирующий характер. Затем происходит распад

Рассмотрим структуру линейного дефекта с дис-

ядра дефекта на zig и zag области, осциллирующие

социированным ядром в доменной структуре закру-

в противофазе. Одновременно между границами zig

ченного НЖК с учетом особенностей гидродинами-

и zag областей возникают дислокации с топологиче-

ки течений (рис. 1). В отличие от планарно ориенти-

скими зарядами S = ±1 (рис. 2).

Рис. 1. Изображение линейного дефекта с диссоции-

рованным ядром в доменной структуре закрученного

НЖК при U = 6.5 В и f = 30 Гц. Стрелками показа-

Рис. 2. Изображение доменной структуры с протяжен-

ны направления аксиальных компонент скорости кон-

ным осциллирующим дефектом в закрученном НЖК

вективных потоков va в доменах вблизи ядра дефекта.

при U = 7.6 В и f = 30 Гц. Масштаб 100 мкм

Тонкими пунктирными линиями - перераспределение

потоков в ядре дефекта. Светлые оптические линии

соответствуют центрам доменов, вокруг которых на-

Дальнейшая динамика дислокаций устанавлива-

блюдалось геликоидальное движение частиц. Масштаб

ется таким образом, чтобы в ядре нестационарно-

100 мкм

го дефекта обеспечивалась непрерывность геликои-

дального потока анизотропной жидкости. Посколь-

рованного НЖК, конвективные потоки в доменной

ку длина дефекта L, а, следовательно, и число дис-

структуре закрученного НЖК наряду с тангенци-

локаций зависят от приложенного напряжения, то

альной компонентой скорости v_t имеют и аксиаль-

существует принципиальная возможность экспери-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 9 - 10

2019

610

В.А.Делев, В.Н.Назаров, О.А.Скалдин, Э.С.Батыршин, Е.Г.Екомасов

Рис. 3. Динамика каскада взаимодействующих дислокаций с S = ±1 в линейном дефекте при U = 7.6 В в течение

одного осцилляционного периода T = 1.2 c. (a)-(f) - Исходное изображение линейного дефекта, демодулированное

полутоновое изображение разности амплитуд наклонных доменов; график разности амплитуд Azig(x, t) - Azag(x, t).

Δt = 0.24 c, масштаб 100 мкм

ментальной реализации протяженного дефекта с за-

В итоге формируется изображение в виде темных и

данным числом взаимодействующих дислокаций. Та-

светлых полос (рис.2).

ким образом, протяженный осциллирующий дефект

Таким образом, распределение интенсивности

можно рассматривать в качестве одномерного мо-

I(x, y) в исходном изображении структуры имеет

дельного объекта для изучения движения и взаимо-

явно выраженную пространственную периодич-

действия дислокаций.

ность в плоскости ЖК-образца x-y. Вертикальные

Изображения электроконвективных структур в

полосы соответствуют стационарным доменам, а

НЖК представляют собой пространственно перио-

протяженный дефект представляется горизонталь-

дические модуляции интенсивности прошедшего че-

ной полосой, образованной наклонными доменами

рез ячейку с НЖК света. Эти модуляции соответ-

zig и zag типа. Поскольку волновые векторы верти-

ствуют локальным изменениям оптической анизо-

кальных и наклонных доменов явно различаются,

тропии 〈Δn(t)〉 под действием внешнего электриче-

то, используя двумерное преобразование Фурье,

ского поля. В пороге электроконвекции в слое НЖК

можно достаточно легко разделить их вклад в ре-

возбуждаются гидродинамические вихревые движе-

зультирующее полутоновое изображение структуры.

ния в виде валов (или роллов). Вихревое движение

На этом принципе основана техника амплитудной

ориентирует НЖК особенно сильно в области макси-

демодуляции [27], которая позволяет из исходного

мального градиента скорости, т.е. в центре вихрей. В

изображения периодической структуры I(x, y) по-

результате цилиндрические вихри играют роль линз,

лучить пространственное распределение амплитуды

фокусирующих свет в светлые линии - домены [26].

этой периодичности. Амплитуда будет характе-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 9 - 10

2019

Сложная динамика каскада кинк-антикинковых взаимодействий в линейном дефекте

611

ризовать размах интенсивности между темной и

оставшейся справа с S = -1 (рис.3e). После их ан-

светлой полосами в изображении. Равенство нулю

нигиляции в той же точке x ≃ 440 мкм остается одна

амплитуды указывает на отсутствие периодической

дислокация с зарядом S = -1 (рис. 3f) и процесс по-

структуры. В данном случае нас интересуют ам-

вторяется снова.

плитуды наклонных zig и zag доменов A_zig(x, y)

Попытаемся теперь качественно описать наблю-

и A_zag(x,y) в ядре дефекта (рис.2). После после-

даемый динамический процесс в рамках модели

довательной демодуляции каждого изображения

синус-Гордона [28]. Поскольку размер элементарной

видеоряда I(x, y, t) (рис. 3a - верхняя часть рисунка)

ячейки электроконвективной структуры в закручен-

были получены пространственно-временные зависи-

ном на π/2 НЖК определяется как T = 2λ, что свя-

мости разности амплитуд A_zig(x, y, t) и A_zag(x, y, t)

зано с антипараллельностью аксиальных компонент

в виде полутоновых изображений (рис.3a - средняя

скорости потока в соседних доменах, то в качестве

часть рисунка). При этом zig-моде (наклон доменов

узла доменной решетки будем рассматривать центр

влево) соответствует светлая область, а zag-моде

“двойного домена” вдоль направления x. Тогда, как

(наклон доменов вправо) - темная. Границы перехо-

показано в [21, 22], уравнение движения после пере-

да светлой области в темную (или темной в светлую)

хода к континуальному приближению имеет вид:

в демодулированном изображении указывают на

∂²η

локализацию дислокаций с S = -1 (или S = +1).

+ β sinη = 0,

(1)

∂τ²

∂ξ²

Затем проводилось усреднение разности амплитуд

по y в области ядра дефекта. Полученные графики

где η

= πu/λ - нормированная функция смеще-

A_zig(x, t) - A_zag(x, t) (рис.3a - нижняя часть ри-

ния двойного домена от его равновесного положения

√

сунка) были использованы для изучения динамики

вдоль направления x; ξ = x/(2λ

k) - нормирован-

дислокаций. В данном случае на локализацию

ная координата,

k = (λ/π)²(k^′/V^′0), k^′ - константа

дислокаций указывают точки пересечения кривой с

взаимодействия соседних доменов, V^′0 - энергия, при-

нулевой горизонтальной осью.

ходящаяся на единицу длины сдвоенного домена; τ =

√

Проведем детальный анализ динамики каскада

= (π/λ)

V ′0/m^′t - нормированное время, m^′ = m/l -

взаимодействующих дислокаций в линейном дефекте

удельная масса двойного домена, l - длина двойного

длиной порядка 30 пространственных периодов до-

домена; параметр β - функция пространства, кото-

менной решетки (рис. 3).

рая имеет форму “потенциальной ямы”, для просто-

Пусть в начальный момент времени t = 0 линей-

ты положим β = 1.

ный дефект с топологическим зарядом S = -1 на-

Для описания полученных экспериментальных

ходится в стационарном состоянии. При увеличении

результатов будем использовать кинковые (антикин-

напряжения в ядре дефекта образуются наклонные

ковые) решения уравнения (1) в виде [29]:

zig и zag домены с дислокацией между ними, кото-

( (

))

ξ-ξ₀ -vτ

рая движется вправо. Состояние дефекта в этот мо-

η = 4arctg exp

√

(2)

1-v²

мент аналогично изображению на рис. 3f. Одновре-

менно на обоих краях дефекта рождаются две ди-

где ξ₀ - координата центра кинка (антикинка) отно-

польные пары дислокаций: с S = ∓1 (слева) и с

сительно их точки взаимодействия, v - его скорость.

S = ±1 (справа) (рис.3a). Таким образом, в ядре

Далее, предположив, что в эксперименте столк-

дефекта находятся пять дислокаций. При этом две

новение дислокаций можно рассматривать как кинк-

дислокации - вторая слева с S = +1 и централь-

антикинк взаимодействие (см., например, [24]), при-

ная с S = -1 движутся вправо, а вторая с правого

меним (1) и (2) к изучаемой задаче. В качестве ре-

края с S = +1 - влево (рис. 3b). Крайние дислока-

шения уравнения (1) будем использовать решение в

ции остаются неподвижными. На рисунке 3с ближай-

виде цепочки из кинков и антикинков с противопо-

шие встречные дислокации: центральная с S = -1 и

ложными топологическими зарядами S = ±1. Число

вторая справа S = +1 начинают взаимодействовать.

кинков возьмем нечетным: слева три (два антикин-

Крайние дислокации с S = -1 по-прежнему оста-

ка и один кинк) и справа два (кинк и антикинк).

ются на краях дефекта. Далее, одновременно с ан-

Пусть в начальный момент времени кинки и анти-

нигиляцией взаимодействующих дислокаций в точке

кинки находятся друг от друга на некотором рассто-

с координатой x ≃ 440 мкм крайние дислокации с

янии, подобранном в соответствии с эксперименталь-

топологическими зарядами S = -1 начинают дви-

ными данными (рис. 3). За центр рассматриваемой

жение (рис. 3d). Затем происходит новое взаимодей-

системы возьмем место столкновения кинков и анти-

ствие двух дислокаций: второй слева с S = +1 и

кинков (нуль системы координат), представляющее

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 9 - 10

2019

3^∗

612

В.А.Делев, В.Н.Назаров, О.А.Скалдин, Э.С.Батыршин, Е.Г.Екомасов

ет хорошую качественную корреляцию полученных

результатов.

Таким образом, в данной работе исследована

пространственно-временная динамика ансамбля вза-

имодействующих дислокаций в линейном дефек-

те электроконвективной структуры закрученного на

π/2 НЖК. Движение и взаимодействие дислокаций

в ядре дефекта устанавливаются таким образом, что-

бы обеспечивалась непрерывность потока анизотроп-

ной жидкости в доменах. Показано, что динамика

дислокаций в линейном дефекте качественно хорошо

описывается мультикинковым решением УСГ. Ис-

следуемые протяженные дефекты можно рассматри-

вать в качестве одномерных модельных объектов для

изучения сложной динамики дислокаций.

В экспериментальных исследованиях использова-

лось оборудование Центра коллективного пользова-

ния “Спектр” ИФМК УФИЦ РАН и Регионального

центра коллективного пользования “Агидель”.

Работа выполнена в рамках госзадания

# АААА-А19-119022290052-9.

1. P. Coullet, L. Gil, and J. Lega, Phys. Rev. Let. 62,

Рис. 4. Численные иллюстрации динамики каскада

2957 (1989).

кинк-антикинк взаимодействий в различные моменты

2. М. И. Рабинович, М. М. Сущик, УФН 160, 3 (1990).

времени

3. M. C. Cross and P. C. Hohenberg, Rev. Mod. Phys. 65,

851 (1993).

4. С. А. Пикин, Структурные превращения в жидких

собой потенциальную яму. В динамике такое взаи-

кристаллах, Наука, М. (1981).

модействие кинка и антикинка можно рассматривать

5. P. G. de Gennes and J. Prost, The Physics of Liquid

как локализованный на яме бризер УСГ [30]. Такие

Crystals, Clarendon, Oxford (1994).

группы, состоящие из кинков и антикинков с проти-

6. A. Buka and L. Kramer (editors), Pattern Formation

воположными топологическими зарядами, движутся

in Liquid Crystals, Springer-Verlag, N.Y. (1996).

навстречу друг другу с разными безразмерными ско-

7. M. Kleman, Points, Lines and Walls in Liquid

ростями. В результате численного эксперимента бы-

Crystals, Magnetic Systems and Various Ordered

ло установлено, что качественно хорошо согласуют-

Media, John Wiley & Sons, Chichester (1983).

ся теория и эксперимент, если ширина кинков справа

8. М. В. Курик, О. Д. Лаврентович, УФН 154, 381

будет на ∼ 30 % больше ширины кинков слева.

(1988).

На рисунке 4 построены зависимости вида реше-

9. L. Lam and J. Prost (editors), Solitons in Liquid

Crystals, Springer Science & Business Media, N.Y.

ния уравнения (2) для каскада кинк-антикинковых

(1992).

взаимодействий в различные моменты времени.

10. O. D. Lavrentovich, P. Pasini, С. Zannoni, and

В численных расчетах использовались экспери-

S. Zumer (editors), Defects in Liquid Crystals:

ментально полученные значения безразмерных

Computer Simulations, Theory and Experiments,

скоростей движения дислокаций v₁ = 0.36 и v₂ = 0.3,

Kluwer Academic Publishers, The Netherlands (2001).

представляющих собой отношения абсолютных

11. П. В. Долганов, В. М. Жилин, В. К. Долганов,

скоростей движения дислокаций V₁ ≃ 180 мкм/с и

Е. И. Кац, Письма в ЖЭТФ 89, 181 (2009).

V₂ ≃ 150 мкм/с при данном напряжении U = 7.6 В

12. A. Joets and R. Ribotta, J. Phys. (Paris) 47, 595

к средней максимальной скорости их движения

(1986).

〈V_max〉 ≃ 500 мкм/с при U

= 10 В, при котором

13. S. Kai, N. Chizumi, and M. Kohno, J. Phys. Soc. Jpn.

доменная структура еще стационарна.

58, 3541 (1989).

Сравнение теоретических зависимостей (рис. 4)

14. S. Nasuno, S. Takeuchi, and Y. Sawada, Phys. Rev. A

с экспериментальными кривыми (рис.3) показыва-

40, 3457 (1989).

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 9 - 10

2019

Сложная динамика каскада кинк-антикинковых взаимодействий в линейном дефекте

613

15. S. Rasenat, V. Steinberg, and I. Rehberg, Phys. Rev.

24. В. А. Делев, О. А. Скалдин, Э. С. Батыршин,

A 42, 5998 (1990).

В. Н. Назаров, Е. Г. Екомасов, Письма в ЖЭТФ

16. E. Bodenschatz, W. Pesch, and L. Kramer, J. Stat.

109, 84 (2019).

Phys. 64, 1007 (1991).

25. A. Hertrich, A. P. Krekhov, and O. A. Scaldin, J. Phys.

17. A. Joets and R. Ribotta, J. Stat. Phys. 64, 981 (1991).

II (France) 4, 239 (1994).

18. V. A. Delev, P. Toth, and A. P. Krekhov, Mol. Cryst.

26. Л. М. Блинов, Электро- и магнитооптика жидких

Liq. Cryst. 351, 179 (2000).

кристаллов, Наука, М. (1978).

19. O. A. Скалдин, Г. Р. Якупова, В. A. Делев,

27. M. Dennin, D. S. Cannell, and G. Ahlers, Phys. Rev.

Ю. A. Лебедев, А. А. Назаров, ФТТ

47,

362

E 57, 638 (1998).

(2005).

28. O. M. Braun and Yu. S. Kivshar, The Frenkel-

20. S. Tatsumi, M. Sano, and A. G. Rossberg, Phys. Rev.

Kontorova Model: Concepts, Methods, and

E 73, 011704 (2006).

Applications, Springer, Berlin (2004).

21. А. Н. Чувыров, О. А. Скалдин, В. А. Делев,

29. A.-M. Wazwaz, Partial Differential Equations

Ю. А. Лебедев, Э. С. Батыршин, ЖЭТФ 130, 1072

and Solitary Waves. Theory, Springer, Dordrecht,

(2006).

Heidelberg, London, N.Y. (2009).

22. О. А. Скалдин, В. А. Делев, Е. С. Шиховцева,

30. J. Cuevas-Maraver, P. G. Kevrekidis, and F. Williams

Э. С. Батыршин, Ю. А. Лебедев, Письма в ЖЭТФ

93, 431 (2011).

(editors),

The Sine-Gordon Model and Its

23. О. А. Скалдин, В. А. Делев, Е. С. Шиховцева,

Applications. From Pendula and Josephson Junctions

Ю. А. Лебедев, Э. С. Батыршин, Письма в ЖЭТФ

to Gravity and High-energy Physics, Springer,

100, 181 (2014).

Heidelberg, N.Y., Dordrecht, London (2014).

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 9 - 10

2019