Письма в ЖЭТФ, том 110, вып. 11, с. 736 - 740

Периодичность в возникновении интервалов переворота

магнитного момента ϕ₀ перехода¹⁾

П.Х.Атанасова^+×, С.A.Панайотова^+∗, И.Р.Рахмонов^×◦, Ю.M.Шукринов^×∇2), E.В.Земляная^×∇,

M. В. Башашин^×∇

⁺University of Plovdiv Paisii Hilendarski, 4000 Plovdiv, Bulgaria

^∗Department of Physics, Sofia University, 1164 Sofia, Bulgaria

^×Объединенный институт ядерных исследований, 141980 Дубна, Россия

^◦Физико-технический институт им. С. У. Умарова АН РТ, 734063 Душанбе, Таджикистан

^∇Государственный университет “Дубна”, 141980 Дубна, Россия

Поступила в редакцию 12 сентября 2019 г.

После переработки 15 октября 2019 г.

Принята к публикации 24 октября 2019 г.

Нами исследована динамика намагниченности под действием импульса тока в джозефсоновском ϕ0

переходе с прямой связью между магнитным моментом и сверхпроводящим током. Рассчитаны времен-

ные зависимости компонент магнитного момента при различных значениях параметров ϕ0 перехода,

на основе которых установлены интервалы параметров, где реализуется его переворот от mz = 1 к

mz = -1. Обнаружена периодичность в возникновении интервалов переворота магнитного момента при

изменении параметра спин-орбитальной связи, параметра гильбертовского затухания и отношения джо-

зефсоновской энергии к магнитной. Полученные результаты могут быть использованы в различных

областях сверхпроводниковой спинтроники, в частности, для создания элемента памяти, основанного на

джозефсоновском ϕ0 переходе.

DOI: 10.1134/S0370274X19230048

Сверхпроводниковая спинтроника, основан-

величиной спин-орбитальной связи представляют

ная на взаимодействии сверхпроводящего тока с

возможность управлять наномасштабным магнитом

магнитным моментом в джозефсоновских струк-

посредством сверхпроводящего тока. Переворот

турах с ферромагнетиком, привлекает сегодня

магнитного момента (ММ) ферромагнетика осно-

большое внимание в связи с возможностью кон-

вывается на том, что его равновесная ориентация

тролировать магнетизм сверхпроводимостью и

определяется релятивистской спин-орбитальной

перспективами использования данных структур в

связью и сопоставима с величиной сверхпроводящей

квантовых технологиях [1-8]. В структуре сверх-

щели [14]. Было показано, что транспортный ток

проводник/ферромагнетик/сверхпроводник (S/F/S)

через сверхпроводник с спин-орбитальной связью

спин-орбитальная связь в ферромагнитном слое без

генерирует эффективное магнитное поле, способное

центра инверсии обеспечивает механизм прямой

переключать направление магнитного момента

(линейной) связи между магнитным моментом и

между двумя противоположными равновесны-

сверхпроводящим током [9]. Такие джозефсоновские

ми ориентациями вдоль легкой оси. Это может

переходы (ДП) называют ϕ₀ переходами. Возмож-

приводить к значительной скорости квантового тун-

ность контроля магнитных свойств сверхпроводя-

нелирования ММ, обеспечивая возожность создания

щим током, а также влияния магнитной динамики

кубита.

на сверхпроводимость интенсивно исследуется в

Реализация переворота ММ на основе моделиро-

последнее время [9-13]. В работе [14] авторы проде-

вания магнитной динамики продемонстрирована в

монстрировали, что 2D сверхпроводники с большой

работе [12]. Было показано, что переворот ММ чрез-

вычайно чувствителен к значениям параметров си-

стемы. В виду достаточной сложности рассматри-

¹⁾См. дополнительные материалы к данной статье на сайте

нашего журнала.

ваемой системы, вопрос, касающийся возможности

²⁾e-mail: shukrinv@theor.jinr.ru

предсказания полного переворота при заданных па-

736

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

Периодичность в возникновении интервалов переворота магнитного момента ...

737

раметрах системы и импульса тока, остается откры-

V - объем ферромагнитного слоя, r - параметр спин-

тым до настоящего времени.

орбитального взаимодействия.

В настоящей работе на основе детальных иссле-

Система уравнений в безразмерных величинах

дований динамики намагниченности в джозефсонов-

может быть записана как:

ском ϕ₀ переходе под действием импульса тока пока-

dm_x

{(m_yH_z - m_zH_y) +

зано, что реализация переворота магнитного момен-

1 + (mα)²

та в ϕ₀-переходе характеризуется определенной пе-

+ α[m_x(m_xH_x + m_yH_y + m_zH_z) - H_x]},

риодичностью по величине спин-орбитальной связи,

dm_y

параметру гильбертовского затухания и отношения

{(m_zH_x - m_xH_z) +

1 + (mα)²

джозефсоновской энергии к магнитной. Полученные

+ α[m_y(m_xH_x + m_yH_y + m_zH_z) - H_y]},

(2)

результаты могут быть полезны для понимания фи-

dm_z

зических процессов в различных областях сверхпро-

{(m_xH_y - m_yH_x) +

1 + (mα)²

водниковой спинтроники, а также могут быть ис-

пользованы в прикладных целях.

+ α[m_z(m_xH_x + m_yH_y + m_zH_z) - H_z]},

Схематический вид рассматриваемого ϕ₀-

где компоненты ММ m_i нормированы на M₀, i =

перехода представлен на рис. 1. Легкая ось ферро-

= (x, y, z), H_i - компоненты эффективного поля, нор-

мированные на K/M₀, которые определяются выра-

жениями

H_x(t) = 0;

H_y(t) = Gr sin(ϕ(t) - rm_y(t));

(3)

H_z(t) = m_z(t).

В системе уравнений (2) время нормировано на

ω^-1F (где ωF = γK/M0 - частота ферромагнитно-

го резонанса). Уравнение для разности фаз записы-

вается в рамках резистивной модели [15], где для

простоты нами рассмотрен ДП с малой емкостью C

Рис. 1. (Цветной онлайн) Схематический вид

(R²C/L_J ≪ 1 (L_J - индуктивность джозефсоновско-

ϕ0-перехода; S и F - сверхпроводниковые и фер-

го перехода, R - его сопротивление в нормальном со-

ромагнитный слои, соответственно, M

- вектор

стоянии), т.е. ток смещения не учитывается. В этом

магнитного момента ферромагнитного слоя, лег-

случае выражение для электрического тока I через

кая ось которого направлена вдоль оси z. Импульс

джозефсоновский переход, нормированного на кри-

внешнего тока направлен вдоль оси x

тический ток I_c, записывается в виде

магнитного слоя направлена вдоль оси z, которая

dϕ

dm_y

I =w(

-r

) + sin(ϕ - rm_y),

(4)

также совпадает с направлением градиента спин-

орбитального потенциала. Компонента ММ m_y

, ω_R =2eIcRℏ. Следует

где w =VFIcR=ωR ,

связана с сверхпроводящим (джозефсоновским)

отметить, что предварительные результаты исследо-

током, который направлен вдоль оси x.

вания периодичности переворота намагниченности,

Динамика ММ рассматриваемой системы

представленные нами в работе [16] и включенные в

описывается

уравнением

Ландау-Лифшица-

качестве дополнительного материала к данной ста-

Гильберта

[12], для которого эффективное поле

тье, были выполнены, полагая член rdmydt^{малым,как}

H_eff зависит от джозефсоновской разности фаз ϕ

это предполагалось в работах [11, 12]. Ниже мы уви-

(

)

дим, что, действительно, его учет не приводит к ка-

= -γM × H_eff +

M×

M₀

чественным изменениям, однако он необходим для

[

(

)

]

соблюдения калибровочной инвариантности исполь-

M_y

H_eff =

Gr sin ϕ - r

M_z z ,

(1)

зуемых уравнений [17].

M₀

В качестве I в (4) использовался прямоугольный

где γ - гиромагнитное отношение, α - гильбертов-

импульс с амплитудой A_s и длительностью Δt:

ская диссипация, M₀ = ∥M∥, G = E_J /(KV) - от-

{

ношение джозефсоновской энергии к энергии маг-

A_s, t ∈ [t₀ - 1/2Δt, t₀ + 1/2Δt];

Ipulse(t) =

(5)

нитной анизотропии, K - постоянная анизотропии,

otherwise.

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

738

П.Х.Атанасова, С.A.Панайотова, И.Р.Рахмонов и др.

Нами использовались следующие начальные усло-

Для определения интервалов G при различных

вия:

значениях параметра диссипации α, в которых ре-

ализуется переворот, нами рассчитывалась времен-

m_x(0) = 0, m_y(0) = 0, m_z(0) = 1, ϕ(0) = 0. (6)

ная зависимость ММ при значениях G от G = 1 до

Расчеты проводились с помощью неявной схемы

G = 130 с шагом ΔG = 1 при значениях α от α = 0.01

на основе двух-шагового метода Гаусса-Лежандра

до α = 0.5 с шагом Δα = 0.001. Величина спин-

[13]. Такой подход обеспечивает более высокую точ-

орбитальной связи полагалась равной r = 0.1. Для

ность (четвертого порядка O(h⁴) ≈ 10^-8) и устойчи-

каждой пары значений (α, G) система уравнений (2),

вость по сравнению с методом Рунге-Кутта [18]. Та-

(5), (6) решалась методом Гаусса-Лежандра с шагом

ким образом, нами численно решалась система урав-

h = 0.01 в интервале t ∈ [0,T_max], T_max = 200. При

нений (2) вместе с уравнением (4), используя (5) с

t = T_max проверялось неравенство |m_z + 1| ≤ 0.0001,

начальными условиями (6). Во всех расчетах полага-

чтобы отождествить реализацию переворота ММ. В

лось w = 1, значения остальных параметров указаны

случае его реализации соответствующие значения α

в подписях к рисункам.

и G отбирались и сохранялись. Эти данные, пред-

На рисунке 2 показаны примеры динамики ММ

ставленные на рис. 3, свидетельствуют о периодиче-

m_z при двух значениях отношения джозефсоновской

Рис. 2. (Цветной онлайн) Демонстрация влияния пара-

Рис. 3. (Цветной онлайн) Демонстрация периодичности

метра отношения джозефсоновской энергии к магнит-

интервалов переворота в плоскости (G, α). Результаты

ной G на переворот ММ. Расчеты проведены при вели-

получены с шагом ΔG = 1 и Δα = 0.001 при As = 1.5,

чине спин-орбитальной связи r = 0.1, параметре дис-

r = 0.1, t0 = 25, Δt = 6, ωF = 1

сипации α = 0.1, и амплитуде импульса As = 1.5

энергии к магнитной, G = 9 (кривая 1) и G = 8 (кри-

ской зависимости в реализации переворота ММ с рос-

вая 2), а также приложенный токовый импульс I_pulse

том G. Подчеркнем некоторые особенности в прояв-

(кривая 3). В первом случае (G = 9) наблюдается пе-

лении данной зависимости. В частности, отсутствие

реворот ММ, тогда как во втором (G = 8) он отсут-

переворота при малых G и сдвиг интервалов по G

ствует, что отражает зависимость реализации пере-

при увеличении α. При этом наблюдается некоторый

ворота от выбранных значений параметров системы.

рост ширины этих интервалов вдоль оси G.

Влияние параметров модели и токового импульса на

Результаты расчета реализации переворота ММ

переворот ММ в ϕ₀ джозефсоновском переходе об-

на плоскости (G, r) представлены на рис. 4. Здесь

суждалось в работах [12, 19]. Однако исследование

также наблюдается периодичность в возникновении

возможности предсказания переворота и определе-

переворота при изменении G. Увеличение параметра

ние интервалов параметров, при которых происходит

спин-орбитальной связи r приводит к сдвигу домена

переворот ММ, до настоящего времени не проводи-

с переворотом в область малых G с одновременным

лось. Это является важным для выяснения природы

уменьшением его ширины.

исследуемого явления, а также для практических це-

Обсудим кратко механизм переворота магнитного

лей.

момента и периодичность в возникновении интерва-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

Периодичность в возникновении интервалов переворота магнитного момента ...

739

поля. Уравнения Блоха используются в теории ЯМР

(ядерного магнитного резонанса) и в квантовой элек-

тронике для описания взаимодействия двухуровне-

вых систем (атомов) с электромагнитным полем. Хо-

рошо известно [20], что в этом случае возникает пе-

риодичность отклика системы, описываемой уравне-

ниями Блоха по интенсивности возбуждающего им-

пульса или времени импульса (по интегральной ин-

тенсивности). Наблюдается также связанный с этим

ряд эффектов типа π-импульсов или спинового эха.

Однако периодичность в возникновении интервалов

переворота магнитного момента, обусловленная вза-

имодействием с сверхпроводящим током, которая де-

монстрируется в настоящей статье, имеет свою спе-

цифику, отличающую ее от случая при возбужде-

нии магнитных или двухуровневых систем. Перио-

дичность определяется динамикой намагниченности

Рис. 4. (Цветной онлайн) Демонстрация периодично-

в интервале действия пульса, которая может быть

сти интервалов переворота в плоскости (G, r). Резуль-

достаточно сложной. В пределах одной полосы пери-

таты получены с шагом ΔG = 1 и Δr = 0.001 при

одичности, соответствующей перевороту, может на-

As = 1.5; α = 0.1; t0 = 25; Δt = 6; ωF = 1

блюдаться несколько осцилляций ММ, т.е. чередова-

ние интервалов не есть простое циклическое увели-

лов переворота. Как указывалось выше, легкая ось

чение количества полных оборотов вектора Блоха.

ферромагнетика направлена вдоль оси z и имеет два

Этот факт демонстрируется нами на рис. S2, S3, S5

устойчивых состояния m_z = ±1. Импульс тока вы-

и S6 дополнительного материала, которые указыва-

нуждает магнитный момент осциллировать. Крити-

ют отличие от случая возбуждения магнитных или

ческим для переворота оказывается его величина в

двухуровневых систем, описываемого в рамках урав-

момент окончания действия импульса, которая опре-

нений Блоха.

деляется параметрами ϕ₀ перехода и параметрами

Таким образом, на основе уравнений Ландау-

импульса. Временные зависимости компоненты маг-

Лифшица-Гильберта и хорошо опробированной ре-

нитного момента m_z при различных значениях па-

зистивной модели джозефсоновского перехода, на-

раметра спин-орбитальной связи r, параметра гиль-

ми продемонстрирована периодичность в возникно-

бертовского затухания α и отношения джозефсонов-

вении интервалов переворота ММ при изменении па-

ской энергии к магнитной G для первой и второй

раметров спин-орбитальной связи, гильбертовского

полос представлены в дополнительном материале к

затухания и отношения джозефсоновской энергии к

статье. Если величина m_z оказывается вблизи нуля,

магнитной. Мы полагаем, что полученные результа-

или отрицательна, наличие гильбертовского затуха-

ты могут быть использованы в различных областях

ния обеспечивает стремление m_z к -1. Периодич-

сверхпроводниковой спинтроники. В недавней рабо-

ность в возникновении интервалов переворота мож-

те [21], используя разработанный в работе [12] ме-

но объяснить, предполагая периодическую зависи-

тод переворота ММ прямоугольным импульсом то-

мость компоненты m_z от параметров используемой

ка, был предложен криогенный элемент памяти на

нами модели. Подробные аналитические исследова-

основе аномального эффекта Джозефсона, а также

ния переворота магнитного момента в джозефсонов-

подтверждены идеи о периодичности возникновения

ских структурах с аномальным сдвигом фазы в на-

интервалов переворота [16]. Следует отметить, что

стоящее время отсутствуют.

переворот ММ чрезвычайно чувствителен к значе-

Следует отметить, что применяемые в статье

ниям параметров системы. В связи с этим возни-

уравнения Ландау-Лифшица-Гильберта совпадают

кает необходимость предсказания полного переворо-

с уравнениями Блоха, если в первых пренебречь за-

та при заданных параметрах системы и импульса

туханием Гильберта, а во вторых пренебречь релак-

тока.

сацией. В этом случае уравнение Блоха описыва-

Авторы выражают благодарность А. А. Мазанику

ет ларморовскую прецессию ядерной намагниченно-

за плодотворное обсуждение результатов работы.

сти M вокруг внешнего приложенного магнитного

Исследование выполнено при финансовой поддерж-

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019

2^∗

740

П.Х.Атанасова, С.A.Панайотова, И.Р.Рахмонов и др.

ке Российского фонда фундаментальных исследо-

11. F. Konschelle and A. Buzdin, Phys. Rev. Lett. 102,

ваний в рамках научных проектов #18-02-00318 и

017001 (2009).

18-52-45011, и программы сотрудничества ОИЯИ-

12. Yu. M. Shukrinov, I. R. Rahmonov, K. Sengupta, and

Болгария. Численные расчеты в данной работе вы-

A. Buzdin, Appl. Phys. Lett. 110, 182407 (2017).

полнены за счет гранта Российского научного фон-

13. P. Kh. Atanasova, S. Panayotova, E. V. Zemlyanaya,

да (проект # 18-71-10095). С. Панайотова благодарит

Yu. M. Shukrinov, and I. R. Rahmonov, Lect. Notes

Comput. Sci. 11189, 301 (2019).

за поддержку болгарскую национальную программу

14. E. M. Chudnovsky, Phys. Rev. B 95, 100503(R) (2017).

“Молодые ученые и докторанты 2019” и выделение

15. К. К. Лихарев, Введение в динамику джозефсонов-

гранта МУ19-ФМИ-010 от Национального научного

ских переходов, Наука, М. (1985).

фонда Болгарии в ПУ “Паисий Хилендарски”.

16. P. Kh. Atanasova, S. A. Panayotova, I. R. Rahmonov,

Yu. M. Shukrinov,

E. V.

Zemlyanaya,

and

M. V. Bashashin, Cond-Mat

ArXiv

1905.03895

1. A. A. Golubov and M. Yu. Kupriyanov, Nature Mater.

(2019).

16, 156 (2017).

17. D. S. Rabinovich, I. V. Bobkova, A. M. Bobkov, and

2. J. Linder and J. W. A. Robinson, Nature Phys. 11, 307

M. A. Silaev, Cond-Mat ArXiv 1904.03449 (2019).

(2015).

18. P. Kh. Atanasova, S. Panayotova, Yu. M. Shukrinov,

3. M. Eschrig, Rep. Prog. Phys. 78, 104501 (2015).

I. R. Rahmonov, and E. V. Zemlyanaya, EPJ Web of

4. M. Houzet, Phys. Rev. Lett. 101, 157009 (2008).

Conf. 173, 05002 (2018).

5. I. Petkovic, M. Aprili, S. E. Barnes, F. Beuneu, and

19. Yu. M. Shukrinov, I. R. Rahmonov, and A. E. Botha,

S. Maekawa, Phys. Rev. B 80, 220502(R) (2009).

IEEE Trans. Appl. Supercond. 28, 1800505 (2018).

6. L. Cai and E. M. Chudnovsky, Phys. Rev. B 82, 104429

20. Л. Мендель, Э. Вольф, Оптическая когерент-

(2010).

ность и квантовая оптика, Физматлит, М. (2000)

7. F. Konschelle, I. V. Tokatly, and F. S. Bergeret, Phys.

[L. Mendel and E. Wolf, Optical coherence and quantum

Rev. B 92, 125443 (2015).

optics, Cambridge University Press, Cambridge, UK

8. E. M. Chudnovsky, Phys. Rev. B 93, 144422 (2016).

(1995)].

9. A. Buzdin, Phys. Rev. Lett. 101, 107005 (2008).

21. C. Guarcello and F. S. Bergeret, Cond-Mat ArXiv

10. A. I. Buzdin, Rev. Mod. Phys. 77, 935 (2005).

1907.03895 (2019).

Письма в ЖЭТФ том 110 вып. 11 - 12

2019